2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第七章复数精选题（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第七章复数精选题
一、单选题
1．在复平面内，复数，则对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
3．设为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．复数的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知是虚数单位，，则（ ）
A． B． C．2 D．
7．设，则满足的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．对于复数，下列结论错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则
C．若，则为实数
D．
10．已知复数满足，则（ ）
A．
B．的虚部为
C．
D．
11．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ）
A．复数为纯虚数
B．复数对应的点位于第二象限
C．复数的共轭复数为
D．复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
三、填空题
12．已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点坐标为 ．
13．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为 ．
14．i是虚数单位，则，则的值为 ．
四、解答题
15．设复数，若复数的虚部减去其实部的差等于，求复数．
16．已知为实数，并且的实部与虚部相等，求的值.
17．设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，求的取值范围．
18．求适合下列各方程的实数，的值：
(1)；
(2)；
(3)．
19．在复平面内，复数，，，它们对应的向量分别为，，，如何直观地理解与，与之间的位置关系呢？
参考答案：
1．C
【分析】首先化简复数，从而得到，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，所以，
所以在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故选：C
2．A
【分析】由已知得到，利用复数的除法求出即可.
【详解】由已知复数在复平面内对应点的坐标为，
则，
所以.
故选：A.
3．B
【分析】根据复数的乘方和除法运算计算即可.
【详解】.
故选：B.
4．C
【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可.
【详解】若，则为纯虚数；
若为纯虚数，，则有，解得.
所以，当时，“”是复数“”为纯虚数的充要条件.
故选：C
5．B
【分析】先将复数的分母化成实数，再求其共轭复数即可.
【详解】而的共轭复数是
故选：B.
6．D
【分析】根据题意，利用复数相等列出方程组，求得的值，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由，可得，解得，则.
故选：D.
7．C
【分析】设，，依题意可得，即可得到复数在复平面内的点所在的区域，从而求出其面积.
【详解】设，，则，
因为，所以，则，
所以复数在复平面内的点位于以坐标原点为圆心，半径为到半径为之间的圆环部分（包括圆上的点），
所以复数在复平面上的对应点构成图形的面积.
故选：C
8．D
【分析】利用复数的三角形式即可得解.
【详解】依题意，令，
则，所以，
因为，所以，
所以的三角形式是.
故选：D.
9．AB
【分析】根据复数的概念判断AC，根据复数相等判断B，根据虚数单位的定义判断D.
【详解】对于A：当，，当时为实数，A错误；
对于B：若，则，B错误；
对于C：若，则为实数，C正确；
对于D：，D正确.
故选：AB.
10．AD
【分析】先求出复数，再结合复数的运算即可.
【详解】由，得，
，A正确；
的虚部为，B错误；
，C错误；
，D正确；
故选：AD
11．ABD
【分析】根据给定的公式，结合复数的相关概念逐项分析判断即得.
【详解】对于A，，则为纯虚数，A正确；
对于B，，而，即，则复数对应的点位于第二象限，B正确；
对于C，，复数的共轭复数为，C错误；
对于D，，
复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为的半圆，D正确．
故选：ABD
12．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】，则，
则复数在复平面内所对应的点坐标为.
故答案为：
13．2
【分析】由复数的概念列方程组求解即可.
【详解】由于复数（为虚数单位）是纯虚数，所以，
解得，
故答案为：2.
14．
【分析】根据复数的乘法法则化简得到，求出.
【详解】由题意得，即，
，
故，
故答案为：
15．.
【分析】先化简复数，再化简复数，再由的虚部减去其实部，即可求得，再将代入求解即可.
【详解】由已知，，
∴
∴复数的实部为，虚部为，
由已知，
∵，∴解得.
∴复数的实部为，虚部为，
∴复数.
16．.
【分析】将化简后，令实部与虚部相等求解即可.
【详解】∵，
∴
∵的实部与虚部相等，
∴，
解得.
17．
【分析】根据复数的几何意义得到，再根据对数函数的性质解不等式即可.
【详解】因为复数在复平面内的对应点在第三象限，
所以，即，所以，解得，
即实数的取值范围为.
18．(1)或
(2)或或或
(3)
【分析】根据复数相等得到方程组，解得即可.
【详解】（1）因为，为实数，且，
则，解得或；
（2）因为且，为实数，
所以，解得或，
解得或，
所以或或或；
（3）因为且，为实数，
所以，解得.
19．答案见详解
【分析】根据复数的乘法运算以及乘法的几何意义分析作答.
【详解】因为，
可知将沿原方向压缩到原来的，再绕原点逆时针旋转，可得到；
因为，
可知将沿原方向压缩到原来的，再绕原点逆时针旋转，可得到.
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