2023-2024学年湖南省郴州市明星高级中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省郴州市明星高级中学高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.函数在区间内的零点个数是( )
A. B. C. D.
5.“”的一个必要不充分条件可以是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.函数的图像大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数通过变换得到的解析式与函数解析式相同的有( )
A. 函数横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
B. 函数向左平移个单位长度
C. 函数横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D. 函数向左平移个单位长度，再横坐标变为原来倍，纵坐标不变
10.下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是( )
A. B. C. D.
11.函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 是图像的一个对称中心
C. 在区间上单调递增
D. 把图像上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图像
12.已知，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.半径为，圆心角为的弧长为______．
14.已知常数，，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个定点的坐标是______．
15.酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过______小时才能驾驶注：不足小时，按小时计算，如计算结果为，就答小时
参考数据：取，，，．
16.设函数，若对于任意实数，在区间上至少有个零点，至多有个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在平面直角坐标系中，已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点．
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知集合，集合．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数为奇函数．
求实数的值；
判断在上的单调性不必证明；
解关于的不等式．
20.本小题分
某公司带来了高端智能家属产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场已知该产品年固定研发成本万元，每生产一台需另投入元设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万合的销售收入为万元，．
求年利润万元关于年产量万台的函数解析式；利润销售收入成本
当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．
21.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和最大值；
将的函数图象向左平移个单位后得到的函数是偶函数，求的最小值．
22.本小题分
已知函数，其中且．
当时，求函数定义域；
设函数，试求函数的零点；
任取，，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为命题“，”的否定是“，”．
故选：．
利用含有量词的命题否定方法可得答案．
本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
由交集运算的定义即可求解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，且，可得：，
则，当且仅当，取得最小值．
故选：．
由条件可得，，运用基本不等式即可得到所求最小值．
本题考查最值的求法，注意运用乘法和基本不等式，考查变形的技巧和运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：在区间内连续且单调递减，
又，，
根据零点判定定理可得，在内有个零点．
故选：．
结合零点判定定理即可判断函数的零点个数．
本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用，属于基础试题．
5.【答案】
【解析】解：由，得，解得，
选项是“”的一个必要不充分条件，
是正确选项所对应集合的真子集，
故选：．
由，得，即，根据题意，找出是选项所对应集合的真子集的选项即可．
本题考查充分、必要条件，涉及一元二次不等式的求解，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，难度中等．
根据对数函数的性质分别判断的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．
【解答】
解：由得，即函数的定义域为，
，
即，则函数是奇函数，
，
则在上单调递减，
则由得，
则，得，得，
即实数的取值范围是，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，，所以是偶函数，故排除选项AD；
当时，，故排除选项C．
故选：．
先判断函数的奇偶性，再计算的大小，进行排除即可求得答案．
本题主要考查函数图象的判断，排除法的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为是向左平移个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是，
所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以，
对任意的，，且，都有成立，
所以，
令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增，
由是上的奇函数可得是上的偶函数
所以在上单调递减，
当时，不等式得到，矛盾；
当时，转化成即，
所以；
当时，转化成，，所以，
综上所述，不等式的解集为．
故选：．
利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由可得，故可得在上单调递增，然后分，和三种情况进行求范围即可．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：数横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的解析式，故A正确；
对于：函数向左平移个单位长度得到的解析式，故B正确；
对于：函数横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到，再向左平移个单位，得到的解析式，故C错误；
对于：函数向左平移个单位长度得到，再横坐标变为原来倍，纵坐标不变得到的解析式，故D错误．
故选：．
直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于：，定义域为，
且，即为偶函数，
函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，故A正确；
对于：为幂函数，其定义域为，奇函数，且在定义域上单调递增，故B错误；
对于：，其定义域为，有，即函数为偶函数，
又，故函数在上单调递增，故C正确；
对于：定义域为，
且，故为偶函数，
又与在上单调递增，则在上单调递增，
所以在上单调递减，故D错误．
故选：．
根据题意，由基本初等函数的单调性、奇偶性分析选项，综合可得答案．
本题考查函数单调性、奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，，A正确；
所以，，
因为，，
所以，，
显然函数的一个对称中心为，B正确；
令，，
解得，，
故函数在间上不单调，C错误；
把图像上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图像，D错误．
故选：．
根据图象求出，和，即可求函数的解析式，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了不等式的基本性质，以及指数式与对数式的互化，同时考查了作差法比较大小，属于基础题．
先将指数式转化成对数式表示出、，然后利用作差法比较大小以及不等式的性质进行判定．
【解答】
解：，，
，，
则，故，选项A正确；
，，则，，所以，选项B正确；
因为，，则，，此时，
所以，故选项C不正确；
因为，所以，则，故选项D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：半径为，圆心角为的弧长为．
故答案为：．
根据已知条件，结合弧长公式，即可求解．
本题主要考查弧长公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为的图象必过点，即，
中，当，时，，
从而图象必过定点．
故答案为：．
利用对数函数性质，令，则函数的取值与无关，可得恒过定点．
本题考查函数恒过定点问题，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：小时后血液中酒精含量为，
小时后血液中酒精含量为，
血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，
，两边取对数可得，，
，
故至少经过个小时才能驾驶汽车．
故答案为：．
根据题意先求出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出不等式，再结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：令函数，
作出的图象如下：
当时，，
函数与个相邻交点的横坐标相邻个零点为、、、满足：
，
，
所以，
即相邻两零点最大距离，
相邻四个零点占区间长度最短为
，
上时，，
区间宽度为，
所以至少有个零点，至多有个零点，
解得，所以的取值范围是
故答案为：
令函数得，根据正弦函数的图象与性质，得出函数相邻零点满足的条件，求出相邻个零点的最大距离和相邻个零点占区间长度的最小值，从而可求得的取值范围．
本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了数形结合解题思想，属于难题．
17.【答案】解：角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，
，，
则；
．
【解析】由任意角的三角函数的定义求得与的值，再由三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式求解；
直接利用二倍角的余弦求解．
本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．
18.【答案】解：当时，集合，所以；
若，则，
因为，所以，
由，可得，解得，即实数的取值范围为．
【解析】当时，算出集合，再根据并集的运算法则求出；
根据题意，可得集合是集合的子集，从而列式算出实数的取值范围．
本题主要考查集合的概念与运算、集合的包含关系及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
19.【答案】解：函数为奇函数，
，解得，检验符合题意；
是上的增函数，证明如下：
设，，且，则：，，
，
，
是上的增函数；
是上的奇函数，且是上的增函数，
由得，，
，解得，
原不等式的解集为．
【解析】根据是上的奇函数可得出，求出；
分离常数可看出是上的增函数，根据增函数的定义证明即可；
根据的单调性和奇偶性可得，解之即可．
本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，考查利用增函数的定义证明函数单调性的方法，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：当时，；
当时，，
所以函数解析式为．
当时，因为，
又因为函数在上单调递增，
所以当时，取最大值，；
当时，，
当且仅当，即时等号成立
因为，所以时，的最大值为万元．
所以当年产量为万台时，该公司获得的最大利润万元．
【解析】根据题意，每万台的销售收入是一个分段函数，分和两种情况讨论，根据生产产品的数量求出对应的解析式即可求解；
分段讨论函数的最值，最后比较大小得出结果．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
21.【答案】解：由题意：
，
则的最小正周期为，
的最大值为．
由题意可知：，
因为为偶函数，所以，
，
又因为，
所以当时，取得最小值为．
【解析】本题主要考查三角函数的性质以及图象变换，三角恒等变换，属于基础题．
利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，得出结论．
利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用三角函数的奇偶性，求的最小值．
22.【答案】解：当时，，
由，得，
故函数定义域；
，
由，得，
，
解得，即，故函数的零点为；
问题转化为：在时对任意的恒成立，
当时，可知函数单调递增，
故在恒成立，
即在恒成立，即在恒成立在恒成立，
在上单调递增，
当时，，解得；
当时，函数单调递减，故在恒成立，化简得在恒成立，
解得，
综上，
【解析】当时，令的真数大于，可求得其定义域；
化简得，由，可求得函数的零点；
问题转化为：，对任意的恒成立，分与两类讨论，即可求得的取值范围．
本题考查函数恒成立问题，考查函数的定义域及零点个数的确定，考查复合函数的单调性，突出等价转化思想与化简运算能力的考查，属于难题．
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