2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用经典题型（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用经典题型
一、单选题
1．已知向量，，则在方向上投影长度为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知非零向量，满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角的对边分别为，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面向量，．若，则（ ）
A．或1 B． C．1 D．
7．在中，点在直线上，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．与垂直 D．
10．对于，有如下判断，其中正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
11．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．设，为单位向量，则的最大值为 ．
13．已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为 ．
14．瀑布是大自然的奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布》中写到“日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川.飞流直下三千尺，疑是银河落九天”.某学校高一数学活动小组为了测量瀑布的实际高度，设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿着山道继续走m，测得瀑布顶端仰角为已知该同学沿山道行进方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为根据该同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 ．
四、解答题
15．标靶飞行的速度大小为（n为实数）.令，基底是平面内的单位向量.若标靶的飞行方向为北偏东30°，方向为正东，方向为北偏东60°，试求实数，的值.
16．设是不共线的两个向量.
(1)若，，，求证：A，B，C三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值.
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求A，B和c．
18．已知为的三个内角，其所对的边分别为，且.
(1)求A的大小；
(2)若，求c的值．
19．在中，内角的对边分别是，已知．
(1)求；
(2)若，求的面积．
参考答案：
1．B
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【详解】解：，，
则，，
故在方向上的投影长度为：．
故选：B．
2．D
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：的面积，
，
，
则，
，
，
，
，，，
，
．
故选：D．
3．B
【分析】根据题意，由数量积的运算律，代入计算，结合平面向量的夹角计算公式，即可得到结果.
【详解】因为，
所以．
设与的夹角为，则．
故选：B
4．D
【分析】先由，求出三个角，进而可得各角正弦值，再由正弦定理，即可得出结果.
【详解】在中，,所以，
由正弦定理可得：，
故选:D.
5．B
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，并确定角的范围即可求解.
【详解】在中，，由正弦定理得，
则，而，即，
所以.
故选：B
6．B
【分析】根据向量线性运算的坐标表示结合向量垂直分析求解.
【详解】因为，，则，，
又因为，则，解得或，
且，所以．
故选：B．
7．A
【分析】根据画出及点D的位置，再由向量的线性运算即可由表示出.
【详解】因为，
所以

故选：A.
8．B
【分析】根据，得，由余弦定理可求.
【详解】因为向量，，
因为，
所以，即，
由余弦定理可得.
因为，所以，
故选：B.
9．ABD
【分析】A：根据不共线进行分析；B：根据数量积的计算公式进行分析；C：根据数量积的运算进行分析；D：结合向量的三角不等式进行分析.
【详解】选项A：因为是三个非零的平面向量，且相互不共线，
所以不会同时与垂直，所以与不会同时为，
所以，故A错误；
选项B：，由于，
所以，故B错误；
选项C：因为，
所以与垂直，故C正确；
选项D：因为是非零向量，且不共线，所以设，
从而，在中，两边之差小于第三边，所以，故D错误；
故选：ABD.
10．ABD
【分析】利用余弦函数单调性判断A；利用正弦定理推理判断B；利用余弦定理计算判断C；利用正余弦定理计算判断D.
【详解】对于A，在中，由，得，为等腰三角形，A正确；
对于B，在中，，得，由正弦定理得，B正确；
对于C，在中，由余弦定理得，只有一解，C错误；
对于D，在中，由及正弦定理得，
由余弦定理得，则C为钝角，是钝角三角形，D正确．
故选：ABD
11．AD
【分析】根据三角形内角和为，结合题意可知，根据正弦定理和倍角公式即可求出B，C角正弦与余弦值，再根据余弦定理即可解出a值.
【详解】，故，根据正弦定理：，即，
，故，，A正确；，B错误．
，化简得到，解得或，
若，故，故，不满足，故，C错误，D正确．
故选：．
12．3
【分析】根据数量积的公式求模，再根据夹角的范围，求模的最大值.
【详解】，
当向量同向时，的最大值为3.
故答案为：3
13．/0.75
【分析】利用向量加减法的平行四边形法则作图，由题意转化为求的最小值即可得解.
【详解】设，则，如图，
，，，
即，
，，，
即，
，
设，
则，
由在直线上，可知当时，最小，
此时，
故的最小值为.
故答案为：
14．60m
【分析】根据题意画出图象，结合题中条件求得，在中，由余弦定理建立方程，解出即可.
【详解】如图，设瀑布顶端为，底端为，高为，
该同学第一次测量的位置为,第二次测量的位置为,
则,，
,
所以，
在中，由余弦定理可知：
,
即，
解得，
故答案为：60m.
15．
【分析】建立直角坐标系，利用平面向量线性运算坐标表示公式进行求解即可.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系（x轴的正方向为东，y轴的正方向为北），

则，，.
则，∴，
∴解得
16．(1)证明见解析；
(2)±4.
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【详解】（1）由，，，
得，
，
因此，且有公共点B，
所以A，B，C三点共线.
（2）由于与共线，则存在实数，使得，
即，而是不共线，
因此，解得或，
所以实数k的值是.
17．
【分析】根据题意，由余弦定理代入计算，即可求得，再由余弦定理求得，由三角形的内角和求得.
【详解】由余弦定理得，
即，
∵，
∴，∴或（舍去）．
∵，且，
∴，．
∴.
18．(1)120°
(2)
【分析】（1）由题意，根据二倍角的余弦定理可得，即可求解；
（2）利用余弦定理建立关于c的方程，解之即可求解.
【详解】（1）∵，，
∴，∴，
由，得.
（2）由余弦定理，知，
又，
∴，
化简，得，解得或（舍去）．
19．(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦公式求解.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理及三角形面积公式计算即得.
【详解】（1）在中，由，得，
由正弦定理得，
则，而，因此，又，
所以.
（2）由（1）及余弦定理得：，即，
解得或，当时，，
当时，，
所以的面积为或.
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