2023-2024学年河南省郑州外国语学校初中部八年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省郑州外国语学校初中部八年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，、、的对边分别为、、，下列条件中，能判定是直角三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2.的平方根是的数学表达式是( )
A. B. C. D.
3.点与点关于轴对称，则的值是( )
A. B. C. D.
4.下列说法中，正确的是( )
A. 经过证明为正确的真命题叫做公理
B. 假命题不是命题
C. 要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可
D. 要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可
5.某品牌汽车公司销售部为了制定下个月的销售计划，对位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是单位：辆( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
6.如图，在边长为的正方形方格中，，，，均为格点，构成图中三条线段，，现在取出这三条线段，，首尾相连拼三角形下列判断正确的是( )
A. 能拼成一个锐角三角形 B. 能拼成一个直角三角形
C. 能拼成一个钝角三角形 D. 不能拼成三角形
7.佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下：
时刻 ： ： ：
里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为 十位数字与个位数字相比：时看到的刚好颠倒 比：看到的两位数中间多了个
则：时看到的两位数是( )
A. B. C. D.
8.如图，中，，且，，则的度数( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，一只蚂蚁从点出发，沿棱柱侧面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是．( )
A.
B.
C.
D.
10.吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为，他从家出发匀速步行到公园后，停留，然后匀速步行到学校．设吴老师离公园的距离为单位：，所用时间为单位：，则下列表示与之间函数关系的图象中，正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在，，，，，这个数中，无理数共有______个
12.不等式的正整数解是______．
13.如图，直线，一块的直角三角板按如图所示放置，若，则的度数为______．
14.一组从小到大排列的数据：，，，，为正整数，唯一的众数是，则该组数据的平均数是______．
15.如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，且：：那么等于______．
三、解答题：本题共7小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：
；
．
17.本小题分
解不等式组，并在数轴上表示此不等式组的解集．
18.本小题分
完成下面的证明．
已知：如图，，，分别是，的平分线，求证：．
证明：已知，
______
____________
，分别是，的平分线已知，
______，______
．
______
19.本小题分
在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话如图，试根据图中的信息，解答下列问题：
小明他们一共去了几个成人，几个学生？
请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由．
20.本小题分
如图，某市三个城镇中心，，恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇为出发点设计了三种选择方案：
；
为的中点；
为三边的垂直平分线的交点．
要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？
21.本小题分
某乳品公司向某地运输一批牛奶，若由铁路运输，每千克牛奶只需运费元；若由公路运输，不仅每千克牛奶需运费元，而且还需其他费用元设该公司运输这批牛奶为千克，选择铁路运输时所需费用为元；选择公路运输时所需费用为元
请分别写出，与之间的关系式；
在下面的平面直角坐标系内画出它们的大致图象；
运输千克牛奶时，选择哪一种运输方式比较合算？
22.本小题分
定义：如图，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．
感悟应用：
已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则 ______．
拓展研究：
如图，在等腰直角中，，，、为直线上两点，满足．
如图，点、在线段上，求证：点、是线段的勾股分割点；
如图，若点在线段上，点在线段的延长线上，，，则 ______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，
，
满足选项的三角形不是直角三角形；
B.，，，
，
满足选项的三角形不是直角三角形；
C.，，，
，
满足选项的三角形不是直角三角形；
D.，，，
，
满足选项的三角形是直角三角形．
故选：．
根据勾股定理的逆定理，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四组条件．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方或寻找三角形中是否有一个角为直角”是关键．
2.【答案】
【解析】解：的平方根是的数学表达式是，
故选：．
根据平方根的定义进行计算即可．
本题考查平方根，理解平方根的定义以及表示方法是正确解答的前提．
3.【答案】
【解析】解：与点关于轴对称，
，
解得，，
．
故选：．
根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数列出关于、的方程，解出、的值，再代入即可．
本题考查的是关于、轴对称点的坐标特点，解答本题的关键要明确：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4.【答案】
【解析】解：、经过长期实践证实为正确的真命题称为公理，所以选项错误；
B、假命题是不正确的命题，所以选项错误；
C、要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可，所以选项正确；
D、要证明一个命题是真命题，需要进行推论论证说明它正确，所以选项错误．
故选：．
根据公理的定义对进行判断；根据假命题的定义对进行判断；根据真、假命题的证明方法对、进行判断．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
5.【答案】
【解析】解：根据题意得：
销售辆的人数是：人，
销售辆的人数是：人，
销售辆的人数是：人，
销售辆的人数是：人，
则这位销售人员本月销售量的平均数台；
把这些数从小到大排列，最中间的数是第、个数的平均数，
则中位数是；
销售台的人数最多，
这组数据的众数是．
故选：．
根据扇形统计图给出的数据，先求出销售各台的人数，再根据平均数、中位数和众数的定义分别进行求解即可．
此题考查了平均数、中位数和众数，用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
6.【答案】
【解析】解；由题意得：，，，
，
三条线段，，首尾相连拼三角形是直角三角形．
故选：．
根据勾股定理分别求出、、，然后利用勾股定理的逆定理求解即可．
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
7.【答案】
【解析】解：设：时看到的两位数的十位数字为，个位数字为，
依题意得：，
解得：，
．
故选：．
设：时看到的两位数的十位数字为，个位数字为，根据十位与个位数字之和为且车行驶的速度不变，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设，
，
，，
，，
得：，
，
，
，
，
，
，
的度数为，
故选：．
设，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.【答案】
【解析】解：把长方体展开为平面图形，分两种情形：
如图中，，
如图中，，
，
爬行的最短路径是，
故选：．
把长方体展开为平面图形，分两种情形求出的长即可判断．
本题考查平面展开最短路径问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
10.【答案】
【解析】解：吴老师从家出发匀速步行到公园，则的值由变为，
吴老师在公园停留，则的值仍然为，
吴老师从公园匀速步行到学校，则在分钟时，的值为，
故选：．
在不同时间段中，找出的值，即可求解．
本题考查了函数的图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：在，，，，，，这个数中，无理数有，，共有个．
故答案为：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
12.【答案】，，，，
【解析】解：根据不等式的基本性质，得，
不等式，
，
，
；
所以不等式的正整数解是：，，，，．
故答案为：，，，，．
首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
本题主要考查了不等式的解法；正确解不等式，求出解集是解答本题的关键；解不等式应根据不等式的基本性质．
13.【答案】
【解析】解：如图：
，
，
，
，
．
根据平行线的性质，先求出，的度数，再利用三角形内角和求出、．
本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，准确计算是解题的关键．
14.【答案】或
【解析】解：数据：，，，，为正整数，唯一的众数是，
或，
当时，平均数为；
当时，平均数为；
故答案为：或．
根据众数的定义得出正整数的值，再根据平均数的定义求解可得．
本题主要考查了众数与平均数的定义，根据众数是一组数据中出现次数最多的数得出的值是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，：：，
设为，为，
由勾股定理得：，
，
，
，
故答案为：．
根据勾股定理得出与的值，进而解答即可．
此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得的值．
16.【答案】解：
；
．
【解析】先计算二次根式的乘法，再算减法，即可解答；
利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
18.【答案】内错角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 角平分线的定义 同位角相等，两直线平行
【解析】证明：已知，
内错角相等，两直线平行．
两直线平行，同位角相等．
、分别是、的平分线已知，
，角平分线的定义．
等量代换．
同位角相等，两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义；同位角相等，两直线平行．
由平行线的判定得，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，进而可判定．
本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
19.【答案】解：设成人人数为，则学生人数为，
根据题意得：，
解得：，
．
答：小明他们一共去了个成人，个学生．
如果买团体票，按人计算，共需费用：元，
，
购团体票更省钱．
答：购团体票更省钱．
【解析】设成人人数为，则学生人数为，根据总费用成人票价人数学生票价人数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
求出购买张团体票的总钱数，与比较后即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据总价单价数量求出购买张团体票的总费用．
20.【答案】解：设等边三角形的边长为，
如图所示，铺设的通讯电缆长为；
如图所示，为等边三角形，，
为的中点，即，
在中，根据勾股定理得：，
则铺设的通讯电缆长为；
如图所示，为等边三角形，且为三角形三条高的交点，
，则，，
故，
解得：，则，
则铺设的通讯电缆长为，
，
则方案铺设方案好．
【解析】设等边三角形的边长为，如图求出两边之和得到铺设通讯电缆的长度；如图，在直角三角形中，利用勾股定理表示出，由表示出铺设通讯电缆的长度；如图，为三角形三条高的交点，根据方案求出的高，求出的长，由表示出铺设通讯电缆的长度，比较大小即可得到方案铺设方案好．
此题考查了作图应用与设计作图，等边三角形的性质以及勾股定理，是一道方案型试题，分别表示出三个图形通讯电缆的长度是解本题的关键．
21.【答案】解：由题意得：，
；
当时，；；
时，即，
解得：，，
它们的大致图象如图所示：
选择铁路运输时，元；
选择公路运输时，元；
，
选择公路运输方式比较合算，
答：选择公路运输方式比较合算．
【解析】选择铁路运输时所需的费用每千克运费元牛奶重量，选择公路运输时所需的费用每千克运费元牛奶重量元；
当选择铁路运输比较合算时，进而可得不等式，当选择公路运输比较合算时，，分别解不等式即可．
此题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数关系式．
22.【答案】
证明：如图，作且，连接、．
，
．
．
在和中，
，
≌，
，．
，
．
．
，
．
．
同理≌．
．
，
．
，
点，是线段的勾股分割点；

【解析】解：以、、为边的三角形是一个直角三角形，，，
，
，
，
故答案为：；
见答案；
解：将绕点逆时针旋转得到，连接，
，，，，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据勾股分割点的定义得，，代入计算即可；
作且，连接，，利用证明≌，得，即可证明结论；
将绕点逆时针旋转得到，连接，证≌，得，从而有，代入得，从而得出答案．
本题考查的是勾股定理，涉及到旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，读懂题意，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键．
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