2023-2024学年广东省惠州市惠阳一中高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省惠州市惠阳一中高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对于实数，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
3.函数，且的图象经过点，则( )
A. B. C. D.
4.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为( )
A. B. C. D.
5.函数的单调增区间是( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为( )
A. B.
C. D.
7.已知飞机从地按北偏东的方向飞行到达地，再从地按南偏东的方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地则地距地( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，则下列属于集合的元素有( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则下列关于的性质的描述正确的有( )
A. 关于点对称 B. 的最小正周期为
C. 在上单调递减 D. 关于直线对称
11.以下说法正确的有( )
A. 实数是成立的充要条件
B. 对，恒成立
C. 命题“，使得”的否定是“，使得”
D. 若，，，则的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数 ______．
13.化简：
14.设为锐角，若，则______．
四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，若集合，．
若，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
计算：；
已知，求．
17.本小题分
已知函数为常数是定义在的奇函数，且．
求函数的解析式；
若在定义域是增函数，解关于的不等式．
18.本小题分
已知函数
求的最小正周期；
当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
19.本小题分
已知函数，满足，其一个零点为．
当时，解关于的不等式；
设，若对于任意的实数，，都有，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，但推不出，故“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据，推不出得到答案．
本题考查了充分条件和必要条件的定义，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，解得且．
函数的定义域为．
故选：．
由分式的分母不为，根式内部的代数式大于等于，联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，且，
解得，
所以，
所以．
故选：．
首先代入点的坐标，求函数的解析式，再代入，求函数值．
本题主要考查了指数函数的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可知，．
故选：．
根据三角函数的定义求解即可．
本题主要考查三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数，
要使得函数有意义，则，
即，解得，，
函数的定义域为，
要求函数的单调递增区间，即求的单调递减区间，
，开口向下，对称轴为，
的单调递减区间是
又函数的定义域为，
函数的单调递增区间是．
故选：．
先求原函数的定义域，再将原函数分解成两个简单函数、，因为单调递减，求原函数的单调递增区间，即求的减区间根据同增异减的性质，再结合定义域即可得到答案．
本题主要考查复合函数单调性的问题、函数单调性的应用、一元二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，求复合函数单调性时注意同增异减的性质即可，求单调区间特别要注意先求出定义域，单调区间是定义域的子集．属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数．
故选：．
根据图象的平移变换方法求解即可．
本题主要考查三角函数图象的平移变换，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系，
由题意知点在第一象限，点在轴正半轴上，点在第四象限，
由已知可得，为正三角形，，
所以，
又，，则，
所以为等腰直角三角形，
所以．
故选：．
利用“上北下南左西右东”建立直角坐标系，结合题意标出各点位置，从而在与中依次求得，，从而得解．
本题考查等腰直角三角形的边长之间关系的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，且，
而为偶函数，则有，变形可得，
则有，故，
又由，则，
同时，则，
故．
故选：．
根据题意，分析可得，故，由此可得和，相加可得答案．
本题考查函数的奇偶性和对称性，涉及抽象函数的求值，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：依题意，是的约数，而的约数有，，，，，，
即，
则，
因为，因此，
所以CD正确，AB错误．
故选：．
根据给定条件，利用列举法表示出集合即可判断作答．
本题考查元素与集合的关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：项：对称中心纵坐标应为，故A错误；
项：的最小正周期：，故B正确；
项：当时，，
所以在上单调递减，
而，应在上单调递增，故C错误；
项：对称轴：，即，
当时，，故D正确．
故选：．
根据三角函数的对称性、周期性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查正弦函数的奇偶性和对称性、单调性与周期性的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于中，取，，满足，但不成立，所以A错误；
对于中，由于，当且仅当时取等号，
所以对，恒成立，所以B正确；
对于，命题“，使得”的否定是：“，使得”，故C错误；
对于中，若，，，则，
当且仅当时取等号，所以的最小值是，所以D正确．
故选：．
结合特例法，可判定A错误；结合作差比较法，可判定B正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C错误；根据基本不等式，可判定D正确．
本题主要考查了充分必要条件，基本不等式的性质以及命题的否定，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为函数是幂函数，
所以，所以或，
时，，是偶函数，
时，，是奇函数，不符合题意，
所以．
故答案为：．
由幂函数的定义及奇偶性可解得的值．
本题主要考查幂函数的概念，解析式，奇偶性，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的数乘运算和向量的加减运算，属于基础题．
根据向量的数乘运算和向量的加减运算法则计算即可．
【解答】解：
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：为锐角，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
由，分别根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出答案．
本题着重考查了两角和与差的余弦公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．
15.【答案】解：当时，，
所以．
因为，
所以．
由得，，
因为，，
所以．
即实数的取值范围是．
【解析】根据题意，由集合的运算，即可得到结果；
由条件可得，即可得到结果．
本题考查集合的应用，属于基础题．
16.【答案】解：
；
，，得，
则．
【解析】利用特殊角的三角函数值与三角函数的诱导公式即可得解；
先利用三角函数的诱导公式与基本关系式得到，再利用正余弦的齐次式法即可得解．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
17.【答案】解：由题意可知，即，解得，
所以函数的解析式为．
不等式可化为，
因为是定义在的奇函数，所以，
因为定义在的奇函数，所以，
又因为在定义域是增函数，所以，
解得，即不等式的解集为
【解析】根据题意，由奇函数的性质可得，又，列方程可得，的值，即可得函数的解析式；
利用函数的奇偶性与单调性分析可以将原不等式变形为，进而可得，解可得的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，关键是求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：

【解析】先根据三角函数的二倍角公式化简为，再由可得答案．
先根据的范围确定的范围，再由余弦函数的性质可求出最小值．
本题主要考查三角函数最小正周期的求法和三角函数的最值的求法．一般都先把函数化简为或的形式再解题．
19.【答案】解：因为，则，得，
又其一个零点为，则，得，
则函数的解析式为，
则，即，
当时，解得：，
当时，时，解集为，
时，解得：或，
时，解得：或，
综上：当时，，
当时，解集为，
当时，，
当时，．
对于任意的，，都有，
即，
令，则，
因为，则，，
可得，，
则，
即，即的最小值为．
【解析】本题考查函数与方程的综合应用，函数的零点以及二次函数的性质，不等式的解法，考查分类讨论思想的应用，属于中档题．
利用函数的对称轴，求解，一个零点为，求解，得到函数的解析式，化简不等式，通过的范围，讨论不等式的解集即可．
对于任意的，，都有，即，令，则，方便求解函数的最值，推出，即可．
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