2023-2024学年云南省昭通市昭阳一中高一（下）开学数学试卷（2月份）（含解析）

2023-2024学年云南省昭通市昭阳一中高一（下）开学数学试卷（2月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的值是( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.梯形中，，设，，则( )
A. B. C. D.
4.若两个正实数，满足 ，且不等式 有解，则实数的取值范围( )
A. B.
C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.若函数满足，且时，，则函数的图像与函数的图像交点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，则( )
A. B.
C. D.
10.下列说法中正确的是( )
A. 函数是偶函数
B. 存在实数，使
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 若，都是第一象限角，且，则
11.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则( )
A. B.
C. D.
12.下列说法正确的是( )
A. 函数且的图像恒过定点
B. 若函数满足，则函数的图象关于点对称
C. 当时，函数的最小值为
D. 函数的单调增区间为
三、填空题：本题共5小题，共32分。
13.将函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数是上的偶函数，则 ______．
14.已知向量，满足，，与的夹角为，则 ______．
15.设数集，，且集合、都是集合的子集，如果把称为非空集合的“长度”，那么集合的“长度”的取值范围为______．
16.数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”它们可用“调日法”得到：称小于的近似值为弱率，大于的近似值为强率由，取为弱率，为强率，得，故为强率，与上一次的弱率计算得，故为强率，继续计算，若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推 ______．
17.已知；
化简；
若是第三象限角，且，求的值．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
计算下列各式的值：
；
．
19.本小题分
已知，，与的夹角为．
计算的值；
若，求实数的值．
20.本小题分
记函数的最小正周期为若，且的图象关于直线对称．
求的值；
将函数的图象向左平移个单位，再将得到的图象．上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．
21.本小题分
经调查，某产品在过去两周内的日销售量单位：千克与日销售单价单位：元均为时间天的函数其中日销售量为时间的一次函数，且时，日销售量为千克，时，日销售量为千克日销售单价满足函数．
写出该商品日销售额关于时间的函数日销售额日销售量销售单价；
求过去两周内该商品日销售额的最大值．
22.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且，
确定函数的解析式；
用定义证明在上是增函数；
解不等式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，所以，或，．
两以上种情况代入，可得．
故选：．
由集合元素的互异性，得到且，再由集合相等分析出、的值，进而算出答案．
本题主要考查集合相等的含义、集合的元素的性质等知识，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
是的必要不充分条件，
故选：．
先求出分式不等式的解集，再利用充要条件的定义判定即可．
本题考查了分式不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：梯形中，，设，，
，，
，
故选：．
利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．
将不等式有解，转化为求，利用“”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于的一元二次不等式的解集即可得到答案．
【解答】解：不等式有解，
，
，，且，
，
当且仅当，即，时取“”，
，
故，即，
解得或，
实数的取值范围是．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据三角函数诱导公式求解即可．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意得，
所以或，
因为是奇函数，
故定义域关于原点对称，即，
所以，函数的定义域为，
函数图象与函数图象关于直线对称，
则根据互为反函数的关系可知，的值域为的定义域，即为
故选：．
结合奇函数定义域关于原点对称的条件可求，然后结合互为反函数的函数定义域及值域关系可求．
本题主要考查了函数奇偶性的应用及互为反函数的函数定义域及值域关系的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，
则在上为增函数，
又由函数是定义在上的奇函数，且，则，
则在区间和上，，
在区间和上，，
又由或，则有或，即不等式的解集为．
故选：．
根据题意，由函数单调性的定义可得在上单调递增，再由奇函数的性质分析和的区间，又由或，解可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
函数是周期为的周期函数，
当时，，
时，，
由图数形结合可得
函数的图象与函数的图象交点个数是个．
故选：．
首先根据题意得到函数是周期为的周期函数，再画出和的图象，根据图象即可得到答案．
本题主要考查函数的交点个数，同时考查函数的图象，考查数形结合的思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，，
对于，，故与不平行，故A错误；
对于，，故，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，故D正确；
故选：．
利用向量的坐标运算对选项一一求解即可．
本题主要考查了向量的坐标运算和向量的平行垂直关系，是基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，同角三角函数的关系式，象限角的应用，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
直接利用正弦型函数的性质，同角三角函数的关系式，象限角的应用判断、、、的结论．
【解答】
解：对于：函数，故该函数是偶函数，故A正确；
对于：由于，故和互为倒数，与矛盾，故不存在实数，使，故B错误；
对于：当时，，故C正确；
对于：设，，由于，都是第一象限角，但是，故D错误；
故选：．
11.【答案】
【解析】解：是定义在上的偶函数，在单调递减，所以在上是增函数，
是定义在上的奇函数，在单调递减，所以在上是减函数，
所以在上是减函数，
所以，，，但是不能判定两个的正负，所以不正确；
，可得，所以B正确；
，所以不正确；
，所以D正确；
故选：．
利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断选项的正误即可．
本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据指数函数的性质可知，函数且的图像恒过定点，A错误；
根据函数的对称性可知，若函数满足，则函数的图象关于点对称，B正确；
当时，函数，当且仅当即时取等号，C错误；
令可得，
故函数的单调递减区间为．
根据复合函数的单调性可知，的单调增区间为，D正确．
故选：．
根据指数函数的单调性检验选项A；
根据函数的对称性检验选项B；
结合基本不等式检验选项C；
结合复合函数的单调性检验选项D．
本题主要考查了指数函数的性质，函数的对称性，基本不等式求解最值，还考查了复合函数单调性的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为将函数的图像向左平移个单位后得到函数，
所以，
因为函数是上的偶函数，
所以，得，
且，即，所以．
故答案为：．
先根据平移规律求出，然后再由为偶函数得出满足的关系式，从而求出结果．
本题考查函数的图象变换，考查逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，
故．
故答案为：．
将平方，结合数量积的运算律，即可求得答案．
本题考查向量的数量积的应用，考查向量的模长，考查计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，，则集合的“长度”为，
，则集合的“长度”为．
而，都是集合的子集，
当时，的“长度”最大值为集合的“长度”，即，
当与应分别在区间的左右两端时，集合的“长度”最小，为，
即集合的“长度”的取值范围为，
故答案为：
根据题意，由集合、分析集合，的“长度”，由交集的定义分析的“长度”最大值、最小值，即可得答案．
本题主要考查了集合交集的性质，注意分析集合“长度”的定义，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：为强率，由，得，为强率；
由，得，为强率；
由，得，为强率；
由，得，为强率；
由得，为弱率；
由，得．
故答案为：．
根据题意利用“调日法”不断计算，进行归纳推理能求出结果．
本题考查简单的归纳推理、“调日法”等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：；
是第三象限角，且，可得，即，
．
的值为：．
【解析】利用诱导公式化简函数的表达式即可．
利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式化简求解即可．
本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．
18.【答案】解：；
．
【解析】结合指数的运算性质可求，结合对数的运算性质可求．
本题主要考查了指数与对数的运算性质的应用，属于基础题．
19.【答案】解：，
由若得：，
解得．
【解析】利用平面向量的数量积直接计算即可．
此题考平面向量的数量积的计算，属于简单题．
20.【答案】解：函数，
由，可得，整理得．
由于的图象关于直线对称，
所以，
当时，，．
由得：，将函数的图象向左平移个单位，
可得 的图象．
再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，
得到函数的图象．
在上，，，，
即在上的值域为
【解析】由题意，利用三角恒等变换化简的解析式，再根据三角函数的图象和性质，求得值．
由题意，利用函数的图象变换规律，可得的解析式，从而求得它在上的值域．
本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．
21.【答案】解：设日销售量千克关于时间天的函数为，
则，解得，
所以，
所以．
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，，
当或时，，
，时，，
即过去两周内该商品日销售额的最大值为元．
【解析】本题主要考查了函数的实际应用，考查了基本不等式的应用，考查了二次函数的性质，是中档题．
设日销售量千克关于时间天的函数为，利用待定系数法求出，的值，进而得到的解析式，再利用日销售额日销售量销售单价即可求出该商品日销售额关于时间的函数．
分段分别求出的最大值，再比较两者的大小，取较大者即为过去两周内该商品日销售额的最大值．
22.【答案】解：依题意得，
即，得，
；
证明：任取，
则
，
，，，
又，
，
，
在上是增函数；
，
在上是增函数，
，
解得：．
【解析】由，解得的值，再根据，解得的值，从而求得的解析式．
设，求得，即，可得函数在上是减函数．
由不等式，可得，可得关于的不等式组，由此求得的范围
本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题．
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