2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理专题特训（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理专题特训
一、单选题
1．已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
2．在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量满足，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
4．在等腰中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，，，P是外接圆上一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角的对边分别是，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，内角的对边分别为，若，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
二、多选题
9．已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（ ）
A．
B．
C．是锐角三角形
D．的最大内角是最小内角的倍
11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
三、填空题
12．在中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，若面积，且，则c最小值为 ．
13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则角B= ；若，D为的中点，求线段长度的取值范围为 ．
14．已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，若为锐角三角形，，则周长的取值范围为 ．
四、解答题
15．在中，角的对边分别为且.
(1)求角A;
(2)若的平分线交于点，求的长.
16．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)若，求角A；
(2)若，，求a的值．
17．如图，中，角、、的对边分别为、、.
(1)若，求角的余弦值大小；
(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.
18．已知在中，角所对的边分别为，记其面积为，则有
(1)求；
(2)若，求的最小值．
19．已知分别是三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，将射线和分别绕点顺时针旋转，，旋转后相交于点（如图所示），且，求.
参考答案：
1．B
【分析】利用正弦定理的边角变换，结合诱导公式与倍角公式求得B；利用面积公式与向量数量积的定义求得A，从而得解
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，所以；
因为，所以，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，则是直角三角形，
故选：B
2．A
【分析】由面积公式求出，即可得到为等腰三角形，则，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得.
【详解】因为，解得，
所以为等腰三角形，则，
在中由正弦定理可得，即，解得，
因为，所以为锐角，所以，
所以
.
故选：A
3．C
【分析】根据向量加减法的平行四边形法则作图，问题转化为求的最值，利用外接圆数形结合可求最值.
【详解】设，如图，

由题意，即在平行四边形中，，，
求的最大值.
延长至，使，则，
由正弦定理，三点所在外接圆的直径，
所以，设圆心为，如图，

所以可知，又，
所以由余弦定理可得，
则由图象可知，
故选：C
4．C
【分析】根据正弦定理求出外接圆半径，建立平面直角坐标系，求出三角形顶点坐标，设，根据向量的坐标运算，求出的表达式，结合三角函数性质，即可求得答案.
【详解】由题意等腰中，，，
故，设外接圆半径为R，则；
以的外接圆圆心为原点，以的垂直平分线为y轴，
过点O作的平行线为x轴，建立平面直角坐标系，

则，设，，
则，，
则，
，
故，
因为，故，
即的取值范围是，
故选：C
5．A
【分析】根据题意，由余弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】由余弦定理可得，，故.
故选：A.
6．C
【分析】根据正弦定理角化边有，设，，，
再利用余弦定理即可求得.
【详解】在中，，则，
设，，
则.
故选：C
7．A
【分析】利用同角的三角函数关系以及三角恒等变换化简，可得，再利用正弦定理角化边可得，结合正弦函数性质推出，即可得答案.
【详解】由题意知，
故，
则
，
故，即
又，则，
由于，故，即
∴，
故选：A．
8．A
【分析】给两边同时乘以，结合余弦定理求解即可.
【详解】因为，两边同时乘以得：
，由余弦定理可得，
则，所以有，
又，所以，又因为，
所以.
故选：A
9．ACD
【分析】根据三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，选项A正确；
B选项，，选项B错误；
在中，由正弦定理得，故C和D正确.
故选：ACD
10．AC
【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断BC选项；利用二倍角的余弦公式可判断D选项.
【详解】对于A，由正弦定理可得，A对；
对于B，由余弦定理可得，，，
所以，，B错；
对于C，因为，则为最大角，又因为，则为锐角，故为锐角三角形，C对；
对于D，由题意知，为最小角，则，
因为，则，则，D错.
故选：AC.
11．ABC
【分析】A选项，，作出辅助线，得到三点共线，同理可得M为的重心；B选项，设内切圆半径为，则，，，代入后得到；C选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，则，，，结合三角函数得到，，进而求出正切值的比；D选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值.
【详解】A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线，
所以M为的重心，A正确；
B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
C选项，若M为的垂心，，
则，
如图，⊥，⊥，⊥，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
同理可得，即，故，
，则，
故，
，则，
故，
，
故，
同理可得，
故，C正确；
D选项，若，，M为的外心，
则，
设的外接圆半径为，故，
，
故，，，
所以，D错误.
故选：ABC
【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心，
点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，
点为所在平面内的点，且，则点为的外心，
点为所在平面内的点，且，则点为的内心，
12．
【分析】由三角形的面积公式可得，再将其代入余弦定理化简可得，由二倍角的正弦、余弦公式和基本不等式求解即可.
【详解】因为面积，所以，所以，
由余弦定理可得：，
将代入可得：
，，
，
当且仅当，即时取等.
所以，c最小值为.
故答案为：.
13．
【分析】第一空：由正弦定理边化角以及辅助角公式即可得解；第二空：由余弦定理得，结合向量可得，由基本不等式即可得解.
【详解】因为，
所以，则，
即，所以，
又，则，所以，即，
由，得，所以，所以；
因为，所以，
因为D为AC的中点，所以，则，
由基本不等式得，等号成立当且仅当，
所以，.
故答案为：；.
14．
【分析】利用正弦定理化边为角，由题设化简求出，再利用正弦定理，将边用角的三角函数表示，利用三角恒等变换将周长表达式整理成正弦型函数，借助于角的范围和三角函数的值域即可求得.
【详解】因，
由正弦定理得，
中，，所以，得，即，
∵，则， ∴，∴.
为锐角三角形，，，
由正弦定理得，
∴，，，
周长
，
∵为锐角三角形， ∴，
∴， ∴， ∴，
∴，即周长的取值范围为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用正、余弦定理，二倍角公式等计算即可；
（2）利用等面积法结合条件计算即可.
【详解】（1）因为，
所以，
即
由正弦定理得，
又由余弦定理，可得
因为，所以；
（2）在中，，
由等面积法得，
即，
即，
所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简得，再利用正弦函数的性质得到或，结合小题条件分析即可得解；
（2）结合（1）中的结论，得到，结合余弦定理代入数据即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
即，即，
因为，所以，即，
因为，，所以或，
由题意知，
则当时，，此时，这与矛盾，故舍去；
当时，因为，所以，所以；
综上可得：.
（2）因为，即，则.
由（1）可得，因为，即，
在中，由正弦定理得：，
因为，所以，
因为，，则，解得（负值舍去），
所以.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形内角和定理与和角的正弦公式化简即得；
（2）由余弦定理得到的关系式，利用基本不等式求得，即得周长的最大值.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得即，
则，整理得，而，即.
（2）在中，，
由余弦定理得，即，
于是，解得，当且仅当时取等号，
所以当时，周长取得最大值.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理、面积公式计算可得答案；
（2）由代入面积公式得，再利用基本不等式求最值可得答案.
【详解】（1）由题意，，
又，得，
展开得，即，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）由题意，，整理得，
由得，
由，
即求的最小值，，
因为，所以，
当且仅当即时等号成立，
所以，
故的最小值为．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可；
（2）根据正弦定理，结合余弦定理、两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】（1）根据正弦定理，由
，
因为，所以，
所以由
，
因为因为，所以，
因此.
（2）由（1）可知，由题意可知，
而，所以
，
在中，由正弦定理可知：
在中，由正弦定理可知：
，
在中，由余弦定理可知：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)