2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第七章复数经典题型（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第七章复数经典题型
一、单选题
1．已知为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．设，则（ ）
A． B． C． D．
3．（ ）
A． B． C． D．
4．设为复数，若，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．设i为虚数单位，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知复数，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知为虚数单位，复数满足，则复数对应的复平面上的点的集合所表示的图形是（ ）
A．正方形面 B．一条直线 C．圆面 D．圆环面
8．已知复数（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
9．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则复数对应的点位于第四象限
D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
10．下列四个命题中，真命题为（ ）
A．若复数满足，则 B．若复数满足，则
C．若复数满足，则 D．若复数满足，则
11．在复平面内，复数，则（ ）
A．的模长为1
B．在复平面内对应的点在第二象限
C．
D．复数满足，则
三、填空题
12．若复数（为虚数单位），则 ．
13．已知为虚数单位，复数是关于的实系数方程的一个复数根，则 .
14．复数，在复平面上对应的点分别为，，则 ；
四、解答题
15．实数m取什么值时，复数是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
16．已知，求实数，的值．
17．（1）在复平面上画出与以下复数，，，分别对应的点，，，．，，，．
（2）求向量，，，的模．
（3）点，，，中是否存在两个点关于实轴对称？若存在，则它们所对应的复数有什么关系？
18．如图，已知复平面上的，是坐标原点，，分别对应复数，，是，的交点．求点，对应的复数．

19．分别求复数和的共轭复数，，并分别比较与，与的大小．
参考答案：
1．D
【分析】利用乘方运算和模长计算可得，可知虚部为.
【详解】根据题意可得，
易知的虚部是.
故选：D
2．D
【分析】利用复数的除法运算，先求复数，再求它的共轭复数.
【详解】因为，所以．
故选：D
3．D
【分析】根据复数的运算求解即可.
【详解】.
故选：D
4．A
【分析】设，根据题意求出的关系，再根据复数的模的公式即可得解.
【详解】设，
由，得，所以，
由，解得，
则，
所以当时，.
故选：A.
5．A
【分析】利用共轭复数的意义、复数乘法计算即得.
【详解】复数，则.
故选：A
6．B
【分析】由复数除法运算法则结合共轭复数概念可得答案.
【详解】，则.
故选：B
7．D
【分析】设，根据模的定义求出轨迹方程即可得解.
【详解】设，
则由可得，即，
所以复数对应的点在复平面内表示的图形是圆环面.
故选：D.
8．D
【分析】由复数四则运算、共轭复数的概念以及复数的几何意义即可求解.
【详解】由题意，
所以，它在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
9．AD
【分析】根据复数的乘方运算法则，复数模的几何意义逐一判断即可.
【详解】A：，本选项正确；
B：因为两个复数不能比较大小，所以本选项不正确；
C：因为，
所以复数对应的点位于第二象限，因此本选项不正确；
D：因为，
所以在复平面内对应的点的轨迹为圆心为，半径为3的圆，因此本选项正确，
故选：AD
10．AB
【分析】根据复数除法运算、共轭复数和实数定义可知AB正确；通过反例可说明CD错误.
【详解】对于A，若，可设，，A正确；
对于B，设，则，
若，则，，，B正确；
对于C，若，则，但，C错误；
对于D，若，，则，但，D错误.
故选：AB.
11．ACD
【分析】根据复数的模、复数对应点所在象限、共轭复数、复数乘法、复数模的几何意义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，，A选项正确.
B选项，对应点为，在第一象限，B选项错误.
C选项，，C选项正确.
D选项，设，，表示点与的距离等于，
所以点在以为圆心，半径为的圆上，
由于到原点的距离为，所以以为圆心，半径为的圆经过原点，
所以的最大值等于这个圆的直径，所以D选项正确.

故选：ACD
12．
【分析】先求得，利用复数模的运算可得.
【详解】，
，
故答案为：
13．
【分析】（1）由题意可知和为方程的两个复数根，然后根据根与系数的关系列方程可求出的值；
【详解】由题意得和是实数系方程：的两个根，
所以由根与系数的关系得：，得：或
又因为：，所以：，
所以：，得：.
故答案为：.
14．
【分析】结合复数的几何意义和四则运算，即可求解.
【详解】因为复数，在复平面上对应的点分别为，，
则，
则
故答案为：
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数是实数，则求解；
（2）根据复数是虚数，则求解；
（3）根据复数是纯虚数，则求解；
【详解】（1）当，即时，复数z是实数．
（2）当，即时，复数z是虚数．
（3）当且，即时，复数z是纯虚数．
16．
【分析】利用复数相等的概念求解.
【详解】解根据两个复数相等的充要条件，可得
整理得解得
17．（1）答案见解析；（2）1；1；5；5；（3）答案见解析
【分析】（1）直接根据复数的几何意义作图即可；（2）根据复数的模长公式计算即可；（3）利用共轭复数的定义判断即可.
【详解】解 （1）由题意可得图3.3-3．

（2）由于，，，的坐标分别为，，，，
则向量，，，的模分别为
，，，．
（3）点，关于实轴对称，它们所对应的复数与的实部相同，虚部互为相反数．
18．，
【分析】在中，由复数的几何意义，结合向量运算求解即可．
【详解】由于，分别对应复数，，
在中，
有，则对应的复数为，
即点所对应的复数是，
又，则对应的复数为，
即点所对应的复数是．
19．答案见解析
【分析】根据共轭复数的形式，以及复数的运算公式，即可求解.
【详解】由题设可得，复数的共轭复数，复数的共轭复数到．
因而，
．
根据复数的乘法法则，对任何复数，有
，
因此，共轭复数与的积是一个实数，并且等于这个复数的模的平方，即
．
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