2023-2024学年云南省大理州大理市下关第一中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南省大理州大理市下关一中高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：“，都有”的否定是( )
A. ，都有 B. ，都有
C. ，使得 D. ，使得
3.函数的定义域为( )
A. 且 B. 且
C. D.
4.，，，则、、的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
7.函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
8.设、、依次表示函数，，的零点，则、、的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.下列各式中，值为的是( )
A. B. C. D.
11.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数具有以下哪些性质( )
A. 最大值为，图象关于直线对称
B. 图象关于轴对称
C. 最小正周期为
D. 图象关于点成中心对称
12.设函数，若，且，则的值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. ．
14.设，，，则的最小值为______．
15.已知，，则 ．
16.设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，非空集合．
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
求函数的对称中心；
当时，求函数的值域．
19.本小题分
在中，内角的对边分别为已知
求的值
若 ，求的面积．
20.本小题分
某手机生产商计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万元，每生产千部手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
求出年的利润万元关于年产量千部的函数关系式；利润销售额成本
年产量为多少千部时，该生产商所获利润最大？最大利润是多少？
21.本小题分
已知函数，，．
若，使得方程有解，求实数的取值范围；
若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围；
设，记为函数在上的最大值，求的最小值．
22.本小题分
已知函数的最小正周期为，其图象关于点对称．
令，判断函数的奇偶性；
是否存在实数满足对任意，任意，使成立若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
由与，求出两集合的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：命题是全称命题，则否定是特称命题即：
，使得，
故选：．
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，利用全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域，属于基础题．
可看出，要使得函数有意义，则需满足，解出的范围即可．
【解答】
解：要使有意义，则：；
解得且；
的定义域为：且．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三个数的大小的求法，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于基础题．
利用对数函数和指数函数的性质求解即可．
【解答】
解：，，
，，
，，即，
，
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数图象的识别和应用，属于基础题．
根据函数的奇偶性和特殊值即可排除．
【解答】
解：，定义域为，
则为奇函数，图象关于原点对称，故排除，
，故排除．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查辅助角公式，三角函数的周期公式的应用，属于基础题．
由已知利用辅助角公式化简函数解析式可得，利用三角函数的周期公式即可得解．
【解答】
解：
，
最小正周期．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数零点所在区间的判断，属于基础题．
先判断函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理求解即可．
【解答】
解：函数的定义域为，且函数单调递增，
因为，，
所以，
所以，函数的零点所在区间是．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：函数，，的零点，
就是方程，，方程的的解，
在坐标系中画出函数，，，与的图象，如图：
可得，
故选：．
先确定三个函数在定义域上是增函数，再利用零点存在定理，求出三个函数零点的范围，从而比较大小，即可得解．
本题主要考查函数零点的大小判断，解题时注意函数的零点的灵活运用，考查数形结合的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：当时，若取，则有故A错误；
当时，两边同乘以，有，即，故B正确；
当，两边同乘以，则故C正确；
当时，取，，有，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D正确．
故选：．
利用二倍角的三角函数公式对四个选项逐一计算可得答案．
本题考查二倍角的三角函数公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象．
令，求得，不是最值，故的图象图象不关于直线对称，故A错误；
由于为偶函数，故它的图象关于轴对称，故B正确；
显然，的最小正周期为，故C正确；
令，求得，可得的图象图象关于点成中心对称图形，故D正确，
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：函数的图象如图所示，设，由图可知，
当时，直线与函数的图象有四个交点，
交点的横坐标分别为，，，，且，
时，令，解得或．
由，
可得，，，
，则有，
所以．
令，易知在上为减函数，且，，
故，且．
故选：．
作出函数的图象，可得，，，运用函数的单调性可得所求取值结论．
本题考查分段函数的图象，以及函数的单调性，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
利用对数运算性质即可得出．
【解答】
解：原式．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：
当且仅当，时取等．
故答案为：
变形后用基本不等式：
本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】
解：因为，
又，，
解得，，
所以．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：由题意知，，
设，则，
因为，
所以为奇函数，
所以在区间上的最大值与最小值的和为，
故，
所以．
故答案为：．
将所给函数分离常数，根据奇偶性，可求得，代入所求关系式即可．
本题主要考查函数最值的求法，考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：是的必要不充分条件，
是的真子集，可得，解得，即实数的取值范围为．
由，可得或，解得或，
实数的取值范围为，．
【解析】根据必要不必要条件与集合间的等价关系，根据集合的包含关系列出不等式解出；
根据已知条件和问题列出不等式组即可解出．
本题主要考查了不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
18.【答案】解：，
令，得，，
故函数的对称中心；
当时，，
所以，
所以函数的值域为
【解析】先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的对称性可求；
结合正弦函数的性质即可直接求解．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式，还考查了正弦函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：，
，
，
，
，
；
由可得，
由余弦定理可得，
，
解得，则，
，
，
．
【解析】本题考查正余弦定理解三角形三角形的面积公式，涉及和角的三角函数，属中档题．
根据正弦定理和两角和的正弦公式以及诱导公式即可求出，
由可得，再由余弦定理可得，的值，根据三角形的面积公式计算即可
20.【答案】解：销售千部手机获得的销售额为，
当时，；
当时，，
故．
当时，，
所以当时，，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
因为，
所以当千部时，所获利润最大，最大利润为万元．
【解析】本题考查函数的实际应用，熟练掌握分段函数，二次函数，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
根据利润销售额成本，再分和两种情况，讨论即可；
当时，根据配方法，可求得当时，；当时，由基本不等式可得，比较大小，得解．
21.【答案】解：，，
因为函数的图象的对称轴是直线，
所以在上为减函数，
故，，
故，所以的取值范围为；
因为对任意的，总存在，使得，
所以在区间上，，
又函数图象的对称轴是直线，
又，故当时，函数有最大值为，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，在上的值域为，则有，得；
当时，在上的值域为，则有，得；
综上，的取值范围为；
函数为的对称轴为，
当或时，在上单调递增，则；
当时，，
解不等式组，得，
故当，，
综上，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故时，取最小值为．
【解析】根据二次函数的单调性，结合存在性的定义及对数函数的单调性进行求解即可；
根据存在性和任意性的定义，结合函数的对称性分类讨论进行求解即可；
根据函数的对称性、单调性分类讨论进行求解即可．
本题考查函数零点与方程的根的关系，考查利用函数性质解决存在性和任意性问题，考查二次函数的单调性和最值问题，属难题．
22.【答案】解：的最小正周期为，，，．
函数的图象关于点对称，
．
，，
，易得定义域为，
，函数为偶函数．
由可知，
实数满足对任意，任意，
使得成立，
即成立，
即成立，
令，设，
则，
，，
所以不等式可等价转化为：在上恒成立．
令，其图象对称轴，，
当时，即，解得；
当，即时，，解得；
当，即时，，解得；
综上可得，存在，且的取值范围是．
【解析】由周期求得，由对称点坐标求得得解析式，代入计算得；
由求得由余弦函数性质求得的最大值为，令，由，得，则，问题转化为在上恒成立，令，求出函数的最小值即可求解．
本题考查了函数恒成立问题，考查了构造函数解决问题的能力，考查了转化思想及函数思想，属于中档题．
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