2023-2024学年湖北省咸宁市崇阳第二高级中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省咸宁市崇阳第二高级中学高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知函数，则“，使”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知指数函数是减函数，若，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为，若级地震释放的相对能量为，级地震释放的相对能量为，记，约等于( )
A. B. C. D.
6.若函数是上的单调函数，则实数取值范围为( )
A. B. C. D.
7.如图是杭州第届亚运会的会徽“潮涌”，将其视为一扇面，若的长为，的长为，，则扇面的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 与的终边相同
B. 化成弧度是
C. 经过小时时针转了
D. 若角与终边关于轴对称，则，
10.下列命题中正确的有( )
A. 幂函数，且在单调递减，则
B. 的单调递增区间是
C. 定义域为，则
D. 的值域是
11.已知函数，则下述结论正确的是( )
A. 为奇函数
B. 的图象关于对称
C. 在内是单调增函数
D. 关于的不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.若，则 ______．
14.已知，若实数，且，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点．
求、的值；
求的值．
17.本小题分
已知函数．
当时，求该函数的值域；
若不等式在上有解，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数且．
求的定义域；
若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的范围；
是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
设函数是定义域为的奇函数．
求；
若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围；
若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在上的最大值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
由交集的定义求解即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“，”的否定是：“，”．
故选：．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题主要考查了命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：若“，使”为真命题，则的最小值小于，即，
可得，即．
因此，“，使”不能得到“”，由“”可以推出“，使”．
综上所述，“，使”是“”的必要不充分条件．
故选：．
根据二次函数的性质，化简条件“，使”，得到其对应的的取值范围，再由充要条件的定义判断出结论．
本题主要考查二次函数的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了三个数大小的比较，合理应用指数函数和对数函数的性质是本题的解题关键，属于基础题．
由题意可知，再利用指数函数和对数函数的性质求解．
【解答】
解：指数函数是减函数，，
，，
，，
，，
，
故本题选B．
5.【答案】
【解析】解：，
当时，，
当时，，
故选：．
由题意可得分别代值计算，比较即可
本题主要考查了指数与对数的相互转化及指数与对数值的计算，属于基础试题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数的单调性问题，分段函数的单调性必须先保证每段函数单调，同时端点处的函数值也存在对应的大小关系．
要使函数上的单调函数，则必须保证分段函数分别单调，对于端点处的函数值存在一定的大小关系．
【解答】
解：若函数单调性递增，
则满足，解得．
若函数单调性递减，
则满足，此时无解．
综上实数取值范围为：．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：设，，
若的长为，的长为，，
则，解得，
扇面的面积为．
故选：．
由已知结合扇形的弧长及面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的弧长及面积公式的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，
由，得，
所以，
又随增大而增大，
故在上单调递减，又，
所以可转化为，
所以，所以，所以，
所以的取值范围为．
故选：．
结合函数性质可将转化为，结合函数单调性求解即可．
本题考查了函数的单调性和利用函数的单调性解不等式，考查了转化思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项，，所以与的终边相同，故A正确；
对于选项，，故B错误；
对于选项，经过小时时针转了，故C错误；
对于选项，若角与终边关于轴对称，则，，故D错误．
故选：．
根据终边相同角的定义判断；根据弧度制和角度制的转化判断，根据角的定义判断；根据终边关于轴对称的角的关系判断．
本题主要考查了终边相同角的表示，角度与弧度的互化及角的基本概念，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：，解得，正确；
对于：由得的定义域为，故单调区间不可能为，错误；
对于：当时，，定义域为，当时，对于，其，解得，综合，正确；
对于：令，则，且，
则，由二次函数的性质可得，正确．
故选：．
对于：根据幂函数的概念和性质解答；对于：先求出定义域后即可判断；对于：验证，对于，求即可；对于：利用换元法求函数值域．
本题主要考查函数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，显然不满足，即不是奇函数，A错误；
因为，
故函数的图象关于对称；B正确；
当时，单调递增，根据函数的对称性可知，在上单调递增，C正确；
由可得，
所以，
解得，D正确．
故选：．
由已知结合函数的奇偶性，对称性及单调性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性，对称性的判断及应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数、指数和根式的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
进行对数、指数和根式的运算即可．
【解答】
解：原式．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
由已知结合诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：易知，且，，故是奇函数，
因为在上单调递增，
若，
则，化简得，
则，
当且仅当，即时取等，则的最小值是．
故答案为：．
利用奇函数得到等量关系，用基本不等式的代换处理即可．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
15.【答案】解：由题意：，则或，
时，，所以．
若时，则．
当时，则，解得；
当时，则解得．
综上所述：的取值范围是．
【解析】根据集合运算的定义即可得；时，则，分类讨论即可．
本题考查集合的运算，考查集合的关系，属于基础题．
16.【答案】解：角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点，
，，．
．
【解析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果．
由题意，利用诱导公式，计算可得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，诱导公式，属于基础题．
17.【答案】解：因为，
由对数函数单调性可知，当时，，
令，，即可得，，
可知的开口向上，对称轴为，
由二次函数性质可知当时，，当时，，
所以可得当时，函数的值域为．
当时，可得，令，，
可得，即在上有解，
整理可得在上有解，
因为函数在上单调递增，当时，，
所以的取值范围是．
【解析】换元令，结合二次函数的性质求值域；
换元令，整理可得在上有解，根据存在性问题分析求解．
本题主要考查了对数函数性质在函数值域求解中的应用，还考查了存在性问题与最值关系的转化，属于中档题．
18.【答案】解：由，得或，
的定义域为；
令，
函数在上单调递减，则在上为增函数，
又，
在上为减函数，
函数在有且只有一个零点，
即在上有且只有一个解，
函数在上的值域为，
的范围是；
假设存在这样的实数，使得当的定义域为时，值域为，
由且，可得，
又由知在上为增函数，在上为减函数，
则在上为减函数，得，
即在上有两个互异实根，
由，
即，有两个大于的相异零点，
则，
结合，故存在这样的实数符合题意．
【解析】根据对数函数的真数大于求解即可；
先判断函数的单调性，再利用单调性求出函数的值域即可得解；
假设存在，由复合函数单调性法则确定函数单调性，利用单调性计算值域，根据方程有两不等根建立不等式组求参数取值范围．
本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
19.【答案】解：函数是定义域为的奇函数，
可得，即，解得，
则，，可得为奇函数，
所以；
若，则，可得，
则在上为奇函数，且为减函数，
不等式即，
即有即对一切恒成立，
则，即，解得，
即的取值范围是；
由函数的图象过点，可得，解得，
则，
假设存在正数符合题意，
，
设，则，
因为，可得，，
记，，
因为函数在上的最大值为，
若时，则函数在上的最小值为，
由于对称轴，可得在上递减，可得，解得，不合题意；
若时，则函数在上的最大值为，最小值大于，
由于对称轴，可得在上递减，
可得，，
解得舍去．
所以存在正数，且为，使函数在上的最大值为．
【解析】由奇函数在处有定义，可得，解方程可得，可得的解析式；
由，可得，判断的单调性，原不等式化为即对一切恒成立，运用判别式小于，解不等式可得所求范围；
求得，假设存在正数符合题意，分别讨论，，结合对数函数的单调性和二次函数的单调性，可得最值，解方程可得结论．
本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及不等式恒成立问题解法，函数最值的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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