2023-2024学年数学七年级相交线与平行线单元测试试题（人教版）综合卷含解析

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2023-2024学年数学七年级相交线与平行线（人教版）
单元测试 综合卷 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列语句是命题的有（ ）
①连接； ②等边对等角； ③同角的余角不相等； ④作线段的垂直平分线； ⑤你来吗？
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（本题3分）下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A，B，C的距离分别为，，，则点P到直线m的距离可能为（ ）
A．2cm B．4cm C．5cm D．7cm
4．（本题3分）如图，能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）如图，的周长为，若将沿射线方向平移后得到，与相交点G，连结，则与的周长和为（　　）
A． B． C． D．
6．（本题3分）下列四个命题：①同位角相等，两直线平行；②对顶角相等；③若，则；④等角的余角相等．它们的逆命题是真命题的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
7．（本题3分）将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　）
A．44 B．48 C．46 D．50
8．（本题3分）有人数不相等的A，B两队同学，A队男生的人数与B队女生的人数相等，若对两队同学进行调换，规则是调换的人数必须相等，则下列说法正确的是（ ）
A．可以调整至A队全是男生而B队全是女生
B．可以调整至A队男生的人数比B队女生的人数多1个
C．可以调整至A队男生的人数比B队女生的人数多1倍
D．无论怎么调整，A队男生人数与B队中女生人数始终相等
9．（本题3分）小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有，，三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个型小球和一个型小球发生碰撞，会变成一个型小球．现在模拟器中有型小球12个，型小球9个，型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法：
①最后剩下的小球可能是型小球；
②最后剩下的小球一定是型小球；
③最后剩下的小球一定不是型小球．
其中正确的说法是：（ ）
A．① B．②③ C．③ D．①③
10．（本题3分）如图，ABCD，平分，平分，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确结论有（ ）个．
A．5 B．4 C．6 D．2
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，直线，分别与直线交于点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数是 ．

12．（本题3分）如图，写出一个能使的条件，则要填写的条件是 ．
13．（本题3分）如图，将沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为4，则阴影部分面积为 ．
14．（本题3分）如图，，交于点，，，则的度数是 ．
15．（本题3分）如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次平移长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，……，第n次平移长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形（），若的长度为2021，则n的值为 ．
16．（本题3分）如图所示，已知，直线分别交于E、F两点，平分，交于点G．若，则 度．
17．（本题3分）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ．
18．（本题3分）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，交的反向延长线于点，若，且，则度数为 ．

评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）如图，一辆汽车在直线形公路上由A向B行驶，点C，D分别是位于公路两侧的村庄，设汽车行驶到点E时，离村庄C最近，行驶到点F时，离村庄D最近．
(1)请你在上分别画出E，F两点的位置；
(2)如果在公路上有一个点P到村庄C和村庄D的距离之和最短，请在公路上画出点P．
20．（本题8分）如图，，分别交、与、， ，平分，交于，求的度数．
21．（本题8分）如图，已知直线和相交于点O，，平分，，求和的大小．
22．（本题10分）如图，、、分别在的三条边上，且，．
(1)完成下列证明：
证明：．
，
________；
，
________________；
________．
(2)若，平分，求度数．
23．（本题10分）直线，点M在直线上，点N在直线上，点E在直线、之间，连接、，大于．

图1 　 　图2 图3
(1)如图1，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，平分，与的平分线交于点H，若比大，求的度数（用含m的式子表示）；
(3)保持（2）中所求的度数不变，如图3，平分，平分，，求的度数（用含m的式子表示）．
24．（本题10分）如图，，，E为射线上一点，平分，、交于点F，点E在线段延长线上时，连接，若，，求的度数．
25．（本题12分）已知，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一动点P，满足．
(1)如图1，当P点在的左侧时，若，，则 ；
(2)如图2，当P点在的右侧时，猜想，满足的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，点P在左侧，且，和的角平分线，交于点Q，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；以此类推，请直接写出的度数．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，据此逐一判断即可．
【详解】解：①连接，不是命题；
②等边对等角，是命题；
③同角的余角不相等，是命题；
④作线段的垂直平分线，不是命题；
⑤你来吗？不是命题；
∴命题有2个，
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查了对顶角的概念，根据对顶角的概念判断即可，解题关键是要紧扣概念中的关键词语，如：两条直线相交，有一个公共顶点，反向延长线等．
【详解】解：根据对顶角的概念可知，
A、B、C中与都不符合对顶角的特征，
而D图中的与只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，属于对顶角．
故选：D．
3．A
【分析】本题主要考查点到直线的距离．根据直线外一点与直线上的所有连线中垂线段距离最短即可求解．
【详解】解：因为点P为直线m外一点，点A、B、C是直线m上三点，，，，直线外一点与直线上的所有连线中，垂线段距离最短可得：
点P到直线m的距离小于或等于3cm．
故选：A．
4．D
【分析】本题考查的是平行线的判定，根据平行线的判断对每一项分别进行分析即可得出答案，熟练掌握内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行是本题的关键．
【详解】解：A、∵，∴，故选项不符合题意；
B、∵，∴，故选项不符合题意；
C、∵，∴，故选项不符合题意；
D、∵，∴，故选项符合题意；
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了平移的性质，平移后，，与的周长相加即可转换为的周长，即可解题．
【详解】解：沿方向平移得到，
，，
，
与的周长和为（），
故选：C．
6．B
【分析】分别写出各命题的逆命题，逐一进行分析判断，即可获得答案．
【详解】解：①同位角相等，两直线平行，其逆命题是“两直线平行，同位角相等”，是真命题；
②对顶角相等，其逆命题是“相等的角为对顶角”，是假命题；
③若，则，其逆命题是“若，则”，是假命题；
④等角的余角相等，其逆命题是“余角相等的两个角为等角”，是真命题．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了逆命题、命题真假的判断、平行线的判定与性质、对顶角、绝对值、余角等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
7．B
【分析】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．
设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为40，求得，根据图中长方形的周长为58，求得，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案．
【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，
由图1中长方形的周长为40，可得，，
解得：，
如图，∵图2中长方形的周长为58，
∴，
∴，
根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，
∴
；
故选：B．
8．D
【分析】本题考查推理的应用，理解题意和各选项是解题关键．根据题意逐项分析判断即可．
【详解】解：两队同学进行调换，若调换的同学都是女生或男生，则整个队伍男女生人数不变；若将A队男生1人与B队女生1人进行调换，则A队男生人数少1人，B队女生人数少1人，此时A队男生人数与B队女生的人数仍相等；若将A队女生1人与B队男生1人进行调换，则A队男生人数多1人，B队女生人数多1人，此时A队男生人数与B队女生的人数仍相等．所以不论怎么调整，只要每次调换的人数相等，A队男生与B队女生人数始终相等，所以选项D正确；
因为A队男生人数与B队女生的人数相等，而A队女生人数与B队男生的人数不相等，所以不可能调整至A队全是男生而B队全是女生，所以选项A不正确；不过可以将A队男生与B队女生对调，调整至A队男生0人，B队女生0人，即调整至A队全是女生而B队全是男生；
选项B和选项C不正确，因为不论怎么调整，只要每次调换的人数相等，A队男生与B队女生人数始终相等，即A队男生比B队女生人数多一个（或多一倍）都是不可能发生．
故选D．
9．D
【分析】假设剩下的是A、B、C型小球，分别讨论，列举结果，进行排除即得．
【详解】（1）最后剩下的小球可能是型小球．理由如下：12个A型小球两两碰撞，形成6个C型小球；9个B型小球中8个两两碰撞，形成4个C型小球；所有的20个C型小球两两碰撞剩下一个C型小球；这个C型小球和剩下的B型小球碰撞形成A型小球，故①正确；
（2）最后剩下的小球可能是型小球．理由如下：12个A型小球中的9个与9个B型小球两两碰撞，形成9个C型小球；剩下的3个A型小球中的2个碰撞形成1个C型小球，所有的20个C型小球两两碰撞，最后剩下一个C型小球；这个C型小球与剩下的1个A型小球碰撞形成B型小球，故②错误；
（3）最后剩下的小球一定不是型小球．理由如下：A、B、C三种小球每一次碰撞有以下6种可能的情况：A与A碰撞，会产生一个C型小球，减少两个A型小球（C多一个，A、B共减少两个）；
B与B碰撞，会产生一个C型小球，减少两个B型小球（C多一个，A、B共减少两个）；
C与C碰撞，会产生一个C型小球，减少一个C型小球（C减少一个，A、B总数不变）；
A与B碰撞，会产生一个C型小球，减少一个A型小球和一个B型小球（C多一个，A、B共减少两个）；
A与C碰撞，会产生一个B型小球，减少一个A型小球和一个C型小球（C少一个，A、B总数不变）；
B与C碰撞，会产生一个A型小球，减少一个B型小球和一个C型小球（C少一个，A、B总数不变）；
如上可得出规律：1.从C型小球的角度看：每碰撞一次，C型小球的数量增多一个或少一个，题目中共有31个小球，经过30次碰撞剩下一个小球，整个过程变化了偶数次，C的变化即为偶数次，因为最初C型小球有10个，则剩余的C型小球必定是偶数个，不可能为1个，所以最后剩下的不可能是C型．
2.从A、B型小球的角度看：每次碰撞后，A、B型小球总数或者不变、或者减少两个、题目中A、B型小球之和为21个，无论碰撞多少次，A、B型小球都没了是不可能的．故③正确．
故选：D．
【点睛】本题考查逻辑推理及分类讨论思想，解题关键假设出现的情况，逆向推导出各个情况，注意思路严谨，分类讨论要不重不漏．
10．A
【分析】根据垂直得到， 根据平行线的性质得到；判断①；由角平分线的定义得到，，根据垂直的定义得到，判断②；由平行线的性质和角平分线可得，即可得到，再根据角平分线求出判断③；根据垂直的定义得到，求得，根据角的和差得到，等量代换得到，判断④；根据角平分线可以求出根据角的和差得到判断⑤；根据,判断⑥．
【详解】解：
∵
∴
∵，
∴，
所以①正确；
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
所以②正确；
∵ABCD，，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
所以③错误；
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
所以④正确；
∵，平分，
∴，
又∵
∴，
∴
所以⑤正确；
∵,
∴，
所以⑥正确．
正确的有个
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
11．/度
【分析】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键．
根据平行线的可得，根据平角的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
12．或或
【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．
根据平行线的判定方法，利用同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行解决问题即可．
【详解】解：当或或时，，
故答案为：或或．
13．
【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．先判断出阴影部分面积等于梯形的面积，再根据平移的性质可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵沿着点B到点C的方向平移到的位置，
∴，
，
∴阴影部分面积等于梯形的面积，
由平移的性质得，，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
故答案为：．
14．/度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，先根据垂直的定义得到，进而求出，再由两直线平行，内错角相等可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．504
【分析】本题主要平移的性质，线段的和差．
根据平移得到，从而可得与n的关系式，根据即可求解．
【详解】由题意可得点B向右平移4个单位长度得到点，点向右平移4个单位长度得到点，……，点向右平移4个单位长度得到点，
∴，
∴，
∴当时，，
解得：，
故答案为：504．
16．
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质，根据对顶角相等，可得，根据两直线平行、同旁内角互补，可得，根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：116．
17．/88度
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；
【详解】过点、、分别作，
∵
，
，
平分，平分 ，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．/52度
【分析】本题考查了平行线的性质与判定的综合运用，过点作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得出结论，解题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
【详解】如图，过点作，过作，

设，，
∵，交于，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了垂线段最短；两点之间，线段最短；
（1）根据垂线段最短，分别过点C、D向直线作垂线即可；
（2）根据两点之间，线段最短，连接与直线的交点即为点P．
【详解】（1）解：点E，F的位置如图所示：
（2）点P的位置如图所示．
20．
【分析】本题主要考查了平行的性质，角平分线的定义；由角平分线的定义得 ，由平行线的性质得，即可求解；掌握“两直线平行，内错角相等．”是解题的关键．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
．
21．，
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，角平分线的定义，对顶角线段等等，先由垂直的定义得到，则可求出，再由角平分线的定义得到，进而求出，则由对顶角线段得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
22．(1)；；；
(2)．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．
（1）利用平行线的性质求得，等量代换得到，再根据平行线的判定即可证明；
（2）先利用平行线的性质求得，再利用角平分线的定义求得的度数，再根据平行线的即可求解．
【详解】（1）解：．
证明：，
；
，
；
；
故答案为：；；；；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
23．(1)，理由见详解
(2)
(3)
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质；
（1）过作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，由即可求解；
（2）过作，由平行线的性质得，，结合角平分线的定义得，即可求解；
（3）过作，由平行线的性质得，从而可得
，结合角平分线的定义得，代入即可求解；
理解角平分线的定义，掌握平行线的判定及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：；
理由如下：
过作，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过作，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
比大，
，
，
，
；
（3）解：如图，过作，
，
，
，
，
，
平分，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由平行线的性质得到，再由平角的定义和已知条件推出，再证明，求出，然后根据角平分线的性质得出的度数，进而由平行线的性质求出的度数，即可求得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
25．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键．
（1）过点作，证，则，，从而得，再根据，可得的度数；
（2）过点作，证，则，，从而得，由此可得，，满足的数量关系；
（3）由（2）可知，由得，由角平分线定义得，由（1）得，再由角平分线定义得，则，同理：，…，以此类推：，据此可得 的度数．
【详解】（1）过点P作，如图1所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
故答案为：．
（2），，满足的数量关系是：，理由如下：
过点P作，如图2所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）由（2）可知：，
∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，
由（1）可知：，
∵，分别平分，，
∴，
∴，
同理：，
…，以此类推：，
∴．
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