湖北省武汉市江夏区第一初级中学2023-2024学年下学期九年级数学3月测试题（解析版）

2023—2024学年九年级下学期课堂测试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 4的相反数是（　　）
A. 4 B. ﹣4 C. D. -
2. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，这个事件是（ ）
A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件
3. 下面几对图形中，相似的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，，，，则的长为（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象位于第一、三象限 B. 图象所在的每一个象限内，y随x的增大而增大
C 图象与y轴有公共点 D. 图象经过点，则
7. 如图，下列条件不能判定的是（ ）
A. ， B.
C. ， D. ，
8. 已知，计算的值是（ ）
A. 1 B. C. 0.5 D.
9. 如图，，切于、两点，切于点，分别交，于，，，若的半径为，的周长等于，则的值是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若直线上总存在一点，使，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：______．
12. 如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了____米．
13. 如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人跟到地面的高度，，、在同一平面内，点，，在一条水平直线上，已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，则塔的高度为___________米．
14. 如图，在中，，．动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过__________秒时与相似．
15. 如图，二次函数，其对称轴为直线，且与x轴交于点、，其中，下列结论：
①；②；③；④；⑤
其中正确的有__________．（填写正确的序号）
16. 如图，在中，，，延长到D，使得，点E在线段上运动（不与B，C重合）过E作平行四边形，M为的中点，则的范围是__________．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 计算：．
18. 已知在直角中，，，，求和大小．
19. 如图，在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
20. 如图所示，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分弓形的面积．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（）中，是格线上一点连接，直接写出__________．
（2）在图（1）中，在线段上作出点，而且；
（3）在图（2）中，是边上一点，．先将绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称．
22. 冻雨是湖北不常见的天气情况，一旦遇上会对工作和生活带来不便甚至灾害．武汉市在二月份下了多次冻雨，许多树木因为冻雨结冰发生折断，我们对一无冰树枝置于武汉的2024年2月3日15点开始的冻雨下进行观察，发现一段含冰树枝的重量y（千克）和时间x（小时）近似满足二次函数关系：，当时，该含冰树枝重9.75千克；当时，该含冰树枝增重到15.75千克．
（1）求二次函数的解析式．
（2）由经验可知当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时，树枝会发生折断，请问树枝会折断吗？如果会，何时断裂，如果不会，说明理由．
（3）在（2）的树枝折发生折断的经验下，从2月3日15时，观察同一段树枝，经过10小时后，冻雨雨量开始增大，平均每小时的重量额外增加n千克，发现该段树枝在次日凌晨到之间折断，请直接写出n的范围__________．
23. 【基础巩固】（）如图，在中，，是边上一点，是边上一点，．求证：．
【尝试应用】（）如图，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长．
【拓展提高】（）在中，，，以为直角顶点作等腰直角，点在线段上，点在线段上．若，直接写出__________．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，若抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点是直线下方的抛物线上一点，过点作，交轴于点，且，求点的横坐标；
（3）如图2，点在点的正下方，连接，交抛物线于点，直线交对称轴于点，作，交射线于点，求的大小．
武汉二中广雅2023—2024学年九下课堂作业（3.2）解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 4的相反数是（　　）
A. 4 B. ﹣4 C. D. -
【答案】B
【解析】试题分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
所以4的相反数-4．故选B．
2. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，这个事件是（ ）
A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件
【答案】A
【解析】解：∵经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，
∴为事件分类中得随机事件．故选：A．
3. 下面几对图形中，相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似；
故选：C．
4. 如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：在中,
故选：．
5. 如图，在中，，，，，则的长为（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】∵，
∴，即，
∴，
∴．故选C．
6. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象位于第一、三象限 B. 图象所在的每一个象限内，y随x的增大而增大
C 图象与y轴有公共点 D. 图象经过点，则
【答案】B
【解析】解： ，，
A. 图象分布在第二、四象限，故该选项不正确，不符合题意；
B. 在每一象限内，随的增大而增大，故该选项正确，符合题意；
C. 函数图象与y轴没有公共点，故该选项不正确，不符合题意；
D. 由经过点，得或，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．
7. 如图，下列条件不能判定的是（ ）
A. ， B.
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】解：A、由可得，再由，可证，故A不符合题意；
B、由，可证明，可得故B不符合题意；
C、由可得，再由，不能证明，故C符合题意；
D、由可得，再由，可证明，故D不符合题意；
故选：C．
8. 已知，计算的值是（ ）
A. 1 B. C. 0.5 D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
∴原式
；故选C．
9. 如图，，切于、两点，切于点，分别交，于，，，若的半径为，的周长等于，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：连接，延长交于点，
∵，切于，两点，切于点，交，于，，
∴，，，，，，，
∴的周长，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴即，解得，，
∵，，，
∴，故选．
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若直线上总存在一点，使，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：①如图，在上方取一点，作于，则，，连接，，
则，，，
，即是正三角形，
则，
作的外接圆，则所对上的圆周角为，当圆与直线相切时，如图1，圆与直线相切于点，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，，
，
延长交轴于，
在中，令，则，令，则，
，，
，，，
，
在中，，且，
，
，即，
，
，
，
，
，
在中，，
，
又，
，解得：；
②如图2，在下方取一点，连接，，
同理可得是正三角形，作其外接圆，与直线切于点，连接，，
同上可知，，，
，
延长交轴于点，延长交轴于点，
同理可得，，，
，
，
又，
，
解得：，
则当时，两圆与直线相交必存在点使．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：______．
【答案】1
【解析】
故答案为：1
12. 如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了____米．
【答案】100
【解析】解：根据题意得，所以∠A=30°，
所以:（m）．
故答案为：.
13. 如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人跟到地面的高度，，、在同一平面内，点，，在一条水平直线上，已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，则塔的高度为___________米．
【答案】
【解析】解：如图，过作于，交于，
则，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，经检验符合题意；
∴（米），
故答案为．
14. 如图，在中，，．动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过__________秒时与相似．
【答案】或
【解析】解：设经过t秒时，与相似，
则，，，
∵，
∴当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
故答案为：或．
15. 如图，二次函数，其对称轴为直线，且与x轴交于点、，其中，下列结论：
①；②；③；④；⑤
其中正确的有__________．（填写正确的序号）
【答案】④
【解析】解：∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴；故①错误；
∵，且关于直线对称，
∴；故②错误；
∵抛物线的开口向上，
∴当时，函数值最小，
∴，
∴；故③错误；
由图象可知，当时，，
∵，
∴，即：，故④正确；
∵抛物线的开口向上，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
∵抛物线与轴有2个交点，
∴，
∵，
∴；故⑤错误；
故答案为：④．
16. 如图，在中，，，延长到D，使得，点E在线段上运动（不与B，C重合）过E作平行四边形，M为的中点，则的范围是__________．
【答案】
【解析】解：取的中点，连接，
∵M为的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∴点在直线上移动，
∴当时，的值最小，
过点作，过点作，过点作，交于点，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴，
∴当时，；
当点与点重合时：设与交于点，过作，如图，
则：四边形矩形，，
∴，（平行线间的距离处处相等）；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点与点重合时，与点重合，此时，
∴；
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 计算：．
【答案】0
【解析】解：原式．
18. 已知在直角中，，，，求和大小．
【答案】4，
【解析】解：∵在直角中，，，，，
∴，，即，
∴，
19. 如图，在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20. 如图所示，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分弓形的面积．
【解析】
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：作于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（）中，是格线上一点连接，直接写出__________．
（2）在图（1）中，在线段上作出点，而且；
（3）在图（2）中，是边上一点，．先将绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称．
【解析】
小问1详解】解：如图，在中，，
故答案为：；
（2）解：如图，点为所求作图形，
理由如下：如图，连接，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：作图如下：
理由如下：取格点、，，连接、、，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点、、三点共线，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，与关于直线成轴对称，即点与点关于直线成轴对称，
∴，
∴，
∴将绕点顺时针旋转，得到线段，
∵点与点关于直线成轴对称，
∴与关于直线成轴对称，
∴点与点关于成轴对称．
22. 冻雨是湖北不常见的天气情况，一旦遇上会对工作和生活带来不便甚至灾害．武汉市在二月份下了多次冻雨，许多树木因为冻雨结冰发生折断，我们对一无冰树枝置于武汉的2024年2月3日15点开始的冻雨下进行观察，发现一段含冰树枝的重量y（千克）和时间x（小时）近似满足二次函数关系：，当时，该含冰树枝重9.75千克；当时，该含冰树枝增重到15.75千克．
（1）求二次函数的解析式．
（2）由经验可知当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时，树枝会发生折断，请问树枝会折断吗？如果会，何时断裂，如果不会，说明理由．
（3）在（2）的树枝折发生折断的经验下，从2月3日15时，观察同一段树枝，经过10小时后，冻雨雨量开始增大，平均每小时的重量额外增加n千克，发现该段树枝在次日凌晨到之间折断，请直接写出n的范围__________．
【解析】
（1）解：∵，当时，该含冰树枝重9.75千克；当时，该含冰树枝增重到15.75千克，
∴，解得：，
∴；
（2）不会，理由如下：
∵，
∴当时，，
∴当冻雨下含冰树枝的重量是未结冰时的3.5倍时，，
解得：或，
∵，
∴树枝不会折断；
（3）∵，
∴当时，，
10小时后的时间为凌晨，
∵该段树枝在次日凌晨到之间折断，
∴，解得：．
故答案为：．
23. 【基础巩固】（）如图，在中，，是边上一点，是边上一点，．求证：．
【尝试应用】（）如图，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长．
【拓展提高】（）在中，，，以为直角顶点作等腰直角，点在线段上，点在线段上．若，直接写出__________．
【答案】（1）见解析；（）;（）
【解析】1）证明：，，
，
，，
，
，
，
；
（）解：如图中，延长交的延长线于点过作于点．
∵，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∵，
∴
∴，
；
（）解：如图，过点作与交于点，使，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
∵，
，
，
，
．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，若抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点是直线下方的抛物线上一点，过点作，交轴于点，且，求点的横坐标；
（3）如图2，点在点的正下方，连接，交抛物线于点，直线交对称轴于点，作，交射线于点，求的大小．
【解析】
（1）解：，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为：，
将，代入直线得：，
解得：，
直线的解析式为：，
点是直线下方的抛物线上一点，
设点的坐标为，
，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
，
，
，
，
，
或，
点是直线下方的抛物线上一点，
，
，
，
解得：或，
，
，
点的横坐标为；
（3）解：点在点的正下方，
设点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
联立，
整理得：，
，
解得：，，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
抛物线的解析式为，
对称轴为直线，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
作，交射线于点，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
．