2023-2024学年山东省青岛五十八中高二（下）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省青岛五十八中高二（下）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线和直线垂直，则的值为( )
A. B. 或 C. 或 D.
2.若双曲线：的焦距长为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.若数列满足，且，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知非零向量不共线，如果，，，则四点，，，( )
A. 一定共线 B. 恰是空间四边形的四个顶点
C. 一定共面 D. 可能不共面
5.函数其中的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
6.如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角的正弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
7.正四面体的棱长为，是它内切球的一条弦把球面上任意个点之间的线段称为球的弦，为正四面体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知，若存在，使得，则的取值范围为( )
A. B. ，
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数是奇函数，且，是的导函数，则( )
A. B. 的一个周期是
C. 是偶函数 D.
10.已知抛物线：的焦点为，圆：与抛物线交于，两点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则下列四个命题中正确的是( )
A. 点的纵坐标的取值范围是
B. 等于点到抛物线准线的距离
C. 圆的圆心到抛物线准线的距离为
D. 周长的取值范围是
11.公比为的等比数列满足：，记，则下列说法中正确的有( )
A.
B.
C. 当取最小值时，
D. 当取最小值时，使成立的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列满足的通项公式为______．
13.如图，直四棱柱的底面是边长为的正方形，，，分别是，的中点，过点，，的平面记为，则平面截直四棱柱所得截面的面积为______．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，其中一条渐近线方程为，点，若点在双曲线上，且满足，则外接圆的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在以，，，，为顶点的五面体中，平面为等腰梯形，，平面平面，．
求证：；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知函数，，
若，求函数在处的切线方程：
若，恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
若数列满足：对，都有常数，则称数列是公差为的“准等差数列”．
数列中，，对，都有求证：数列为“准等差数列”，并求其通项公式；
数列满足：将中数列中的项按原有的顺序插入到数列中，使与之间插入项，形成新数列求数列前项和．
18.本小题分
已知椭圆的上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为的面积为．
求椭圆的方程；
过点的直线与交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点．
求证：点在定直线上；
求的面积的最大值．
19.本小题分
设函数．
若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
若对任意的，，当时，恒有，求实数的取值范围；
是否存在实数，，当时的值域为？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线和直线垂直，
则，解得或．
故选：．
根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知，即，
所以，，又双曲线的焦点在轴上，
则该双曲线的渐近线方程为
故选：．
利用双曲线的性质计算即可．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：数列满足，且，，，
令，
则，
所以，
所以数列是首项和公比都为的等比数列，
所以．
故选：．
根据已知推导出数列是首项和公比都为的等比数列，根据等比数列求和公式求解．
本题考查了等比数列的定义，重点考查了等比数列求和公式，属中档题．
4.【答案】
【解析】解：因为非零向量不共线且，，，
．
即，由平面向量基本定理可知，四点，，，共面．
故选：．
通过已知向量关系，求出，说明四点，，，共面．
本题考查平面向量基本定理的应用，平面向量的基本运算，考查计算能力．
5.【答案】
【解析】解：，，
所以函数恒成立，
所以排除选项A、、，
故选：．
利用余弦函数的最值，判断函数的值域判断函数的图象即可．
本题考查函数的图象的判断，是基本知识的考查的考查．
6.【答案】
【解析】解：连接，交于，
因为四边形为正方形，且为的重心，
所以为中点，在上，且，
因为底面，所以为在平面内的投影，
所以与底面所成的角为，
，
，
故选：．
用直线与平面成角的定义，寻找与底面所成的角为，转化为解直角三角形问题．
本题考查了棱锥的结构特征，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：连接，根据题意作图如下：
设球的球心为，由题意易知当弦的长度最大时，球的直径即为，
根据向量的线性运算可得：
，
因为正方体的棱长为，所以球的半径为，
故，
又因为，
可以得到，
整理得到，
所以的最大值为．
故选：．
由弦的长度最大可知为球的直径，由向量的线性运算用表示出，即可由取值范围求得的最大值．
本题主要考查空间中点，线，面之间的位置关系，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：当时，
则，，
，
则，
故，
则；
当时，因为，
，所以不存在，使得，
当时，则，，
又，得，
故，
，
令，则在上单调递增，
所以，
则，
综上所述，的取值范围为．
故选：．
根据已知条件，结合分段函数的解析式，并分类讨论，即可求解．
本题主要考查分段函数的应用，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为函数是奇函数，，
所以，
所以，即：，故的周期为，
所以，故的一个周期为，故B正确；
，故A错误；
因为函数是奇函数，
所以，
所以，即，
所以为偶函数，故C正确；
因为，
所以，
令，可得，解得：，故D错误．
故选：．
根据函数奇偶性与可得，根据导数的运算可得从而可判断项，根据周期性与奇偶性可判断项，根据奇偶性与导数运算可得，从而可判断项，在中，令代入计算可判断项．
本题主要考查抽象函数及其应用，函数奇偶性的判断，导数的运算，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：如图，抛物线：的焦点为，
联立，得，
解得舍或．
的纵坐标的取值范围是，故A错误；
延长交抛物线的准线于，则，可得等于点到抛物线准线的距离，故B正确；
由图可知，圆的圆心到抛物线准线的距离为，故C正确；
的周长为，由的范围为，
可得周长的取值范围是，故D正确．
故选：．
由题意画出图形，联立圆的方程与抛物线方程可得的纵坐标的范围判断；由抛物线的定义判断；直接由图象可得圆的圆心到抛物线准线的距离判断；利用转化思想方法可知的周长为，再由的范围判断．
本题是圆与抛物线的综合题，考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线定义的应用，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：选项A：是等比数列，因为，所以，，A错误；
选项B：又，所以，
设函数，
当时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，
所以在时，取极小值，，，B正确；
选项C：由题意，即的最小值为，
所以，C正确；
选项D：，，D正确．
故选：．
由已知结合等比数列的性质及通项公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，
得，，，，
上述式子累加可得，
所以，
又满足，
所以，
因为，所以．
故答案为：．
根据已知的递推关系构造新等式，结合累加法即可求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设直线分别与，的延长线交于点，，连接，交于点，连接，交于点，连接，，
所以平面截直四棱柱的截面为五边形，
由平行线分线段比例可知：，
故D，故为等腰直角三角形，
所以，故A，则，
，连接，易知，
所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分，
等腰梯形的高，
则等腰梯形的面积为，
又，
所以五边形的面积为．
故答案为：．
设直线分别与，的延长线交于点，，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的柱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可．
本题考查了平面的基本性质，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得，即，，
又，解得，，
则双曲线的方程为，，，
由，，
又，可得，
化简可得，
由在双曲线上，可得，
由，，解得，，即，
则是斜边为的直角三角形，可得外接圆的半径为，
则外接圆的面积为
故答案为：
由双曲线的焦距和渐近线方程，求得，，，可得双曲线的方程和焦点坐标，由直线的斜率公式和到角公式可得，结合在双曲线上，可得的坐标，可得圆的半径，即可得到所求面积．
本题考查双曲线的方程和性质，以及直线的斜率公式和圆的面积公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】证明：在等腰梯形中，作于，连，
则，且，
则，即，
而，因此，，即，
因为平面面，面面，平面，而，
则平面，
又平面，于是有，
又，，平面，
则有平面
又平面，
因此；
解：在面内过点作，平面面，
面面，
则面，因此，，，两两垂直，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，
则，
，可得，
从而得，
设平面的一个法向量，
则，即，
令，得，
，
，，
则，，
设直线与平面所成角为，，
则，．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】在等腰梯形中，作于，连，由题意可证得平面，进而可证得；
建立空间直角坐标系，由题意可得各点的坐标，求出向量所成的角的余弦值，进而可得直线与平面所成的角的正弦值．
本题考查直线与平面垂直的性质的应用及用空间向量的方法求直线与平面所成的角的正弦值，属于中档题．
16.【答案】解：当时，，则，
则切线的斜率，又，
所以切线方程为．
当时，恒成立，即恒成立，
当时，，不等式恒成立；
当时，恒成立，即，
令，
令，，时，，即恒成立，
则在单调递增，，所以时，，
时，，，所以恒成立，
即在单调递减，，所以；
当时，恒成立，即，
，得，，得，
所以在单调递减，在单调递增，
，所以，
综上，的取值范围为．
【解析】对求导，求出切线的斜率，再求出切线方程即可；
当时，恒成立，即恒成立，然后对分类，求出实数的取值范围即可．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的单调性与最值，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
17.【答案】证明：，，
两式相减得，所以数列为“准等差数列”，
，，的奇数项成以为首项，为公差的等差数列，
故，
的偶数项成以为首项，为公差的等差数列，
故，
综上可得；
由题意可知，在数列的前项中，数列一共有项，
其中项为奇数项，项为偶数项，数列一共有项，
．
【解析】根据准等差数列的定义证明即可，然后分奇偶求出数列的通项即可；
由题意可知，在数列的前项中，数列一共有项，共中项为奇数项，项为偶数项，数列一共有项，再利用分组求和法即可求出答案．
本题考查了“准等差数列”的证明和分组求和，属于中档题．
18.【答案】解：由题知，，的面积为，．
又直线的方程，即，
点到直线的距离为，，
解得，
椭圆的方程为．
证明：由题意，当直线斜率为时，不符合题意；
当直线斜率不为时，设直线方程为，
联立，得，
易知．
设，，则，
轴，轴，，，
直线，直线，
联立，
解得，
点在定直线上；
，与直线平行，
，
，
，
令，，，
，
当且仅当是等号成立，
的面积的最大值为．
【解析】根据题意列出关于，，的方程，可求得答案；
设直线方程，设，，并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，求得相关点的坐标，表示出直线、的方程，联立求得点的坐标，即可证明；利用三角形面积之间的关系表示出，利用基本不等式，即可求解．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的探索性问题等知识，属于中等题．
19.【答案】解：由得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，，
，解得，
即实数的取值范围是．
由知在上单调递减，
，由得，
即，恒成立．
令，则上述问题等价于函数在上单调递减，
又，在上恒成立，得在上恒成立，
而在上的最小值为，故得．
由知，在时，，．
结合函数的图象与直线的交点可知，存在实数，符合题意，其中．
故只要证明在内有一解，即在内有一解，
令，，则，
由得，，
当时，，当时，，
在上，．
又，
存在，使得，满足，即在内有一解．
综上所述，存在实数，，满足当时的值域为．
【解析】由题意可得函数在区间上存在极值，即在上有实数解，利用导数解得即可；
由可得在上单调递减，故时，恒有，等价于，在上恒成立．令，则上述问题等价于函数在上单调递减，利用导数解得即可；
由知，在时，，结合函数的图象与直线的交点可知，存在实数，符合题意，其中．
故只要证明在内有一解，即在内有一解，令，，利用判断函数的单调性，证明函数在上有零点，即可得出结论．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，综合性、逻辑性强，属于难题．
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