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备战2024年北京市中考数学模拟训练试卷（解析版）
本试卷满分120分，试题共28题，选择8道、填空8道、解答12道．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上.写在本试卷上无效.
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.写在本试卷上无效.
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．第24届北京冬季奥运会总建筑面积约为平方米，数字用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示方法：，，为整数，进行表示即可．确定，的值，即可．
【详解】解：；
故选：B．
2．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
3．下列为某班级研究性学习小组学员出勤次数如表所示：
出勤次数 4 5 6 7 8
学员人数 2 6 5 4 3
研究性学习小组学员出勤次数的众数、中位数分别是（ ）
A．5，6 B．5，5 C．6，5 D．8，6
【答案】A
【分析】根据众数的定义和中位数的定义，对表格进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵根据表格可得：5出现的次数最多，
∴研究性学习小组学员出勤次数的众数是5，
∵研究性学习小组共有学员为：（人），
∴将出勤次数按从小到大进行排列后，第10个数和第11个数的平均数即为中位数，
∴中位数为：，
综合可得：研究性学习小组学员出勤次数的众数、中位数分别是5，6．
故选：A．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
不等式组的解集为．
故选：B．
5．函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案．
【详解】解：函数的图像经过点，
选项B、选项D不符合题意；
由A、C选项可知：，
反比例函数的图像在第一、三象限，
故选项A符合题意，选项C不符合题意；
故选：A．
6．如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 、，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出 ，再根据圆心角、弧、弦的关系得到 ，然后根据圆周角定理得到 的度数；
【详解】连接 、，如图，
故选：D
7．如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，
与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A. B. 7 C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
8．如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，
连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，
连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
解：过点P作，垂足为G、H，
由折叠得：是正方形，，
，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分，请把答案直接填写在横线上
9．因式分解：= ．
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可．
【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
10．一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为___________
【答案】6
【分析】根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答．
【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为．
∵袋子中有4个黑球，
∴袋子中共有10个球，
∴白球有6个．
故答案为：6．
11．分式方程的解是 ．
【答案】
【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为．
故答案为：.
12． 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
13． 2023年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，
1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
【答案】人
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
14．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，
经过______分钟时，当两仓库快递件数相同．
【答案】20
【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
15．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，
则当取最大值时，点A的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，
则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
16．如图，正方形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，边BC的中点F在y轴上，
若反比例函数的图象恰好经过CD的中点E，则OA的长为______．
解：过E作轴于H，
设，，
过点B作y轴的平行线交x轴于点N，作于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴．
∵点F与点E分别是BC，CD的中点，
∴，
∴，
∴OF=CH．
∵点F是BC的中点，，
∴，，
同理，
则，，，
故，
则点，
将点E的坐标代入，
得，而，
解得：，，，
故答案为：．
三、解答题:本大题有12个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题5分）计算：．
解：
；
18．（本题5分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为0，1．
19．（本题5分）先化简，再求值：，其中
【答案】 ，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
20．（本题5分）如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．
(1)若，试说明；
(2)在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)，详见解析
【分析】（1）根据，得到，，由证明全等即可．
（2）由全等的性质得到，由证明，即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）
证明：连接、，
由（1）可知
，
在和中
．
21．（本题5分） 我市某学校开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．
为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查
（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，
请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
【答案】（1）60；（2）见详解；（3）200人；（4）．
【分析】（1）利用园艺的人数除以百分比，即可得到答案；
（2）先求出编织的人数，再补全条形图即可；
（3）利用总人数乘以厨艺所占的百分比，即可得到答案；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为：
（人）；
故答案为：60；
（2）选择编织的人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为：
（人）；
（4）根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A，B，C，D表示，则
列表如下：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果，
∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为：；
22.（本题5分）为落实“双减”政策，某校让学生每天体育锻炼1小时，
同时购买了甲、乙两种不同的足球．已知购买甲种足球共花费2500元，购买乙种足球共花费2000元，
购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，
且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花30元．
求两种足球的单价；
为进一步推进课外活动，学校再次购买甲、乙两种足球共50个，
若学校此次购买两种足球总费用不超过3000元，则学校至多购买乙种足球多少个？
【答案】(1)甲种足球单价为50元，乙种足球单价为80元
(2)16个
【分析】（1）设甲种足球单价为x元，则乙种足球单价为元，
由题意可得列出关于x的分式方程，进行求解即可；
（2）设至多购买乙种足球a个，根据题意列出关于a的一元一次不等式，进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲种足球单价为x元，则乙种足球单价为元，由题意可得：
解得，
经检验是原方程的解，
∴（元），
答：甲种足球单价为50元，乙种足球单价为80元．
（2）设至多购买乙种足球a个，由题意得：
∴
解得：
∵a为整数，
∴a最大值为16，
答：最多购买乙种足球16个．
23．（本题6分） 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，
甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示．
(1)两城相距______千米；
(2)求出乙车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系式；
(3)求甲乙两车相遇时甲车行驶的时间以及此时距离A城的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数图象分析即可求解；
（2）设直线乙的函数解析式为，待定系数法求解析式即可求解；
（3）联立两直线，求得交点坐标即可求解．
【详解】（1）解：根据函数图象可知，当时，，可得两城相距千米，
故答案为：．
（2）设直线乙的函数解析式为，
直线过点，点
，
解得，
即直线乙的函数解析式为
（3）由题可知，直线甲的函数解析式为
所以：，
解得
那么，甲乙两车相遇时甲车行驶的时间是2.5小时，此时距离A城的距离为150km．
24.（本题6分）如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．
(1)求证：直线HG是的切线；
(2)若，求CG的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得，再利用平行线的性质即可证明；
（2）先通过平行线的性质得出，设，再通过解直角三角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC，BG的长度，即可求解．
【详解】（1）连接OD，
，
，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
直线HG是的切线；
（2）由（1）得，
∴，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
解得，
∴，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
，
，即，
，
．
25.（本题6分）2022年11月29日，“神舟十五号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．2023年2月9日神舟十五号航天员进行了出舱活动，为了确保任务的圆满完成，航天员借助机械臂进行舱外作业．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，．
（1）求机械臂端点C到工作台的距离的长（结果精确到）；
（2）求的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，）
【答案】（1）机械臂端点C到工作台的距离的长约为；
（2）的长约为
【解析】
【分析】（1）过点A作，过点B作，，垂足为E、F、H，在中，求得，在中，求得，最后求得的长即可；
（2）在中，求得的长，在中，求得的长，最后求得的长．
【小问1详解】
如图，过点A作，过点B作，，垂足为E、F、H，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，
，
在矩形中，
四边形是矩形
机械臂端点到工作台的距离的长约为．
【小问2详解】
在中，，
在中，
在矩形和矩形中，
的长约为．
26.（本题6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．
(1)求的值；
(2)当为何值时，的值最大 最大值是多少
【答案】(1)，；(2)当时，取得最大值，最大值为
【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得；
（2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把点代入，
∴，
解得：；
把点代入，解得；
（2）∵点横坐标大于点的横坐标，
∴点在点的右侧，
如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为．
27.（本题7分）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离x/
竖直高度y/
(1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________；
②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)见解析；(2)①；；②；(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为
【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；
②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
28．约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．
(1)如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2)如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的⊙恰好经过点．
①求证：直线与相切；
②若的直径为，求线段的长；
(3)已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
(3)或或
【分析】（1）根据中线的定义可设，即，再由，可得，，即有，结合，可得，问题得证；
（2）①连接，根据，可得，根据为的直径，可得，根据，可得，即有，可得，问题得证；②由题意可知，，即有，，可得，即有，进而可得，在中，有，即有，解方程即可求解；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，利用相似可得，即，根据，可得，此时面积可求；当时，过A点作于点，同理利用相似可得，进而可得，根据，可得，，则有，利用，可得，求出，进而可得，面积可求，问题随之得解．
【详解】（1）如图，
∵为的中线，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴；
∴为关于边的“华益美三角”；
（2）①证明：连接，如图，
由题意可知，
∴，
又∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
②∵由题意可知，，
∴，，
∴，
∵的直径为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：（负值舍去）；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，如图，
∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当时，过A点作于点，如图，
∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
根据还有：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：的面积为或或．
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本试卷满分120分，试题共28题，选择8道、填空8道、解答12道．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上.写在本试卷上无效.
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.写在本试卷上无效.
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．第24届北京冬季奥运会总建筑面积约为平方米，数字用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
2．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列为某班级研究性学习小组学员出勤次数如表所示：
出勤次数 4 5 6 7 8
学员人数 2 6 5 4 3
研究性学习小组学员出勤次数的众数、中位数分别是（ ）
A．5，6 B．5，5 C．6，5 D．8，6
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
6．如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7． 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，
与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A. B. 7 C. D. 8
8． 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，
连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，
连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分，请把答案直接填写在横线上
9．因式分解：= ．
10．一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为___________
11．分式方程的解是 ．
12． 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
13． 2023年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，
1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
14．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，
经过______分钟时，当两仓库快递件数相同．
15．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，
则当取最大值时，点A的坐标为 ．
16．如图，正方形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，边BC的中点F在y轴上，
若反比例函数的图象恰好经过CD的中点E，则OA的长为______．
解答题:本大题有12个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（本题5分）计算：．
（本题5分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
（本题5分）先化简，再求值：，其中
20．（本题5分）如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．
(1)若，试说明；
(2)在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
21．（本题5分） 我市某学校开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．
为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查
（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，
请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
22.（本题5分）为落实“双减”政策，某校让学生每天体育锻炼1小时，
同时购买了甲、乙两种不同的足球．已知购买甲种足球共花费2500元，购买乙种足球共花费2000元，
购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，
且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花30元．
求两种足球的单价；
为进一步推进课外活动，学校再次购买甲、乙两种足球共50个，
若学校此次购买两种足球总费用不超过3000元，则学校至多购买乙种足球多少个？
23．（本题6分） 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，
甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示．
(1)两城相距______千米；
(2)求出乙车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系式；
(3)求甲乙两车相遇时甲车行驶的时间以及此时距离A城的距离．
（本题6分）如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，
过点D作于点G，交BA的延长线于点H．
(1)求证：直线HG是的切线；
(2)若，求CG的长．
（本题6分）2022年11月29日，“神舟十五号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．
2023年2月9日神舟十五号航天员进行了出舱活动，为了确保任务的圆满完成，
航天员借助机械臂进行舱外作业．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，
是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，．
（1）求机械臂端点C到工作台的距离的长（结果精确到）；
（2）求的长（结果精确到0.1m）．
（参考数据：，，）
（本题6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．
将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，、
点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．
(1)求的值；
(2)当为何值时，的值最大 最大值是多少
（本题7分）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，
成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．
如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，
将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．
测得如下数据：
水平距离x/
竖直高度y/
(1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，
当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________；
②求满足条件的抛物线解析式；
技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，
那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，
以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．
现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．
请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，
我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．
例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，
那么称为关于边的“华益美三角”．
如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2) 如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，
以为直径的⊙恰好经过点．
① 求证：直线与相切；
② 若的直径为，求线段的长；
(3) 已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
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