2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用精选题

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2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用精选题
一、单选题
1．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s，位移为，则（　　）
A． | B．
C． D．s与不能比较大小
2．如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（ ）
A． B．
C． D．
3．在四边形ABCD中，，则（　 　）
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
4．向量，，若⊥，则（ ）
A． B． C． D．
5．若向量与的夹角为，，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
6．已知，，，若，则x等于（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．下列运算正确的个数是（ ）
①；
②；
③.
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知等边的边长为6，D在上且，E为线段上的动点，求的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
10．下列说法中不正确的是（ ）
A．若，则
B．若与共线，则或
C．若，为单位向量，则
D．是与非零向量共线的单位向量
11．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处与处之间的距离是
B．灯塔与处之间的距离是
C．灯塔在处的西偏南
D．在灯塔的北偏西
三、填空题
12．已知，则=
13．已知向量、满足，，与的夹角为，若，则 .
14．的内角，，所对的边分别为，，.已知，则 ．
四、解答题
15．如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设，，，求证：.
16．如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、.景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知.

(1)景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.求线段的长度（长度单位精确到0.1km）；
(2)求线段的长度（长度单位精确到0.1km）（）.
17．已知点O为所在平面内一点，且满足．求证：点O是三条高线的交点．
18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求A；
(2)若，求证：.
19．在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
参考答案：
1．A
【分析】在三角形中，两边之和大于第三边，得．
【详解】物理量中的路程是数量，位移是向量，，故
故选：A

2．B
【分析】利用基底的定义求解.
【详解】由题中图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量，
与与不共线，可作为基底向量．
故选：B.
3．D
【分析】运用同起点的向量加法的平行四边形法则易得.
【详解】对于同起点的向量的和一般通过作平行四边形得到，由可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形.
故选：D.
4．D
【分析】根据垂直关系得到方程，求出答案.
【详解】由题意得，解得.
故选：D
5．C
【分析】根据向量数量积运算化简已知条件，从而求得.
【详解】因为
，
，解得（负根舍去）.
故选：C
6．C
【分析】运用向量的坐标运算规则进行求解.
【详解】解：由题意可得，，
所以，，
所以，解得x＝4.
故选：C.
7．C
【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可.
【详解】根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；
在③中，，显然该运算错误.
所以运算正确的个数为2.
故选：C
8．B
【分析】设，，用表示出，然后平方转化为数量积的运算得出关于的函数，再由二次函数知识得最大值和最小值，从而得其范围．
【详解】设，则，，
设，又，
则，，
，
，
所以时，取得最小值12，时，取得最大值28，
所以的取值范围是，
故选：B．
9．ABC
【分析】根据向量平行的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可判断C；由向量与向量的夹角为钝角，可得且不共线，进而可判断D.
【详解】对于A，若，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，，
则，
当时，，故C正确；
对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，
所以且不共线，
由，得，
由得，
所以的取值范围为，故D错误.
故选：ABC.
10．BC
【分析】根据零向量的定义与性质，单位向量的定义以及共线向量的定理，可得答案.
【详解】对于A，根据零向量的定义，若，则，故A正确；
对于B，当时，显然与共线，但是零向量的方向是任意的，所以不一定有或，
故B错误；
对于C，设，，显然为单位向量，但，故C错误；
对于D，由，则为单位向量，由，则向量与共线，
即是与非零向量共线的单位向量，故D正确.
故选：BC.
11．AC
【分析】作图，运用正弦定理和余弦定理解相应的三角形即可.
【详解】在中，由已知得，，
则，由正弦定理得，
所以A处与D处之间的距离为，故A正确；
在中，由余弦定理得，
又，解得．所以灯塔C与D处之间的距离为，故B错误；
，，灯塔C在D处的西偏南，故C正确；
灯塔B在D的南偏东，D在灯塔B的北偏西，故D错误；
故选：AC
12．10
【分析】求出的坐标，再由模的坐标表示计算．
【详解】由题意，
所以，
故答案为：10.
13．/
【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.
【详解】因为，，与的夹角为，
所以.
因为，
所以，
解得.
故答案为：.
14．//
【分析】运用余弦定理解三角形即可.
【详解】在中，由余弦定理知，
又，所以，
又，所以.
故答案为：.
15．证明见解析
【分析】根据图形关系，利用向量线性运算化简即可得到结论.
【详解】因为
所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理计算可得；
（2）先求出，的正弦、余弦值，再利用和角的正弦公式求出，最后利用正弦定理计算可得.
【详解】（1）依题意可得，，，
在中由余弦定理，
即，即，
解得（舍去）或，
所以线段的长度约为.
（2）在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴
，
，
∴
．
又，
在中由正弦定理，
即，解得，
所以线段的长度约为.
17．证明见解析
【分析】根据题意，把用表示，代入已知向量等式计算，即可证明,
【详解】因为，，，
由可得，
，
所以，
则，
，
。
所以点O是三条高线的交点.
18．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，再结合余弦定理和，可求出角；
（2）由结合余弦的二倍角公式可求出，再利用余弦定理得，由结合余弦定理得，两式结合化简可证得结论.
【详解】（1）解：因为，
所以由余弦定理得，
所以，得，
因为，所以，得，
所以由余弦定理得，
因为，所以；
（2）证明：因为，所以，
化简整理得，
，解得或（舍去），
所以由余弦定理得，所以，
因为，
所以由余弦定理得，
整理得，
所以，
所以，得，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积的坐标表示及两角和的余弦公式求出，即可求出；
（2）由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，，且，
，
，
又∵为内角，，
（2）由余弦定理，得，
解得或（舍去），
故，所以．
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