第六章 计数原理（含解析）—2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册单元双测卷（A卷）
文档属性
| 名称 | 第六章 计数原理（含解析）—2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册单元双测卷（A卷） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 323.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-15 11:15:36 | ||
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文档简介
第六章 计数原理—2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册单元双测卷（A卷）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．“畅通微循环,未来生活更舒适”.我国开展一刻钟便民生活圈建设,推进生活服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展,以提质便民为核心,高质量建设国际消费中心城市,便民商业体系向高品质发展.某调研机构成立5个调研小组,就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研,每个调研小组选择其中1个社区,要求调研活动覆盖被调研的社区,共有派出方案种数为( )
A.120 B.240 C.360 D.480
2．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰,短道速滑,冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
3．在的展开式中,x的系数为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
4．口袋里有红黄蓝绿的小球各四个,这些球除了颜色之外完全相同,现在从口袋里任意取出四个小球,则不同的方法有____种( )
A.48 B.77 C.35 D.39
5．“畅通微循环,未来生活更舒适”.我国开展一刻钟便民生活圈建设,推进生活服务业“规范化,连锁化,便利化,品牌化,特色化,智能化”发展,以提质便民为核心,高质量建设国际消费中心城市,便民商业体系向高品质发展.某调研机构成立5个调研小组,就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研,每个调研小组选择其中1个社区,要求调研活动覆盖被调研的社区,共有派出方案种数为( )
A.120 B.240 C.360 D.480
6．用2个0,2个1和1个2组成一个五位数,则这样的五位数有( )
A.8个 B.12个 C.18个 D.24个
7．大庆实验中学安排某班级某天上午五节课课表,语文 数学 外语 物理 化学各一节,现要求数学和物理不相邻,且都不排在第一节,则课表排法的种数为( )
A.24 B.36 C.72 D.144
8．定义“有增有减”数列如下:,满足,且,满足.已知“有增有减”数列共4项,若,且,则数列共有( )
A.64个 B.57个 C.56个 D.54个
二、多项选择题
9．已知二项式的展开式中各项的系数和为64,则下列说法正确的是( )
A.
B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为32
C.展开式中的常数项为540
D.展开式中二项式系数最大的项是第四项
10．某校文艺汇演共6个节目,其中歌唱类节目3个,舞蹈类节目2个,语言类节目1个,则下列说法正确的是( )
A.若以歌唱类节目开场,则有360种不同出场顺序
B.若舞蹈类节目相邻,则有120种出场顺序
C.若舞蹈类节目不相邻,则有240种不同的出场顺序
D.从中挑选2个不同类型节目参加市艺术节,则有11种不同的选法
11．4个男生与3个女生并排站成一排,下列说法正确的是( )
（选项中排列数的计算结果均正确）
A.若3个女生必须相邻,则不同的排法有种
B.若3个女生中有且只有2个女生相邻,则不同的排法有种
C.若女生甲不能在最左端,且女生乙不能在最右端,则不同的排法共种
D.若3个女生按从左到右的顺序排列,则不同的排法有种
12．已知,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
13．从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_____________种.(用数字填写答案)
14．在二项式的展开式中,常数项是-160,则a的值为____________.
15．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有3种不同的植物可供选择,则有_____种栽种方案.
16．设集合,则集合A中满足条件:“”的元素个数为________.
四、解答题
17．从6名男生,5名女生中选举3人分别担任班长,学习委员和体育委员.
（1）若担任班长,学习委员和体育委员的3人中有女生,则不同的情况有多少种？
（2）若担任班长和学习委员的学生性别不同,则不同的情况有多少种？
18．已知的展开式中所有项的二项式系数和为128,各项系数和为-1.
(1)求n和a的值;
(2)求的展开式中的常数项.
19．某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动.
（1）如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？
（2）如果男生甲与女生乙至少有l人参加，有多少种选法？
（3）如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？
20．已知,且.
(1)求n的值;
(2)求的值;
(3)求的值.
参考答案
1．答案：B
解析：将这5个调研小组分成2,1,1,1这4个小组,然后派往4个社区
,所以派出方案种数为.
故选：B.
2．答案：C
解析：5名志愿者选2个1组,有种方法,然后4组进行全排列,有种,共有种,故选:C.
3．答案：D
解析：由题意,
在中,每一项为,
当即时,,
故选：D.
4．答案：C
解析：根据条件,取出的四个球可以分为一种,两种,三种,四种颜色,
当取出的球只有一种颜色时：有4种;
当取出的球只有二种颜色时：有种;
当取出的球只有三种颜色时：有种;
当取出的球只有四种颜色时：有1种;
共有：种.故C项正确.
5．答案：B
解析：将这5个调研小组分成2,1,1,1这4个小组,然后派往4个社区,
所以派出方案种数为.
故选:B.
6．答案：C
解析：当首位为2时,这样的五位数有个;
当首位为1时,这样的五位数有个.
综上,这样的五位数共有个.
故选：C.
7．答案：B
解析：1、将数学排在第一节的排法有种;
2、将物理排在第一节的排法有种;
3、数学和物理都不排在第一节,但相邻的排法有种;
而5节课任意排的排法有种,
数学和物理不相邻且都不排在第一节的排法有种.
故选：B.
8．答案：D
解析：(法一):由题意不妨设,,,
记
则满足条件的P有:
（1）P中有两个元素时:选元素:种;排循序:(减去:全相同2种,顺序3种,倒序3种);共有种;
（2）P中有三个元素时:选元素:种;排循序:(减去:顺序1种,倒序1种);共有种;
所以共有种.
(法二):当四个数中只有两个数相同或只有两对数时,共有种,当四个数中有三个数相同时,共有种,所以总方法数有.
9．答案：ABD
解析：令,得,得,故A正确;展开式中所有奇数项的二项式系数和为,故B正确,
由上得二项式为,常数项为,故C错误;
最大的二项式系数为,即第四项的二项
式系数最大,故D正确;
故选：ABD.
10．答案：AD
解析：A:从3个歌唱节目选1个作为开场,有种方法,后面的5个节目全排列,
所以符合题意的方法共有种,故A正确;
B:将2个舞蹈节目捆绑在一起,有种方法,再与其余4个节目全排列,
所以符合题意的方法共有,故B错误;
C:除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列,有种,再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目,
所以符合题意的方法有种,故C错误;
D:符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈,1个歌唱1个语言,1个舞蹈1个语言,
所以不同的选法共种,故D正确.
故选:AD.
11．答案：BCD
解析：对于A,3个女生必须相邻,则不同的排法有种,A错误;
对于B,3个女生中有且只有2个女生相邻,先排4个男生有种,3个女生取2个女生排在一起,
与另1个女生插入4个男生排列形成的5个间隙中,有,不同排法有种,B正确;
对于C,女生甲不能在最左端,且女生乙不能在最右端,由排除法得不同的排法共有种,C正确;
对于D,3个女生按从左到右的顺序排列,不同的排法有种,D正确.
故选：BCD
12．答案：ACD
解析：对于A,令,则,故A正确;
对于B,因为,
所以,B错误;
对于C,令,则,
令,则 ,
所以,故C正确;
对于D,由选项B可知,,
,,,,
,,
所以
,故D正确.
故选：ACD.
13．答案：16
解析：方法一:反面考虑
没有女生入选有种选法,从6名学生中任意选3人有种选法,
故至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.
故答案为:16.
方法二:正面考虑
若有1位女生入选,则另2位是男生,于是选法有种;
若有2位女生入选,则另有1位是男生,于是选法有种,则不同的选法共有种.
故答案为:16.
14．答案：-2
解析：展开式的通项公式为,
令,得,
故,
解得.
故答案为：-2.
15．答案：66
解析：根据题意,分3种情况讨论:
①当A,C,E种同一种植物,此时共有种方法;
②当A,C,E种二种植物,此时共有种方法;
③当A,C,E种三种植物,此时共有种方法;
则一共有种不同的栽种方案;
故答案为66.
16．答案：18.
解析：对于分以下几种情况:
①,此时集合A的元素含有一个2,或,两个0,2或从三个位置选一个有3种选法,剩下的位置都填0,这种情况有种;
②,此时集合A中元素含有两个2一个0;或两个,一个0;或一个2,一个,一个0.
若是两个2或,一个0时,从三个位置任选一个填0,剩下的两个位置都填2或,这种情况有种;
若是一个2,一个,一个0时,对这三个数全排列即得到种;
集合A中满足条件“”的元素个数为.
故答案为:18
17．答案：（1）870
（2）540
解析：（1）由题意知担任班长,学习委员和体育委员的3人中有女生,
可从11人中人选3人,减去全是选男生的情况,再分配担任不同的职务,
故不同的情况有种;
（2）若担任班长和学习委员的学生性别不同,
则不同的情况有种
18．答案：(1)
(2)448
解析：（1）由条件可得,
解得.
（2）.
展开式的通项为：
.
①当即时,;
②当即时,;
所求的常数项为.
19．答案：（1）100
（2）140
（2）200
解析：（1）分两步：
第一步，从5名男生中选2人，有种选法；
第二步，从5名女生中选2人，有种选法.
根据分步计数原理得，共有种选法.
（2）从10人中选取4人，有种选法；
男生甲与女生乙都不参加，有种选法，
所以男生甲与女生乙至少有l人参加，共有种选法.
（3）从l0人中选取4人，有种选法；
4人全是男生，有种选法；
4人全是女生，有种选法.
所以4人中既有男生又有女生，共有种选法.
20．答案：(1)
(2)-2
(3)
解析：（1）, ,
,
,
,解得（舍）或,
.
（2）由第（1）问,,
①,
令①式中,则,
,
令①式中,则,即,
.
（3）令第（2）问①式中,则,
②,
由第（2）问,③,
②,③两式相加,得
,
.
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．“畅通微循环,未来生活更舒适”.我国开展一刻钟便民生活圈建设,推进生活服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展,以提质便民为核心,高质量建设国际消费中心城市,便民商业体系向高品质发展.某调研机构成立5个调研小组,就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研,每个调研小组选择其中1个社区,要求调研活动覆盖被调研的社区,共有派出方案种数为( )
A.120 B.240 C.360 D.480
2．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰,短道速滑,冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
3．在的展开式中,x的系数为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
4．口袋里有红黄蓝绿的小球各四个,这些球除了颜色之外完全相同,现在从口袋里任意取出四个小球,则不同的方法有____种( )
A.48 B.77 C.35 D.39
5．“畅通微循环,未来生活更舒适”.我国开展一刻钟便民生活圈建设,推进生活服务业“规范化,连锁化,便利化,品牌化,特色化,智能化”发展,以提质便民为核心,高质量建设国际消费中心城市,便民商业体系向高品质发展.某调研机构成立5个调研小组,就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研,每个调研小组选择其中1个社区,要求调研活动覆盖被调研的社区,共有派出方案种数为( )
A.120 B.240 C.360 D.480
6．用2个0,2个1和1个2组成一个五位数,则这样的五位数有( )
A.8个 B.12个 C.18个 D.24个
7．大庆实验中学安排某班级某天上午五节课课表,语文 数学 外语 物理 化学各一节,现要求数学和物理不相邻,且都不排在第一节,则课表排法的种数为( )
A.24 B.36 C.72 D.144
8．定义“有增有减”数列如下:,满足,且,满足.已知“有增有减”数列共4项,若,且,则数列共有( )
A.64个 B.57个 C.56个 D.54个
二、多项选择题
9．已知二项式的展开式中各项的系数和为64,则下列说法正确的是( )
A.
B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为32
C.展开式中的常数项为540
D.展开式中二项式系数最大的项是第四项
10．某校文艺汇演共6个节目,其中歌唱类节目3个,舞蹈类节目2个,语言类节目1个,则下列说法正确的是( )
A.若以歌唱类节目开场,则有360种不同出场顺序
B.若舞蹈类节目相邻,则有120种出场顺序
C.若舞蹈类节目不相邻,则有240种不同的出场顺序
D.从中挑选2个不同类型节目参加市艺术节,则有11种不同的选法
11．4个男生与3个女生并排站成一排,下列说法正确的是( )
（选项中排列数的计算结果均正确）
A.若3个女生必须相邻,则不同的排法有种
B.若3个女生中有且只有2个女生相邻,则不同的排法有种
C.若女生甲不能在最左端,且女生乙不能在最右端,则不同的排法共种
D.若3个女生按从左到右的顺序排列,则不同的排法有种
12．已知,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
13．从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_____________种.(用数字填写答案)
14．在二项式的展开式中,常数项是-160,则a的值为____________.
15．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有3种不同的植物可供选择,则有_____种栽种方案.
16．设集合,则集合A中满足条件:“”的元素个数为________.
四、解答题
17．从6名男生,5名女生中选举3人分别担任班长,学习委员和体育委员.
（1）若担任班长,学习委员和体育委员的3人中有女生,则不同的情况有多少种？
（2）若担任班长和学习委员的学生性别不同,则不同的情况有多少种？
18．已知的展开式中所有项的二项式系数和为128,各项系数和为-1.
(1)求n和a的值;
(2)求的展开式中的常数项.
19．某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动.
（1）如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？
（2）如果男生甲与女生乙至少有l人参加，有多少种选法？
（3）如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？
20．已知,且.
(1)求n的值;
(2)求的值;
(3)求的值.
参考答案
1．答案：B
解析：将这5个调研小组分成2,1,1,1这4个小组,然后派往4个社区
,所以派出方案种数为.
故选：B.
2．答案：C
解析：5名志愿者选2个1组,有种方法,然后4组进行全排列,有种,共有种,故选:C.
3．答案：D
解析：由题意,
在中,每一项为,
当即时,,
故选：D.
4．答案：C
解析：根据条件,取出的四个球可以分为一种,两种,三种,四种颜色,
当取出的球只有一种颜色时：有4种;
当取出的球只有二种颜色时：有种;
当取出的球只有三种颜色时：有种;
当取出的球只有四种颜色时：有1种;
共有：种.故C项正确.
5．答案：B
解析：将这5个调研小组分成2,1,1,1这4个小组,然后派往4个社区,
所以派出方案种数为.
故选:B.
6．答案：C
解析：当首位为2时,这样的五位数有个;
当首位为1时,这样的五位数有个.
综上,这样的五位数共有个.
故选：C.
7．答案：B
解析：1、将数学排在第一节的排法有种;
2、将物理排在第一节的排法有种;
3、数学和物理都不排在第一节,但相邻的排法有种;
而5节课任意排的排法有种,
数学和物理不相邻且都不排在第一节的排法有种.
故选：B.
8．答案：D
解析：(法一):由题意不妨设,,,
记
则满足条件的P有:
（1）P中有两个元素时:选元素:种;排循序:(减去:全相同2种,顺序3种,倒序3种);共有种;
（2）P中有三个元素时:选元素:种;排循序:(减去:顺序1种,倒序1种);共有种;
所以共有种.
(法二):当四个数中只有两个数相同或只有两对数时,共有种,当四个数中有三个数相同时,共有种,所以总方法数有.
9．答案：ABD
解析：令,得,得,故A正确;展开式中所有奇数项的二项式系数和为,故B正确,
由上得二项式为,常数项为,故C错误;
最大的二项式系数为,即第四项的二项
式系数最大,故D正确;
故选：ABD.
10．答案：AD
解析：A:从3个歌唱节目选1个作为开场,有种方法,后面的5个节目全排列,
所以符合题意的方法共有种,故A正确;
B:将2个舞蹈节目捆绑在一起,有种方法,再与其余4个节目全排列,
所以符合题意的方法共有,故B错误;
C:除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列,有种,再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目,
所以符合题意的方法有种,故C错误;
D:符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈,1个歌唱1个语言,1个舞蹈1个语言,
所以不同的选法共种,故D正确.
故选:AD.
11．答案：BCD
解析：对于A,3个女生必须相邻,则不同的排法有种,A错误;
对于B,3个女生中有且只有2个女生相邻,先排4个男生有种,3个女生取2个女生排在一起,
与另1个女生插入4个男生排列形成的5个间隙中,有,不同排法有种,B正确;
对于C,女生甲不能在最左端,且女生乙不能在最右端,由排除法得不同的排法共有种,C正确;
对于D,3个女生按从左到右的顺序排列,不同的排法有种,D正确.
故选：BCD
12．答案：ACD
解析：对于A,令,则,故A正确;
对于B,因为,
所以,B错误;
对于C,令,则,
令,则 ,
所以,故C正确;
对于D,由选项B可知,,
,,,,
,,
所以
,故D正确.
故选：ACD.
13．答案：16
解析：方法一:反面考虑
没有女生入选有种选法,从6名学生中任意选3人有种选法,
故至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.
故答案为:16.
方法二:正面考虑
若有1位女生入选,则另2位是男生,于是选法有种;
若有2位女生入选,则另有1位是男生,于是选法有种,则不同的选法共有种.
故答案为:16.
14．答案：-2
解析：展开式的通项公式为,
令,得,
故,
解得.
故答案为：-2.
15．答案：66
解析：根据题意,分3种情况讨论:
①当A,C,E种同一种植物,此时共有种方法;
②当A,C,E种二种植物,此时共有种方法;
③当A,C,E种三种植物,此时共有种方法;
则一共有种不同的栽种方案;
故答案为66.
16．答案：18.
解析：对于分以下几种情况:
①,此时集合A的元素含有一个2,或,两个0,2或从三个位置选一个有3种选法,剩下的位置都填0,这种情况有种;
②,此时集合A中元素含有两个2一个0;或两个,一个0;或一个2,一个,一个0.
若是两个2或,一个0时,从三个位置任选一个填0,剩下的两个位置都填2或,这种情况有种;
若是一个2,一个,一个0时,对这三个数全排列即得到种;
集合A中满足条件“”的元素个数为.
故答案为:18
17．答案：（1）870
（2）540
解析：（1）由题意知担任班长,学习委员和体育委员的3人中有女生,
可从11人中人选3人,减去全是选男生的情况,再分配担任不同的职务,
故不同的情况有种;
（2）若担任班长和学习委员的学生性别不同,
则不同的情况有种
18．答案：(1)
(2)448
解析：（1）由条件可得,
解得.
（2）.
展开式的通项为：
.
①当即时,;
②当即时,;
所求的常数项为.
19．答案：（1）100
（2）140
（2）200
解析：（1）分两步：
第一步，从5名男生中选2人，有种选法；
第二步，从5名女生中选2人，有种选法.
根据分步计数原理得，共有种选法.
（2）从10人中选取4人，有种选法；
男生甲与女生乙都不参加，有种选法，
所以男生甲与女生乙至少有l人参加，共有种选法.
（3）从l0人中选取4人，有种选法；
4人全是男生，有种选法；
4人全是女生，有种选法.
所以4人中既有男生又有女生，共有种选法.
20．答案：(1)
(2)-2
(3)
解析：（1）, ,
,
,
,解得（舍）或,
.
（2）由第（1）问,,
①,
令①式中,则,
,
令①式中,则,即,
.
（3）令第（2）问①式中,则,
②,
由第（2）问,③,
②,③两式相加,得
,
.