2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册5.5三角恒等变换专题特训（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册5.5三角恒等变换专题特训
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．设，则（ ）
A． B． C． D．
3．中，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知角是第一象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知角，，满足，且，则()()()=（ ）
A．0 B．1
C． D．
8．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象与曲线关于原点对称，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列各式的值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，下列结论正确是（ ）
A．值域是 B．是周期函数
C．图像关于直线对称 D．在上单调递增
11．（多选）使等式成立的的值可以为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．求值: .
13．若，则 .
14．已知为锐角，且，则 .
四、解答题
15．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．已知为钝角，为锐角，且，，求的值．
17．已知，，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
18．已知函数
(1)若，求函数的值域．
(2)若是第一象限角，求的值
19．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求图象的对称轴方程；
(3)求在上的最大值和最小值．
参考答案：
1．D
【分析】利用两角和差的正余弦公式计算，由商数关系得的值.
【详解】因为，
结合题设，有，得．
故选：D.
2．A
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，即可求解.
【详解】由，
平方可得，
解得.
故选：A.
3．A
【分析】由，利用两角和与差的正弦公式化简得，再由，代入中由基本不等式求最小值.
【详解】中，，即，
有，
得，
则有，得，
且，
则，
若A为钝角，则为钝角，∴，与矛盾，舍去，
故A为锐角，∴，，当且仅当时取“”，
的最小值为2.
故选：A．
4．A
【分析】注意到，后由可得答案.
【详解】.
因，则.
故选：A
5．C
【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再结合两角和的余弦公式即可求解.
【详解】因为角是第一象限角，，
所以，
，
故选：C
6．D
【分析】根据三角函数的定义结合二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】因为角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，
所以，
所以.
故选：D.
7．A
【分析】结合诱导公式与和差化积公式进行求值.
【详解】因为.
由和差化积公式得：
.
所以或或.
若，则；
同理，当或时，都有.
故选：A
8．B
【分析】求出将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，根据与曲线关于原点对称，可得，利用两角和与差的正余弦展开式化简可得答案.
【详解】将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若与曲线关于原点对称，可得，
即，可得
，由于不恒等于0，
所以，
故选：B.
9．ABD
【分析】根据三角函数诱导公式以及恒等变换公式，化简求值，一一判断各选项，即得答案.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确，
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
10．BC
【分析】对于A，首先利用三角恒等变换得，通过换元法结合对勾函数性质即可判断；对于B，由的周期性即可判断；对于C，判断是否相等；对于D，由复合函数单调性证伪即可.
【详解】
，
令，所以，
由对勾函数性质知道在单调递减，在单调递增，
而，所以值域是，故A错误；
对于B，，所以是以为周期的周期函数,故B正确；
对于C，，
，
所以，故C正确；
对于D，在单调递增，在单调递增，在上单调递减，
而由A选项分析可知在单调递减，在单调递增，故D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：关键是正确利用三角恒等变换化简函数表达式，由此即可顺利得解.
11．ABD
【分析】利用二倍角公式和两角和差的正弦公式化简得到，由正弦函数性质可确定，进而求解.
【详解】
，
，
，解得：，
对于A，当时，，故A正确；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，当时，，又，故C错误；
对于D，当时，，故D正确.
故选：ABD.
12．
【分析】先上下同时乘以得,再根据二倍角公式和诱导公式化简可得,将代入结合两角和差的正弦公式即可求解.
【详解】不妨设所求的值为,则,
由正弦的二倍角公式逆用有,
由诱导公式、二倍角公式及其逆用得
,
由两角和差的正弦公式得
.
故答案为:.
13．
【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式求解即可.
【详解】因为，
所以
.
故答案为：
14．/
【分析】先根据两角和的正弦公式及辅助角公式化简，进而可得出答案.
【详解】因为，
，
又，
所以，所以，即，
因为，所以，所以，所以.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据结合诱导公式求解即可；
（2）先根据商数关系及二倍角公式化简，再根据诱导公式及二倍角公式将所求角化为已知角，进而可得出答案.
【详解】（1）；
（2）
.
16．
【分析】由已知利用同角三角函数的基本关系可求出，然后根据两角差的余弦公式可求得，根据角的范围以及降幂公式即可求解.
【详解】因为为钝角，为锐角，，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用平方关系将式子化成齐次式，再将弦化切，最后代入计算可得；
（2）首先由同角三角函数的基本关系求出，，，由二倍角公式求出、，最后由利用两角差的余弦公式计算可得.
【详解】（1）因为，
所以
；
（2）且，
，则，
，
，
，，且，解得（负值舍去），
，
又，，，
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换化简，即可利用整体法求解范围，
（2）根据角的范围，可得同角关系，然后利用正弦的和差角公式求解.
【详解】（1），
因为，所以，
所以的值域为；
（2），因为是第一象限角，
所以，故，,
所以，
.
19．(1)
(2)
(3)，.
【分析】（1）利用辅助角公式可将化简，从而求得其最小周期；
（2）利用整体代入法求得图象的对称轴方程，从而得解；
（3）利用正弦函数的性质，结合整体法即可得解.
【详解】（1）因为
，
所以的最小正周期为：；
（2）令，得，
所以图象的对称轴方程为；
（3）因为，所以，
注意到在上单调递减，在上单调递增，
而，，，
所以，.
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