2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第八章立体几何初步精选题（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第八章立体几何初步精选题
一、单选题
1．已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点间的球面距离．已知长方体的所有顶点都在同一个球面上，且，，则，D两点间的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论：①直线AM与是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的结论为（ ）
A．③④ B．①② C．①③ D．②④
4．已知三棱锥中，，，两两互相垂直，且，，，若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知正三棱锥的外接球的表面积为，若平面PBC，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，斜高为1，则该正三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在多面体中，四边形为矩形，，，，，到平面的距离为3，则多面体的体积为（ ）

A．18 B．15 C．12 D．9
8．如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为（ ）

A．6 B． C．12 D．24
二、多选题
9．已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内任一点，且五点在同一个球面上，则（ ）
A．
B．四面体的体积为
C．当时，点的轨迹长度为
D．当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为
10．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使得直线与直线为异面直线
B．存在点，使得
C．若为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等
D．过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
11．已知直线a，b，c与平面，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则a，b异面
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
三、填空题
12．已知有大、小两个球外切．若大球与某正四面体的所有棱都相切，小球与该正四面体的三条侧棱都相切，记大球与小球的半径分别为，则 ．
13．在边长为1的菱形中，将沿折起，使二面角的平面角等于，连接，得到三棱锥，则此三棱锥外接球的表面积为 .

14．如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 .

四、解答题
15．设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若
(1)求与平面所成角的正切值；
(2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
16．如图，在三棱柱中，在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段的中点，且，.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求MC与平面所成角的正弦值.
17．如图，多面体是由三棱柱截去部分后而成，D是的中点．

(1)若平面，求点C到平面的距离；
(2)如图，点E在线段上，且，点F在上，且，问为何值时，∥平面？
18．如图，棱长为的正方体中，.
(1)若是线段的中点，求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
19．如图所示，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，为棱上靠近的三等分点，为线段上的动点.

(1)求证：平面；
(2)若四面体的体积为，求的正弦值.
参考答案：
1．B
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【详解】因为，
对于A，若，则与有可能异面，故A错误；
对于B，若，则，又，则，故B正确；
对于C，若，则有可能，故C错误；
对于D，若，则与有可能相交，故D错误．
故选：B．
2．A
【分析】利用球面距离的概念及弧长公式可得答案.
【详解】设球的半径为,球心为由题意，，
所以，
所以在中，由于，所以，
所以，D两点间的球面距离为.
故选：A
3．A
【分析】根据异面直线的定义逐一判断.
【详解】∵A、M、三点共面，且在平面，但平面，，
∴直线AM与是异面直线，故①错误；
因为平面，平面，但平面，，
所以直线AM与BN也是异面直线，故②错误；
因为平面，平面，但平面，，
所以直线BN与是异面直线，故③正确；
因为平面，平面，但平面，，
所以直线AM与是异面直线，故④正确．
故选：A．
4．C
【分析】根据题意，将三棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，再由球的体积公式，即可得到结果.
【详解】因为三棱锥中，，，两两互相垂直，
可以将三棱锥补形为长方体，且长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
又，，，
则球的直径，即，
所以外接球的体积为.
故选：C
5．A
【分析】易得外接球半径，再结合正三棱锥性质可以判断PA，PB，PC两两垂直，则可以将三棱锥补成以PA，PB，PC为邻边的正方体，即可求得棱长，继而求出三棱锥的体积.
【详解】设外接球半径为，则，所以.
设，因为平面PBC，所以，
所以，又因为△ABC为正三角形，，
即PA，PB，PC两两垂直.
将三棱锥补成以PA，PB，PC为邻边的正方体，则，得，
所以三棱锥的体积为.
故选：A.
6．D
【分析】利用已知条件算出上下底面的面积和棱台的高，再由体积公式计算.
【详解】由正三棱台的结构特征知，其上、下底面分别是边长为4和6的等边三角形，如图所示，
为两底面的中心，则为的中点，过作下底面垂线，垂足为，

，，，
棱台的高，
该正三棱台的上底面的面积为，下底面的面积为，
所以正三棱台的体积．
故选：D
7．B
【分析】将多面体补形为三棱柱，过点F作平面平面与直线AB，DC分别交于点P，Q，且满足，利用，进行计算即可.
【详解】如图，可将多面体补形为三棱柱，
过点F作平面平面与直线AB，DC分别交于点P，Q，
且满足，由题知，
易知平面FPQ，∴，
连接EB，EC，则，∴．

故选：
【点睛】求空间几何体体积的常用方法
①割补法：将所求几何体分割成几个或补形成一个容易求出体积的几何体，然后利用常见几何体的体积公式即可得出所求几何体的体积．②等体积法：特别地，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为三棱锥的底面，从而可选择一个容易求出面积及其对应的三棱锥的高的面作为三棱锥的底面，利用棱锥的体积公式即可求解．
8．C
【分析】根据斜二测画法画出原图，从而计算出原图的面积.
【详解】根据斜二测画法的知识画出原图如下图所示，

则原的面积为.
故选：C.
9．AC
【分析】根据线面的垂直可判断线线垂直，判断A；根据棱锥的体积公式可判断B；根据条件，确定轨迹的形状，结合圆的周长求得轨迹长度或范围，即可判断C，D.
【详解】对于A，依题意，可知，
设F为的中点，连接，则，
而平面，故平面，
平面，故，A正确；
对于B，将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为，
则，解得，
由于，即异面直线和的距离为，且平面，，
所以四面体的体积为，B错误；
对于C，由以上分析可知，四面体的外接球半径为，
由，知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，
则，解得，
所以的轨迹长度为，C正确；
对于D，由题意可得,
故的外接圆半径为，
所以球心到所在平面的距离为，
设三棱锥的高为h，
由三棱锥的体积为时，可得，
故，
又由，故E点轨迹为外接球上平行于平面且到平面的距离为的两个截面圆，
其中一个圆为外接球的大圆，
所以点的轨迹长度大于，D错误，
故选：AC.
【点睛】难点点睛：本题考查了四面体中的线面以及线线的位置关系，以及体积和空间几何体中的轨迹问题，难点在于要发挥空间想象，明确空间几何体中的线线位置关系，特别是选项D中要明确E点轨迹，从而确定轨迹长度或其范围.
10．BCD
【分析】根据四点共面，即可判断直线与直线不是异面直线；根据线面垂直证明线线垂直即可判断；直接求出，根据，构造三棱柱，利用即可求解，
类比球体的截面，找到截面面积最大的状态，画出截面图，求得面积即可判断选项.
【详解】对于，如图，连接，，由正方体的性质知，，
所以四点共面，平面，故不正确；

对于，如图，设的中点为，连接，若为的中点，则平面，又平面，所以，
在中，，
所以，故，又平面，
所以平面，又平面，所以，故正确；

对于，如图，取的中点，连接，设，
连接，则几何体为斜三棱柱，
从而，
在三棱柱中，,
其中,
,
∴,
又，故正确；

对于，如图，因为正方体中心对称（类比为球体，看作弦），故过的截面经过正方体的对称中心时所得截面面积最大，此时截面交棱于中点，也为中点，取的中点的中点的中点，连接，所以过三点的平面截正方体所得截面面积最大时，截面形状为正六边形，
面积为，故正确.
故选:.

【点睛】思路点睛：在求解三棱锥的体积时一般可以通过转换顶点，更换几何体的底面和高求解，也可以将三棱锥的体积转化为几个容易求解的几何体的体积差求解；解决选项的关键就是能够合理转化问题，类比解决，从而找到截面面积最大的状态.
11．AC
【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】若，，，则a，b异面，故A正确；
若，，，则与异面或平行或相交，故B错误；
若，，则，故C正确；
若，，则或相交，故D错误；
故选：AC
12．
【分析】设正四面体的棱长为，取中点，取底面的中心，记大球的球心为，记小球球心为，作，根据棱和球相切产生的直角进行计算，根据图形关系列关于的方程，整理即可得答案.
【详解】如图，设正四面体的棱长为，
因为大球与所有的棱都相切，取中点，取底面的中心，
记大球的球心为，则在上，，作，易知，
所以，
因为小球与该正四面体的三条侧棱都相切，记小球球心为，作，
则，
因为，，
所以，，，
所以，
所以.
故答案为：.
13．/
【分析】设菱形中心为，则，为等边三角形，利用球的截面性质确定球心位置，根据二面角定义，等边三角形的性质求出球的半径可得答案.
【详解】取的中点，连接，
因为为菱形，所以即为二面角的平面角，
因为，所以和均为正三角形，
取靠近的三等分点，取靠近的三等分点，
过点作平面，过点作平面，交于点，
则为三棱锥外接球的球心，连接，
由对称性知，则，，
因为，
所以，
所以外接球的半径，
所以外接球的表面积为.
故答案为：

14．
【分析】先利用直线与平面所成的角为，求得点的轨迹，进而求得点的轨迹长度.
【详解】若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨，
在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）；
在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）；
在平面内是以点为圆心2为半径的圆弧，如图，
故点的轨迹长度为．
故答案为：.

15．(1)
(2)存在，
【分析】（1）先根据线面垂直的性质证明，再证明平面，则即为与平面所成角的平面角，再解即可；
（2）连接，作于点，证明平面，则即为点到平面的距离，再在中，利用等面积法求解即可.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
所以即为与平面所成角的平面角，
在中，，则，
所以与平面所成角的正切值为；
（2）假设存在，设，
连接，作于点，
因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
所以即为点到平面的距离，
由，得，
由，解得，
所以存在，.
16．(1)
(2)
【分析】（1）首先利用平行关系和垂直关系的转化，证明面，再根据条件中的数值，代入体积公式，即可求解；
（2）首先利用等体积公式转化为求得点到平面的距离，再根据线面角的定义,利用即可.
【详解】（1）取BC的中点O，连接OA，，
因为在底面ABC上的射影为O，
所以面ABC，
在三棱柱中，面面，
所以面因为面，
所以，
在中，M为线段的中点，，
因为，
所以，
因为面，面，，
所以面，
中，，，所以，，
所以
；
（2）设C到平面的距离为d，则
在中，，，
所以，
所以，
设MC与平面所成角为，则
，
所以MC与平面所成角的正弦值为.
17．(1)
(2)
【分析】1）由，，可得面，即点到面的距离等于；
（2）当时，直线平面，理由如下：在上取点，使得，平面，取的中点，连接，可得，则平面，所以平面平面，可得证.
【详解】（1）多面体是由三棱柱截去一部分后而成，
是的中点，平面，平面，
又，，面，面，
∴面，又面，
则，而，所以，
又∵，是的中点，∴，，
可得，即，，
面，面，
∴面，
∴点到面的距离；
（2）当时，直线平面，
理由如下：设，则，
在上取点，使得，
所以，而，平面，平面，
所以平面，
取的中点，连接，可得，
当时，，所以，则，
平面，平面，所以平面，
，平面，平面，
所以平面平面，平面，
所以平面，
此时

18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出线段的三等分点，连接，，，，分别证明平面，平面，从而得面面平行，由面面平行的性质即可得证；
（2）直接由三棱锥的体积公式即可求解.
【详解】（1）如图，分别作出线段的三等分点，连接，，，.
，，即，
又因为，所以四边形是平行四边形，
，同理可证，
因为平面，平面，所以平面，
分别是的中点，，
因为，，
因为平面，平面，平面，
又，平面，平面平面，
平面，平面.
（2）.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明来证得平面；
（2）根据四面体的体积求得，进而求得的正弦值.
【详解】（1）由于，所以，由于是的中点，
所以，由于平面，平面，
所以，由于平面，
所以平面，由于平面，所以.
由题设易知，
所以，所以，
由于平面，所以平面；
（2）由（1）得平面，所以平面，
，
由于平面，所以，
所以，所以.
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