2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分必要条件 B. 充分但不必要条件
C. 必要但不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，且，则( )
A. B. C. D.
6.( )
A. B. C. D.
7.方程的实根有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无穷多个
8.设函数在上单调递减，则下述结论：
关于中心对称；
关于轴对称；
在上的值域为；
方程在有个不相同的根．
其中正确结论的编号是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中计算结果等于的有( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则( )
A. B. C. D.
11.下列说法正确的时( )
A. 若
B. 如果幂函数为偶函数，则图像一定经过点
C. 的值域为
D. 函数的零点为，
12.如图是函数的部分图像，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知的最小值为______．
14.已知为奇函数，当时，，则______．
15.已知，则 ______，的最小值为______．
16.将函数的图象向右平移个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设函数．
求函数的定义域；
求，，．
18.本小题分
已知是二次函数，，且；
求的解析式；
当时，求函数的值域；
19.本小题分
已知，．
求的值；
求的值．
20.本小题分
已知函数
求的单调递增区间；
若是第二象限角，，求的值．
21.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
当时，求的最小值及取得最小值时的集合．
22.本小题分
已知函数，．
求的值；
若函数在有两个零点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由于，
所以．
故选：．
直接利用集合的补集和并集运算求出结果．
本题考查集合的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得的值．
【解答】
解：角的终边经过点，
，，．
，
故选D．
3.【答案】
【解析】解：，反之亦成立．
故选：．
即，故为充分必要条件．
本题考查充要条件的判断，与范围有关的问题可转化为集合的包含关系解决，属基本题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，对数值大小的比较，考查了计算能力，属于基础题．
根据对数函数和指数函数的单调性得出，然后即可得出，，的大小关系．
【解答】
解：，，，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由，得，
又，
故选C．
先由诱导公式化简确定的值，再根据的范围确定的值，最终得到答案．
本题主要考查三角函数的诱导公式、同角三角函数基本关系式及三角函数符号．
三角函数问题在高考中一般难度不大，常常是几个小知识点的综合，但需要我们对所涉及的内容均要熟练掌握
6.【答案】
【解析】解：，
故选：．
逆用二倍角的正切公式可得答案．
本题考查二倍角的正切，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：令，
做出函数的图象，结合图象可知，函数 与的图象有个交点
故选：．
要求方程的实根，令，，只需求出函数与的交点个数，画出函数的图象，结合图象可求
本题主要考查了对数函数与正弦函数的图象的应用，方程与函数的相互转化的思想，体现了数形结合思想在解题中的应用．
8.【答案】
【解析】解：函数在上单调递减，
；
，
又因为，所以时，．
；
对于，，所以错；
对于，，未达最值，所以错；
对于，
，所以对；
对于，以为周期，在上只有两个根，端点不是根，
所以在有个不同根，所以对．
故选：．
求出三角函数单调区间，用不等式确定参数，根所三角函数性质判断；用特值法判断；求出函数值域判断；求出一个周期内方程根的个数即可判断．
本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的基本性质，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，正确；
对于，，错误；
对于，，正确；
对于，，正确．
故选：．
对于，利用同角三角函数基本关系式即可求解；对于，利用二倍角公式即可求解；对于，利用换底公式即可求解；对于，直接利用对数的运算的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数恒等变换以及对数的运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，
当时，，解得，符合题意，
当时，，解得．
故选：．
由已知结合的范围进行分类讨论，解方程即可求解．
本题主要考查了由函数值求解的范围，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：项，若，则，正确；
项，幂函数为偶函数，则为偶数，当时，，
则图像一定经过点，项正确；
项，，则，值域为，项正确；
项，令，则或，零点为或，项错误．
故选：．
项根据不等式的性质可得；，项根据函数的性质可判断；项，根据零点的定义可得．
本题考查函数的性质，函数的零点，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由函数图像可知：，
，
则，
不妨令，当时，，
，解得：，
即函数的解析式为：，故A错误；
又，故B正确；
又，故C正确；
而，故D错误．
故选：．
首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．
本题主要考查了由的部分图象确定其解析式以及诱导公式的应用，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设，
任取，，
其中，，
所以，，
所以在上递增，最小值为．
故答案为：．
结合函数的单调性求得正确答案．
本题主要考查函数单调性的性质与判断，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，当时，，
则，
又由为奇函数，则；
故答案为：．
根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
则；
又，
，
当时，取得最小值，为．
故答案为：；．
利用特殊角的三角函数值可求得的值，再利用三角函数的性质可求得的最小值．
本题考查了三角函数的最值，考查运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
所以函数周期为．
而，，，，
，，，，
所以，则，
所以．
故答案为：．
先求出的解析式，再根据其周期性可求的值．
本题考查函数的图象变换，考查逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：由已知可得函数的定义域为．
解：因为，
所以，，．
【解析】根据函数的解析式，结合函数定义域的定义，即可求解；
根据函数的解析式，分别代入，，，即可求解，，的值．
本题主要考查了分段函数性质在函数定义域及函数值求解中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：是二次函数，且，
设，，
又，解得，
；
由知，的对称轴为，
根据二次函数的性质可知，的最小值为，最大值为，
的值域为．
【解析】结合题意先设，，然后把代入可求，进而可求函数解析式；
结合二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了待定系数求解函数解析式，还考查了二次函数的性质在函数值域求解中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：，．
，
．
由可得：，
故．
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式即可计算得解．
由利用二倍角公式可得，的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20.【答案】解：函数，令，，
求得，故函数的增区间为，．
由函数的解析式可得，又，
，即，
即，
又是第二象限角，，
当时，，，，此时．
当时，此时．
综上所述：或．
【解析】令，，求得的范围，可得函数的增区间．
由函数的解析式可得，又，可得，化简可得再由是第二象限角，，从而求得的值．
本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
21.【答案】解：，
最小正周期；
令，
在上递增，在上递减，
且，，
所以当，即时，取得最小值，
即取得最小值的的集合为
【解析】先将原式化为的形式，然后再利用换元思想结合正弦函数的性质求解．
本题考查三角函数的周期、最小值的求法，属于中档题．
22.【答案】解：
，
所以；
令，即，
在同一坐标系中作出当时的图像以及的图像，
由图像可知，函数在有两个零点，则．
故的范围为．
【解析】先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后把代入即可求解；
问题转化为与在有两个交点，结合函数图象即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质在参数范围求解中的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
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