第七章 随机变量及其分布（含解析）—2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册单元双测卷（A卷）
文档属性
| 名称 | 第七章 随机变量及其分布（含解析）—2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册单元双测卷（A卷） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 482.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-15 11:16:53 | ||
图片预览
文档简介
第七章 随机变量及其分布—2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册单元双测卷（A卷）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设,随机变量的分布列为：
5 8 9
P
则( )
A. B. C. D.
2．一个盒子中装有5个黑球和4个白球,现从中先后无放回的取2个球,记“第一次取得黑球”为事件A,“第二次取得白球”为事件B,则( )
A. B. C. D.
3．已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球,现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球,放回后再进行下一次摸球）,规定每次摸出红球计3分,摸出白球计0分,记随机变量X表示摸球8次后的总分值,则( )
A.8 B. C. D.16
4．已知随机变量X服从二项分布，若，则等于( )
A. B.8 C.12 D.24
5．某批播种用的一等小麦种子中混有的二等种子，的三等种子，的四等种子、播种一、二、三、四等种子后长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子播种后所长出的穗含50颗以上麦粒的概率为( )
A.0.8 B.0.8325 C.0.5325 D.0.4825
6．已知离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且，，若X的数学期望，则( )
A.19 B.16 C. D.
7．正态分布是一种重要的概率分布，它是由法国数学家棣莫弗（De Moivre)于1733年提出的，但由于德国数学家高斯（C.F.Gauss)率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作.，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布.如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态密度曲线与x轴在区间内所围成的图形的面积.某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分为100分，方差为36，，那么成绩落在内的人数约为( )
A.756 B.748 C.782 D.764
8．一台仪器每启动一次都会随机出现一个5位的二进制数（例如：若，，则），其中二进制数A的各数位中，已知，出现0的概率为，出现1的概率为，记，现在仪器启动一次，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．甲、乙两同学玩纸牌游戏（纸牌除颜色不同外，没有其他任何区别），他们手里先各持4张牌，其中甲同学手里有2张黑牌，2张红牌，乙同学手里有3张黑牌，1张红牌，现在两人都各自随机拿出1张牌进行交换，交换后甲、乙两同学手中的红牌分别有X张、Y张，则( )
A. B. C. D.
10．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的.如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每颗钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径小于两颗钉子之间距离的小球，小球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右落下，然后又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到落到底板的一个格子内.现从入口放进一个小球，则( )
A.小球从入口落到第③个格子一共跳了6次
B.小球从入口落到第③个格子一共跳了7次
C.小球落到第③个格子的概率为
D.小球落到第③个格子的概率为
11．设A,B是一次随机试验中的两个事件,且,,,则( )
A.A,B相互独立 B. C. D.
12．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选,其中部分次品芯片会被淘汰,筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”,B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后,该款芯片的某项质量指标服从正态分布,现从中随机抽取M个,这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.取得最大值时,M的估计值为53
三、填空题
13．已知随机变量,若,则实数a的值为________.
14．某中学生准备到各类古遗迹打卡，这些古遗迹可分为文化纪念地、史迹等五类.已知该学生打卡第一类、第二类的概率都是，打卡第三类、第四类和第五类的概率都是，且是否打卡这五类古遗迹相互独立.用随机变量X表示该学生打卡的类别数，则____________.
15．甲、乙、丙、丁、戊五名同学利用寒假参加社区服务,分别从为老年人服务、社会保障服务、优抚对象服务、为残病人服务、安全防范服务等五个服务项目中选择一个报名,记事件A为“五名同学所选项目各不相同”,事件B为“只有甲同学选安全防范服务”,则______________.
16．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”凭借憨态可掬的熊猫形象备受追捧，引来国内外粉丝争相购买，竟出现了“一墩难求”的局面.已知某工厂生产一批冰墩墩，产品合格率为90%.现引进一种设备对产品质量进行检测，但该设备存在缺陷，在产品为次品的前提下用该设备进行检测，检测结果有90%的可能为不合格，但在该产品为正品的前提下，检测结果也有5%的可能为不合格.现从生产的冰墩墩中任取一件并用该设备进行检测，则检测结果为合格的概率是____________.
四、解答题
17．春节临近,为了吸引顾客,我市某大型商超策划了抽奖活动,计划如下:有A,B,C三个抽奖项目,它们之间相互不影响,每个项目每位顾客至多参加一次,项目A中奖的概率是,项目B和C中奖的概率都是.
（1）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A,B,C三个项目,如果A,B,C三个项目全部中奖,顾客将获得100元奖券;如果仅有两个项目中奖,他将获得50元奖券;否则就没有奖券.求每位顾客获得奖券金额的期望;
（2）若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.已知某顾客中奖了,求他参加的是A项目的概率.
18．周末可以去哪里 带着挖沙桶,皮球,滑板车和野餐垫,踩踩沙滩,在草地上跑累了随手拿起野餐垫上的蛋糕往嘴巴里塞,沙滩和野餐没有哪个家庭会拒绝的.小芸正在考虑购买一些物品,和父母一起在本周末去离家不远的度假村游玩.买挖沙桶需要40元,买皮球需要60元,买野餐垫需要100元,假设是否购买相互独立,小芸购买三种物品的概率依次为,,,只不购买野餐垫的概率为,至少购买一件物品的概率为.
（1）求小芸恰好购买两件物品的概率;
（2）求小芸购买物品的总金额X的分布列和数学期望.
19．某大型公司招聘新员工,应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试,只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节,已知2023年共有1000人参加该公司的笔试,笔试成绩.
(1)从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人,求这4人中至少有一人进入面试的概率;
(2)甲 乙 丙三名应聘人员进入面试环节,且他们通过面试的概率分别为,,.设这三名应聘人员中通过面试的人数为Y,求随机变量Y的分布列和数学期望.
参考数据：若,
则,,,
20．如图,小华和小明两个小伙伴在一起做游戏,他们通过划拳剪刀,石头,布比赛决胜谁首先登上第3个台阶,他们规定从平地开始,每次划拳赢的一方登上一级台阶,输的一方原地不动,平局时两个人都上一级台阶,如果一方连续两次赢,那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励,除非已经登上第3个台阶,当有任何一方登上第3个台阶时,游戏结束,记此时两个小伙伴划拳的次数为X.
（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率;
（2）求X的分布列和数学期望.
参考答案
1．答案：D
解析：由,得,
所以.
故选：D.
2．答案：A
解析：,,.故选A.
3．答案：D
解析：由题意,袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球,
从袋中随机取出一个球,该球为红球的概率为,现从中有放回地摸球8次,
每次摸球的结果不会相互影响,表示做了8次独立重复试验,用Y表示取到红球的个数,
则故：
又因为
根据方差的性质可得：.
故选：D.
4．答案：D
解析：随机变量X服从二项分布，，因为，所以，因为，所以.故选D.
5．答案：D
解析：设从这批种子中任选一粒是一、二、三、四等种子分别是事件，，，，则它们构成样本空间的一个划分.设“从这批种子中任选一粒，播种后所长出的穗含50颗以上麦粒”，则.故选D.
6．答案：A
解析：由题知，设，则，所以离散型随机变量X的概率分布如表所示：
X 0 1 2 3
P a
故，
因为，所以，解得，
所以，
因此.故选A.
7．答案：D
解析：设该校高三年级学生的期中考试数学成绩为Y分，则，令，则，所以成绩落在内的概率为，由，得，所以，故成绩落在内的人数约为.故选D.
8．答案：D
解析：随机变量X的可能取值为1，2，3，4，5，
则，
，
，
，
，
，
.故选D.
9．答案：AD
解析：设“甲同学取出1张红牌”为事件A，“乙同学取出1张红牌”为事件B，则，，则X的可能取值为1，2，3，且，
则，，，
所以，
所以，
，
故选AD.
10．答案：BC
解析：小球从入口落到第③个格子一共跳了7次，其中向左边跳了5次，向右边跳了2次，由题知小球向左或向右落下的概率均为，设小球向右的次数为X，则，小球落到第③个格子的概率为.故选BC.
11．答案：ABD
解析：由题意可知,
事件,互斥,且,
所以,
即,故A正确;
则
,故B正确;
由条件概率公式可知：,故C错误;
,
即,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：ACD
解析：依题意,,A正确;
由,则,
又,
于是,
即,
因此,即,
则,B错误;
由
又,C正确;
,
设,由,
解得,即,
由,解得,即,
所以最大时M的估计值为53,D正确.
故选：ACD.
13．答案：1
解析：由正态分布的性质可知,解得.
故答案为:1.
14．答案：
解析：记该学生打卡第一类、第二类的类别数为，打卡第三类、第四类和第五类的类别数为，因此，随机变量，
则
.
15．答案：
解析：事件AB：甲同学选安全防范服务且五名同学所选项目各不相同,所以其它4名同学排列在其它4个项目,且互不相同,为,
事件B：甲同学选安全防范服务,所以其它4名同学排列在其它4个项目,可以安排在相同项目,为,.
故答案为：.
16．答案：0.865
解析：记事件A为检测结果为合格，事件B为产品为正品，则，，，故由全概率公式可得，所以.
17．答案：（1）16
（2）
解析:（1）设一位顾客获得X元奖券,,50,0,
,
,
所以每位顾客获得奖券金额的期望是(元)
（2）设“该顾客中奖”为事件M,参加项目A,B,C分别记为事件,,,
则,
所以,
即已知葉顾客中奖了,则他参加的是A项目的概率是.
18．答案：（1）
（2）分布列见解析,
解析：（1）由题意,可得,即,解得,
由题意,可得小芸恰好购买两件物品的概率为:
.
（2）X的所有可能取值为0,40,60,100,140,160,200,
,
,
,
,
,
,
,
X的分布列为
X 0 40 60 100 140 160 200
P
.
19．答案：(1)0.499
(2)分布列见解析,
解析：（1）记“至少有一人进入面试”,由已知得,
所以,
则,
即这4人中至少有一人进入面试的概率为0.499.
（2）由题意可得：的可能取值为0,1,2,3,
则：,
,
,
,
可得随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以.
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个,
其中小华赢(或输)包含三种可能情况,他们平局也有三种可能情况,
不妨设事件“第次划拳小华赢”为;事件“第i次划拳小华平”为;事件“第i次划拳小华输”为,
所以.
因为游戏结束时小华在第2个台阶,所以这包含两种可能的情况:
第一种:小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳小华平;
其概率为,
第二种:小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,
其概率为,
所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为.
（2）依题可知X的可能取值为2,3,4,5,
,
,
,
所以X的分布列为:
X 2 3 4 5
P
所以X的数学期望为:.
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设,随机变量的分布列为：
5 8 9
P
则( )
A. B. C. D.
2．一个盒子中装有5个黑球和4个白球,现从中先后无放回的取2个球,记“第一次取得黑球”为事件A,“第二次取得白球”为事件B,则( )
A. B. C. D.
3．已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球,现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球,放回后再进行下一次摸球）,规定每次摸出红球计3分,摸出白球计0分,记随机变量X表示摸球8次后的总分值,则( )
A.8 B. C. D.16
4．已知随机变量X服从二项分布，若，则等于( )
A. B.8 C.12 D.24
5．某批播种用的一等小麦种子中混有的二等种子，的三等种子，的四等种子、播种一、二、三、四等种子后长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子播种后所长出的穗含50颗以上麦粒的概率为( )
A.0.8 B.0.8325 C.0.5325 D.0.4825
6．已知离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且，，若X的数学期望，则( )
A.19 B.16 C. D.
7．正态分布是一种重要的概率分布，它是由法国数学家棣莫弗（De Moivre)于1733年提出的，但由于德国数学家高斯（C.F.Gauss)率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作.，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布.如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态密度曲线与x轴在区间内所围成的图形的面积.某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分为100分，方差为36，，那么成绩落在内的人数约为( )
A.756 B.748 C.782 D.764
8．一台仪器每启动一次都会随机出现一个5位的二进制数（例如：若，，则），其中二进制数A的各数位中，已知，出现0的概率为，出现1的概率为，记，现在仪器启动一次，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．甲、乙两同学玩纸牌游戏（纸牌除颜色不同外，没有其他任何区别），他们手里先各持4张牌，其中甲同学手里有2张黑牌，2张红牌，乙同学手里有3张黑牌，1张红牌，现在两人都各自随机拿出1张牌进行交换，交换后甲、乙两同学手中的红牌分别有X张、Y张，则( )
A. B. C. D.
10．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的.如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每颗钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径小于两颗钉子之间距离的小球，小球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右落下，然后又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到落到底板的一个格子内.现从入口放进一个小球，则( )
A.小球从入口落到第③个格子一共跳了6次
B.小球从入口落到第③个格子一共跳了7次
C.小球落到第③个格子的概率为
D.小球落到第③个格子的概率为
11．设A,B是一次随机试验中的两个事件,且,,,则( )
A.A,B相互独立 B. C. D.
12．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选,其中部分次品芯片会被淘汰,筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”,B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后,该款芯片的某项质量指标服从正态分布,现从中随机抽取M个,这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.取得最大值时,M的估计值为53
三、填空题
13．已知随机变量,若,则实数a的值为________.
14．某中学生准备到各类古遗迹打卡，这些古遗迹可分为文化纪念地、史迹等五类.已知该学生打卡第一类、第二类的概率都是，打卡第三类、第四类和第五类的概率都是，且是否打卡这五类古遗迹相互独立.用随机变量X表示该学生打卡的类别数，则____________.
15．甲、乙、丙、丁、戊五名同学利用寒假参加社区服务,分别从为老年人服务、社会保障服务、优抚对象服务、为残病人服务、安全防范服务等五个服务项目中选择一个报名,记事件A为“五名同学所选项目各不相同”,事件B为“只有甲同学选安全防范服务”,则______________.
16．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”凭借憨态可掬的熊猫形象备受追捧，引来国内外粉丝争相购买，竟出现了“一墩难求”的局面.已知某工厂生产一批冰墩墩，产品合格率为90%.现引进一种设备对产品质量进行检测，但该设备存在缺陷，在产品为次品的前提下用该设备进行检测，检测结果有90%的可能为不合格，但在该产品为正品的前提下，检测结果也有5%的可能为不合格.现从生产的冰墩墩中任取一件并用该设备进行检测，则检测结果为合格的概率是____________.
四、解答题
17．春节临近,为了吸引顾客,我市某大型商超策划了抽奖活动,计划如下:有A,B,C三个抽奖项目,它们之间相互不影响,每个项目每位顾客至多参加一次,项目A中奖的概率是,项目B和C中奖的概率都是.
（1）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A,B,C三个项目,如果A,B,C三个项目全部中奖,顾客将获得100元奖券;如果仅有两个项目中奖,他将获得50元奖券;否则就没有奖券.求每位顾客获得奖券金额的期望;
（2）若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.已知某顾客中奖了,求他参加的是A项目的概率.
18．周末可以去哪里 带着挖沙桶,皮球,滑板车和野餐垫,踩踩沙滩,在草地上跑累了随手拿起野餐垫上的蛋糕往嘴巴里塞,沙滩和野餐没有哪个家庭会拒绝的.小芸正在考虑购买一些物品,和父母一起在本周末去离家不远的度假村游玩.买挖沙桶需要40元,买皮球需要60元,买野餐垫需要100元,假设是否购买相互独立,小芸购买三种物品的概率依次为,,,只不购买野餐垫的概率为,至少购买一件物品的概率为.
（1）求小芸恰好购买两件物品的概率;
（2）求小芸购买物品的总金额X的分布列和数学期望.
19．某大型公司招聘新员工,应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试,只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节,已知2023年共有1000人参加该公司的笔试,笔试成绩.
(1)从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人,求这4人中至少有一人进入面试的概率;
(2)甲 乙 丙三名应聘人员进入面试环节,且他们通过面试的概率分别为,,.设这三名应聘人员中通过面试的人数为Y,求随机变量Y的分布列和数学期望.
参考数据：若,
则,,,
20．如图,小华和小明两个小伙伴在一起做游戏,他们通过划拳剪刀,石头,布比赛决胜谁首先登上第3个台阶,他们规定从平地开始,每次划拳赢的一方登上一级台阶,输的一方原地不动,平局时两个人都上一级台阶,如果一方连续两次赢,那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励,除非已经登上第3个台阶,当有任何一方登上第3个台阶时,游戏结束,记此时两个小伙伴划拳的次数为X.
（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率;
（2）求X的分布列和数学期望.
参考答案
1．答案：D
解析：由,得,
所以.
故选：D.
2．答案：A
解析：,,.故选A.
3．答案：D
解析：由题意,袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球,
从袋中随机取出一个球,该球为红球的概率为,现从中有放回地摸球8次,
每次摸球的结果不会相互影响,表示做了8次独立重复试验,用Y表示取到红球的个数,
则故：
又因为
根据方差的性质可得：.
故选：D.
4．答案：D
解析：随机变量X服从二项分布，，因为，所以，因为，所以.故选D.
5．答案：D
解析：设从这批种子中任选一粒是一、二、三、四等种子分别是事件，，，，则它们构成样本空间的一个划分.设“从这批种子中任选一粒，播种后所长出的穗含50颗以上麦粒”，则.故选D.
6．答案：A
解析：由题知，设，则，所以离散型随机变量X的概率分布如表所示：
X 0 1 2 3
P a
故，
因为，所以，解得，
所以，
因此.故选A.
7．答案：D
解析：设该校高三年级学生的期中考试数学成绩为Y分，则，令，则，所以成绩落在内的概率为，由，得，所以，故成绩落在内的人数约为.故选D.
8．答案：D
解析：随机变量X的可能取值为1，2，3，4，5，
则，
，
，
，
，
，
.故选D.
9．答案：AD
解析：设“甲同学取出1张红牌”为事件A，“乙同学取出1张红牌”为事件B，则，，则X的可能取值为1，2，3，且，
则，，，
所以，
所以，
，
故选AD.
10．答案：BC
解析：小球从入口落到第③个格子一共跳了7次，其中向左边跳了5次，向右边跳了2次，由题知小球向左或向右落下的概率均为，设小球向右的次数为X，则，小球落到第③个格子的概率为.故选BC.
11．答案：ABD
解析：由题意可知,
事件,互斥,且,
所以,
即,故A正确;
则
,故B正确;
由条件概率公式可知：,故C错误;
,
即,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：ACD
解析：依题意,,A正确;
由,则,
又,
于是,
即,
因此,即,
则,B错误;
由
又,C正确;
,
设,由,
解得,即,
由,解得,即,
所以最大时M的估计值为53,D正确.
故选：ACD.
13．答案：1
解析：由正态分布的性质可知,解得.
故答案为:1.
14．答案：
解析：记该学生打卡第一类、第二类的类别数为，打卡第三类、第四类和第五类的类别数为，因此，随机变量，
则
.
15．答案：
解析：事件AB：甲同学选安全防范服务且五名同学所选项目各不相同,所以其它4名同学排列在其它4个项目,且互不相同,为,
事件B：甲同学选安全防范服务,所以其它4名同学排列在其它4个项目,可以安排在相同项目,为,.
故答案为：.
16．答案：0.865
解析：记事件A为检测结果为合格，事件B为产品为正品，则，，，故由全概率公式可得，所以.
17．答案：（1）16
（2）
解析:（1）设一位顾客获得X元奖券,,50,0,
,
,
所以每位顾客获得奖券金额的期望是(元)
（2）设“该顾客中奖”为事件M,参加项目A,B,C分别记为事件,,,
则,
所以,
即已知葉顾客中奖了,则他参加的是A项目的概率是.
18．答案：（1）
（2）分布列见解析,
解析：（1）由题意,可得,即,解得,
由题意,可得小芸恰好购买两件物品的概率为:
.
（2）X的所有可能取值为0,40,60,100,140,160,200,
,
,
,
,
,
,
,
X的分布列为
X 0 40 60 100 140 160 200
P
.
19．答案：(1)0.499
(2)分布列见解析,
解析：（1）记“至少有一人进入面试”,由已知得,
所以,
则,
即这4人中至少有一人进入面试的概率为0.499.
（2）由题意可得：的可能取值为0,1,2,3,
则：,
,
,
,
可得随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以.
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个,
其中小华赢(或输)包含三种可能情况,他们平局也有三种可能情况,
不妨设事件“第次划拳小华赢”为;事件“第i次划拳小华平”为;事件“第i次划拳小华输”为,
所以.
因为游戏结束时小华在第2个台阶,所以这包含两种可能的情况:
第一种:小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳小华平;
其概率为,
第二种:小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,
其概率为,
所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为.
（2）依题可知X的可能取值为2,3,4,5,
,
,
,
所以X的分布列为:
X 2 3 4 5
P
所以X的数学期望为:.