第六章 计数原理（含解析）—2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册单元双测卷（B卷）
文档属性
| 名称 | 第六章 计数原理（含解析）—2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册单元双测卷（B卷） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 397.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-15 11:15:06 | ||
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文档简介
第六章 计数原理—2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册单元双测卷（B卷）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．将6名志愿者分配到两个社区参加服务工作,每名志愿者只分配到1个社区,每个社区至少分配两名志愿者,则有_____种分配方式( )
A.35 B.50 C.60 D.70
2．公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率的范围是：,为纪念祖冲之在圆周率方面的成就,把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.甲同学是个数学迷,他在设置手机的数字密码时,打算将圆周率的前6位数字3,1,4,1,5,9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻,那么甲同学可以设置的不同密码个数为( )
A.240 B.360 C.480 D.720
3．将标号为1、2、3、4、5、6的6个小球随机地放入标号为1、2、3、4、5、6的6个盒子中,每个盒子放一个小球,恰好有4个小球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法总数有( )
A.45种 B.90种 C.135种 D.180种
4．某班级举办元旦晚会,一共有8个节目,其中有2个小品节目.为了节目效果,班级规定中间的2个节目不能安排小品,且2个小品不能相邻演出,则不同排法的种数是( )
A. B. C. D.
5．将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会志愿服务,每个场馆不能少于2人,则不同的安排方法有( )
A.2720 B.3160 C.3000 D.2940
6．的展开式中,含项的系数是( )
A. B. C. D.
7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为.若,,则b的值可以是( )
A.2004 B.2005 C.2025 D.2026
8．的展开式中的系数为,则实数( )
A.2 B.1 C. D.
二、多项选择题
9．某医院派出甲,乙,丙,丁4名医生到A,B,C三家企业开展“面对面”义诊活动,每名医生只能到一家企业工作,每家企业至少派1名医生,则下列结论正确的是( )
A.所有不同分派方案共种
B.所有不同分派方案共36种
C.若甲必须到A企业,则所有不同分派方案共12种
D.若甲,乙不能安排到同一家企业,则所有不同分派方案共30种
10．已知二项式的展开式中各项系数的和为-128,则下列结论正确的是( )
A. B.展开式中二项式系数和为128
C.展开式中x项的系数为21 D.展开式中有3项有理项
11．下列关于排列组合数的等式或说法正确的有( )
A.
B.设,则x的个位数字是6
C.已知,则等式对任意正整数n,m都成立
D.等式对任意正整数n都成立
12．九本书籍分给三位同学,下列说法正确的是( )
A.九本书内容完全一样,每人至少一本有28种不同分法
B.九本书内容都不一样,分给三位同学有种不同的分法
C.九本书内容完全一样,分给三位同学有55种不同的分法
D.九本书内容都不一样,甲同学至少一本,乙同学至少二本有种不同的分法
三、填空题
13．某班元旦晚会准备了8个节目,其中歌曲节目有3个,舞蹈节目有2个,小品,相声,廆术节目各1个,要求小品,相声,魔术这3个节目不安排在第一个表演,这3个节目中最多有2个节目连续表演,且魔术在小品后面表演,则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种________.(用数字作答)
14．2023年9月23日,杭州第19届亚运会开幕,在之后举行的射击比赛中,6名志愿者被安排到安检 引导运动员入场 赛场记录这三项工作,若每项工作至少安排1人,每人必须参加且只能参加一项工作,则共有种安排方案______________.（用数字作答）
15．的展开式中的系数为________.
16．设的小数部分为，则__________.
四、解答题
17．已知,其中,,,···,.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大.
(1)求n值及二项式系数最大项;
(2)求的值（用数值作答）.
18．安排6名教师A，B，C，D，E，F到甲 乙 丙三个场馆做志愿者.
（1）有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？
（2）每名教师只去一个场馆，每个场馆至少要去一名教师，且A，B两人约定去同一个场馆，共有多少种不同的安排方法？
19．从A，B，C等8人中选出5人排成一排.
（1）A必须内，有多少种排法？
（2）A，B，C三人不全在内，有多少种排法？
（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？
（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
20．已知（且,）.
（1）设,求中含项的系数;
（2）化简：;
（3）证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可知：志愿者的人数分配有两种可能：和,
则相应的分配方式分别有种和种,
所以不同的分配方式共有种.
故选：B.
2．答案：A
解析：先把数字3,4,5,9四个数排列,共有种排列方法,四个数排列产生5个空,把两个1插到5个空里,共有种方法,根据乘法分步原理得共有种.
故选：A
3．答案：C
解析：若1、2、3、4号小球与1、2、3、4号盒子标号均不一致,
1号球放2号盒子有3种放法,1号球放3号盒子有3种放法,1号球放4号盒子有3种放法,共9种放法,
故不同的放法总数有种.
故选：C.
4．答案：C
解析：用表示不安排中间且不相邻的位置,则有,,,,,,,,,,,共11种情况,
2个小品有种安排方式;再安排其余6个节目,共有种安排方式;
不同排法的种数有种.
故选:C.
5．答案：D
解析：共有两种分配方式,一种是,一种是,
故不同的安排方法有.
故选：D.
6．答案：A
解析：依题意,含项的系数是
.
故选:A
7．答案：D
解析：若,
由二项式定理得,则,
因为能被5整除,所以a除以5余,
又因为,选项中2026除以5余1.
故选:D.
8．答案：D
解析:的展开式的通项公式为,
所以.
令,解得,
.令,解得.
由题意,可知,
所以.
故选:D.
9．答案：BCD
解析：由题意,所有不同分派方案共种,故A错误,B正确;
对于C,若甲必须到A企业,
若企业有两人,则将其余三人安排到三家企业,每家企业一人,
则不同分派方案有种,
若企业只有一人,则不同分派方案有种,
所以所有不同分派方案共种,故正确;
对于D,若甲,乙安排到同一家企业,
则将剩下的两人安排到另外两家企业,每家企业一人,
则有种不同的分派方法,
所以若甲,乙不能安排到同一家企业,则所有不同分派方案共种,故D正确.
故选:BCD.
10．答案：BD
解析：由题可得,不妨令,
得,
所以,
故选项A错误;
展开式中二项式系数和为,
故选项B正确;
展开式的通项公式为,
令,解得,
展开式中x项的系数为,
故选项C错误;
展开式的通项公式为,
当,4,7时,
为有理项,
故选项D正确.
故选：BD.
11．答案：ACD
解析：对A：,A正确;
对B： ,,
则,
故,
其个位数字是0,
故的个位数字是9,B错误;
对C：若,则,C正确;
对D： 的展开式为,,1,2,···,n
,
故展开式的的系数为,
又,则,
同理可得：的展开式为,,1,2,···,
即展开式的的系数为,
由于,故,D正确;
故选：ACD.
12．答案：ABC
解析：对于A,9本相同的书分给三位同学,每人至少一本,利用挡板法分析,在9本书之间的8个空位中任选2个,插入挡板即可,有种不同的分法,故A正确;
对于B,根据题意,9本书内容都不一样,则每本书都可以分给3人中的任意一人,即有3种分法,所以9本书有种不同的分法,故B正确;
对于C,由9本书内容完全一样,则将这9本书和2个挡板排成一排,利用挡板将9本书分为3组,对应3位同学即可,则有种不同的分法,故C正确;
对于D,可以分11类情况：
①“1,2,6型”有;②“1,3,5型”;
③“1,4,4型”;④“1,7,1型”;⑤“1,8,0型”;
⑥“2,2,5型”;⑦“2,3,4型”;⑧“2,7,0型”;
⑨“3,3,3型”;⑩“3,6,0型”;
“4,5,0型”,
所以有种不同的分法,故D错误．
故选：ABC．
13．答案：10800
解析：先将歌曲和舞蹈节目排好,有种,
再将小品,相声,魔术这3个节目排好,有种,
则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种.
故答案为:10800.
14．答案：540
解析：6名志愿者被安排三项工作,每项工作至少安排1人,
则分组方式为1,2,3;1,1,4;2,2,2,
则安排方案有（种）.
15．答案：0
解析：,
要想得到,则,
故的系数为,
故答案为:0
16．答案：7
解析：因为，所以的整数部分为3，
则，即，
所以
，
故.
故答案为：7
17．答案：(1),
(2)3281
解析：（1）因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大,
即仅有最大,所以,故.
即,二项式系数最大项为第5项：;
（2）令,得,
令,得.
两式相加可得.
18．答案：（1）21种
（2）150种.
解析：（1）由题知，把这14个口罩按要求全部发给这6名教师有两种分配方案：2，2，2，2，3，3或2，2，2，2，2，4；
按2，2，2，2，3，3分时，有种分法；按2，2，2，2，2，4分时，有种分法；
所以不同的发放方法有21种；
（2）法一：把A，B视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有
两类：1，1，3或1，2，2；
按1，1，3安排时，有种方法；
按1，2，2安排时，有种方法；
所以不同的安排方法有种.
法二：
把6人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有三类：
第一类1，2，3：若A，B为2人组，有种分组方法；若A，B在3人组，有种分组方法；
再分配给三个场馆，有种方法；
第二类2，2，2：则A，B为其中一组，有种方法；
第三类1，1，4：则A，B在4人组，有种方法；
所以不同的安排方法有种.
19．答案：（1）4200
（2）5520
（3）240
（4）4440
解析：（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，再将这4人与A进行全排列有种不同的排法，
故由乘法原理可知共有种不同排法；
（2）从8人中任选5人排列共有种不同排法，A，B，C三人全在内有种不同排法，
由间接法可得A，B，C三人不全在内共有种不同排法；
（3）因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，A，B必须相邻，有种不同排法，由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法，由乘法原理可得共有种不同排法；
（4）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法；
第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法；
第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法；
第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法，
若A不排中间时，有种排法，共有种排法；
综上，共有4440种不同排法.
20．答案：（1）330;
（2）;
（3）见解析
解析：（1）由题意知：
所以中含项的系数为：
（2）
两边求导得,令得到,
又且所求式子的通项为
（3）①
则函数中含项的系数为
因为②
①-②得：
即
所以
函数中含项的系数为：
所以.
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．将6名志愿者分配到两个社区参加服务工作,每名志愿者只分配到1个社区,每个社区至少分配两名志愿者,则有_____种分配方式( )
A.35 B.50 C.60 D.70
2．公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率的范围是：,为纪念祖冲之在圆周率方面的成就,把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.甲同学是个数学迷,他在设置手机的数字密码时,打算将圆周率的前6位数字3,1,4,1,5,9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻,那么甲同学可以设置的不同密码个数为( )
A.240 B.360 C.480 D.720
3．将标号为1、2、3、4、5、6的6个小球随机地放入标号为1、2、3、4、5、6的6个盒子中,每个盒子放一个小球,恰好有4个小球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法总数有( )
A.45种 B.90种 C.135种 D.180种
4．某班级举办元旦晚会,一共有8个节目,其中有2个小品节目.为了节目效果,班级规定中间的2个节目不能安排小品,且2个小品不能相邻演出,则不同排法的种数是( )
A. B. C. D.
5．将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会志愿服务,每个场馆不能少于2人,则不同的安排方法有( )
A.2720 B.3160 C.3000 D.2940
6．的展开式中,含项的系数是( )
A. B. C. D.
7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为.若,,则b的值可以是( )
A.2004 B.2005 C.2025 D.2026
8．的展开式中的系数为,则实数( )
A.2 B.1 C. D.
二、多项选择题
9．某医院派出甲,乙,丙,丁4名医生到A,B,C三家企业开展“面对面”义诊活动,每名医生只能到一家企业工作,每家企业至少派1名医生,则下列结论正确的是( )
A.所有不同分派方案共种
B.所有不同分派方案共36种
C.若甲必须到A企业,则所有不同分派方案共12种
D.若甲,乙不能安排到同一家企业,则所有不同分派方案共30种
10．已知二项式的展开式中各项系数的和为-128,则下列结论正确的是( )
A. B.展开式中二项式系数和为128
C.展开式中x项的系数为21 D.展开式中有3项有理项
11．下列关于排列组合数的等式或说法正确的有( )
A.
B.设,则x的个位数字是6
C.已知,则等式对任意正整数n,m都成立
D.等式对任意正整数n都成立
12．九本书籍分给三位同学,下列说法正确的是( )
A.九本书内容完全一样,每人至少一本有28种不同分法
B.九本书内容都不一样,分给三位同学有种不同的分法
C.九本书内容完全一样,分给三位同学有55种不同的分法
D.九本书内容都不一样,甲同学至少一本,乙同学至少二本有种不同的分法
三、填空题
13．某班元旦晚会准备了8个节目,其中歌曲节目有3个,舞蹈节目有2个,小品,相声,廆术节目各1个,要求小品,相声,魔术这3个节目不安排在第一个表演,这3个节目中最多有2个节目连续表演,且魔术在小品后面表演,则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种________.(用数字作答)
14．2023年9月23日,杭州第19届亚运会开幕,在之后举行的射击比赛中,6名志愿者被安排到安检 引导运动员入场 赛场记录这三项工作,若每项工作至少安排1人,每人必须参加且只能参加一项工作,则共有种安排方案______________.（用数字作答）
15．的展开式中的系数为________.
16．设的小数部分为，则__________.
四、解答题
17．已知,其中,,,···,.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大.
(1)求n值及二项式系数最大项;
(2)求的值（用数值作答）.
18．安排6名教师A，B，C，D，E，F到甲 乙 丙三个场馆做志愿者.
（1）有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？
（2）每名教师只去一个场馆，每个场馆至少要去一名教师，且A，B两人约定去同一个场馆，共有多少种不同的安排方法？
19．从A，B，C等8人中选出5人排成一排.
（1）A必须内，有多少种排法？
（2）A，B，C三人不全在内，有多少种排法？
（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？
（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
20．已知（且,）.
（1）设,求中含项的系数;
（2）化简：;
（3）证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可知：志愿者的人数分配有两种可能：和,
则相应的分配方式分别有种和种,
所以不同的分配方式共有种.
故选：B.
2．答案：A
解析：先把数字3,4,5,9四个数排列,共有种排列方法,四个数排列产生5个空,把两个1插到5个空里,共有种方法,根据乘法分步原理得共有种.
故选：A
3．答案：C
解析：若1、2、3、4号小球与1、2、3、4号盒子标号均不一致,
1号球放2号盒子有3种放法,1号球放3号盒子有3种放法,1号球放4号盒子有3种放法,共9种放法,
故不同的放法总数有种.
故选：C.
4．答案：C
解析：用表示不安排中间且不相邻的位置,则有,,,,,,,,,,,共11种情况,
2个小品有种安排方式;再安排其余6个节目,共有种安排方式;
不同排法的种数有种.
故选:C.
5．答案：D
解析：共有两种分配方式,一种是,一种是,
故不同的安排方法有.
故选：D.
6．答案：A
解析：依题意,含项的系数是
.
故选:A
7．答案：D
解析：若,
由二项式定理得,则,
因为能被5整除,所以a除以5余,
又因为,选项中2026除以5余1.
故选:D.
8．答案：D
解析:的展开式的通项公式为,
所以.
令,解得,
.令,解得.
由题意,可知,
所以.
故选:D.
9．答案：BCD
解析：由题意,所有不同分派方案共种,故A错误,B正确;
对于C,若甲必须到A企业,
若企业有两人,则将其余三人安排到三家企业,每家企业一人,
则不同分派方案有种,
若企业只有一人,则不同分派方案有种,
所以所有不同分派方案共种,故正确;
对于D,若甲,乙安排到同一家企业,
则将剩下的两人安排到另外两家企业,每家企业一人,
则有种不同的分派方法,
所以若甲,乙不能安排到同一家企业,则所有不同分派方案共种,故D正确.
故选:BCD.
10．答案：BD
解析：由题可得,不妨令,
得,
所以,
故选项A错误;
展开式中二项式系数和为,
故选项B正确;
展开式的通项公式为,
令,解得,
展开式中x项的系数为,
故选项C错误;
展开式的通项公式为,
当,4,7时,
为有理项,
故选项D正确.
故选：BD.
11．答案：ACD
解析：对A：,A正确;
对B： ,,
则,
故,
其个位数字是0,
故的个位数字是9,B错误;
对C：若,则,C正确;
对D： 的展开式为,,1,2,···,n
,
故展开式的的系数为,
又,则,
同理可得：的展开式为,,1,2,···,
即展开式的的系数为,
由于,故,D正确;
故选：ACD.
12．答案：ABC
解析：对于A,9本相同的书分给三位同学,每人至少一本,利用挡板法分析,在9本书之间的8个空位中任选2个,插入挡板即可,有种不同的分法,故A正确;
对于B,根据题意,9本书内容都不一样,则每本书都可以分给3人中的任意一人,即有3种分法,所以9本书有种不同的分法,故B正确;
对于C,由9本书内容完全一样,则将这9本书和2个挡板排成一排,利用挡板将9本书分为3组,对应3位同学即可,则有种不同的分法,故C正确;
对于D,可以分11类情况：
①“1,2,6型”有;②“1,3,5型”;
③“1,4,4型”;④“1,7,1型”;⑤“1,8,0型”;
⑥“2,2,5型”;⑦“2,3,4型”;⑧“2,7,0型”;
⑨“3,3,3型”;⑩“3,6,0型”;
“4,5,0型”,
所以有种不同的分法,故D错误．
故选：ABC．
13．答案：10800
解析：先将歌曲和舞蹈节目排好,有种,
再将小品,相声,魔术这3个节目排好,有种,
则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种.
故答案为:10800.
14．答案：540
解析：6名志愿者被安排三项工作,每项工作至少安排1人,
则分组方式为1,2,3;1,1,4;2,2,2,
则安排方案有（种）.
15．答案：0
解析：,
要想得到,则,
故的系数为,
故答案为:0
16．答案：7
解析：因为，所以的整数部分为3，
则，即，
所以
，
故.
故答案为：7
17．答案：(1),
(2)3281
解析：（1）因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大,
即仅有最大,所以,故.
即,二项式系数最大项为第5项：;
（2）令,得,
令,得.
两式相加可得.
18．答案：（1）21种
（2）150种.
解析：（1）由题知，把这14个口罩按要求全部发给这6名教师有两种分配方案：2，2，2，2，3，3或2，2，2，2，2，4；
按2，2，2，2，3，3分时，有种分法；按2，2，2，2，2，4分时，有种分法；
所以不同的发放方法有21种；
（2）法一：把A，B视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有
两类：1，1，3或1，2，2；
按1，1，3安排时，有种方法；
按1，2，2安排时，有种方法；
所以不同的安排方法有种.
法二：
把6人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有三类：
第一类1，2，3：若A，B为2人组，有种分组方法；若A，B在3人组，有种分组方法；
再分配给三个场馆，有种方法；
第二类2，2，2：则A，B为其中一组，有种方法；
第三类1，1，4：则A，B在4人组，有种方法；
所以不同的安排方法有种.
19．答案：（1）4200
（2）5520
（3）240
（4）4440
解析：（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，再将这4人与A进行全排列有种不同的排法，
故由乘法原理可知共有种不同排法；
（2）从8人中任选5人排列共有种不同排法，A，B，C三人全在内有种不同排法，
由间接法可得A，B，C三人不全在内共有种不同排法；
（3）因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，A，B必须相邻，有种不同排法，由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法，由乘法原理可得共有种不同排法；
（4）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法；
第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法；
第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法；
第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法，
若A不排中间时，有种排法，共有种排法；
综上，共有4440种不同排法.
20．答案：（1）330;
（2）;
（3）见解析
解析：（1）由题意知：
所以中含项的系数为：
（2）
两边求导得,令得到,
又且所求式子的通项为
（3）①
则函数中含项的系数为
因为②
①-②得：
即
所以
函数中含项的系数为：
所以.