课题：指数函数及其性质（1）
精讲部分
学习目标展示
（1）理解指数函数的概念（2）掌握指数函数的图象（3）掌握指数函数当底数变化时，函数图象的变化规律（4）会求指数形式的函数的定义域21教育网
衔接性知识
分数指数幂如何定义的？
2.比较函数与在形式上的不同？
基础知识工具箱
要点
定义
符号
指数函数
一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R
且
指数函数的图象
指数函数的图象特征
向轴正负方向无限延伸，函数图象都在轴上方，函数图象都过定点（0，1）
自左向右，图象逐渐上升
自左向右，图象逐渐下降
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1
底不同的两个图象的关系
（1）与且的图象关于轴对称
几个不同的指数函数的图象规律：
在第一象限内，按逆时针方向，底数从少到大排列，即
典例精讲剖析
例1.下列函数中，哪些是指数函数？
(1)；(2)；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；
(7)；（8）
例2．求列函数的定义域：
（1） (2) （3）
例3.（1）指数函数的图象经过点，求，的值；
（2）若是指数函数，求实数的值.
例4.（1）下图分别是函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，a、b、c、d分别是下列四数：、、、中的一个，则相应的a、b、c、d应是下列哪一组 ( )
A.，，， B.，，， C.，，， D.，，，
（2）无论a取何值(a>0且a≠1)，函数的图象恒过定点 ．
精练部分
A类试题（普通班用）
1. 在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与指数函数g(x)＝ax的图象可能是( )
2.指数函数的图象过点，则________.
3.函数的图象过定点，
则 ,
4. 如果函数的定义域为(0，＋∞)那么a的取值范围是( )
A． B． C． D．
5. 当时，指数函数的图象在指数函数的图象的上方，求实数的取值范围
B类试题（尖子班用）
1. 在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与指数函数g(x)＝ax的图象可能是( )
2．函数y＝a|x|(0
3. 如果函数的定义域为(0，＋∞)那么a的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．指数函数的图象过点，则________.
5．函数的图象过定点，
则 ,
6．函数的定义域是 （用区间表示）
7．已知f(x)＝(ax－a－x)，g(x)＝(ax＋a－x)，
求证：[f(x)]2＋[g(x)]2＝g(2x)．
8．当时，指数函数的图象在指数函数的图象的上方，求实数的取值范围
9．已知，，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．试问在哪个区间上，的值小于？哪个区间上，的值大于?21世纪教育网版权所有
10．已知函数①作出其图象；②试由图象指出的其单调区间与有最大值．
课题：指数函数及其性质（1）
精讲部分
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（1）理解指数函数的概念（2）掌握指数函数的图象（3）掌握指数函数当底数变化时，函数图象的变化规律（4）会求指数形式的函数的定义域21cnjy.com
衔接性知识
分数指数幂如何定义的？
答：，，（1）
（2）无意义
2.比较函数与在形式上的不同？
答：函数的指数为定值2，而底数是自变量；函数的底数是2，而指数是自变量.
基础知识工具箱
要点
定义
符号
指数函数
一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R
且
指数函数的图象
指数函数的图象特征
向轴正负方向无限延伸，函数图象都在轴上方，函数图象都过定点（0，1）
自左向右，图象逐渐上升
自左向右，图象逐渐下降
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1
底不同的两个图象的关系
（1）与且的图象关于轴对称
几个不同的指数函数的图象规律：
在第一象限内，按逆时针方向，底数从少到大排列，即
典例精讲剖析
例1.下列函数中，哪些是指数函数？
(1)；(2)；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；
(7)；（8）
[解析] (1)、(5)、(8)为指数函数；(2)中底数x不是常数，而4不是变数；(3)是－1与指数函数4x的乘积；(4)中底数－4<0，∴不是指数函数；(6)中指数不是自变量x，而是x的函数；(7)中底数x不是常数．它们都不符合指数函数的定义21·cn·jy·com
例2．求列函数的定义域：
（1） (2) （3）
解：（1）使函数有意义，得，，所以的定义域为；
（2）使函数有意义，得，所以的定义域为；
（3）使函数有意义，得，，由的图象，可知，，所以的定义域为.
例3.（1）指数函数的图象经过点，求，的值；
（2）若是指数函数，求实数的值.
解：（1）设且，则
指数函数的图象经过点，，即，所以
，
（2）由指数函数的定义，得
例4.（1）下图分别是函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，a、b、c、d分别是下列四数：、、、中的一个，则相应的a、b、c、d应是下列哪一组 ( )
A.，，， B.，，， C.，，， D.，，，
（2）无论a取何值(a>0且a≠1)，函数的图象恒过定点 ．
解：（1）法一、指数函数y＝ax的图象从第一象限看，逆时针方向底数a依次从小变大，故选C.
解法二：直线x＝1与函数的图象相交，
从上到下依次为c>d>a>b，而>>>，故选C.
（2）由指函数y＝ax(a>0且a≠1)过定点(0,1)知，
x＋3＝0时，.
∴此函数图象过定点(－3,3)．
精练部分
A类试题（普通班用）
1. 在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与指数函数g(x)＝ax的图象可能是( )
[答案] B
[解析] 由指数函数的定义知a>0，故f(x)＝ax的图象经过一、三象限，∴A、D不正确．若g(x)＝ax为增函数，则a>1，与y＝ax的斜率小于1矛盾，故C不正确．B中02.指数函数的图象过点，则________.
[答案] 16
[解析]设且，∵图象过点，∴，∴，
∴
3.函数的图象过定点，
则 ,
[解析] 令，得，所以当时，，所以，
，所以
4. 如果函数的定义域为(0，＋∞)那么a的取值范围是( )
A． B． C． D．
[答案] C
[解析] ，因此，∴，又∵及指数函数的图象，∴，故选C.
5. 当时，指数函数的图象在指数函数的图象的上方，求实数的取值范围
[解析] 由指数函数的图象的变化规律，得
且且
故实数的取值范围为且且
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1. 在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与指数函数g(x)＝ax的图象可能是( )
[答案] B
[解析] 由指数函数的定义知a>0，故f(x)＝ax的图象经过一、三象限，∴A、D不正确．若g(x)＝ax为增函数，则a>1，与y＝ax的斜率小于1矛盾，故C不正确．B中02．函数y＝a|x|(0[答案] C
[解析] y＝
∵0[点评] 可取a＝画图判断．
3. 如果函数的定义域为(0，＋∞)那么a的取值范围是( )
A． B． C． D．
[答案] C
[解析] ，因此，∴，又∵及指数函数的图象，∴，故选C.
4．指数函数的图象过点，则________.
[答案] 16
[解析]设且，∵图象过点，∴，∴，
∴
5．函数的图象过定点，
则 ,
[解析] 令，得，所以当时，，所以，
，所以
6．函数的定义域是 （用区间表示）
[解析] 由题意得：且所以的定义域为.
7．已知f(x)＝(ax－a－x)，g(x)＝(ax＋a－x)，
求证：[f(x)]2＋[g(x)]2＝g(2x)．
[解析] f 2(x)＋g2(x)＝(ax－a－x)2＋(ax＋a－x)2＝(2a2x＋2a－2x)＝(a2x＋a－2x)＝g(2x)
所以 [f(x)]2＋[g(x)]2＝g(2x)
8．当时，指数函数的图象在指数函数的图象的上方，求实数的取值范围
[解析] 由指数函数的图象的变化规律，得
且且
故实数的取值范围为且且
9．已知，，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．试问在哪个区间上，的值小于？哪个区间上，的值大于?
[解析] 在同一坐标系中，画出函数与的图象如图所示，两函数图象的交点为和，
由图象可知，
当或时，，
当时，．
10．已知函数①作出其图象；②试由图象指出的其单调区间与有最大值．
[解析] ①
②由图象可知，的增区间(－∞，－2]；减区间[－2，＋∞)
的最大值
课题：2.1.2指数函数及其性质（2）
精讲部分
学习目标展示
（1）掌握指数函数的图象及性质（2）掌握指数函数的性质比较大小（3）掌握指数形式的函数定义域、值域的求法21cnjy.com
衔接性知识
请画出指数函数且的图象并，说明这些图象过哪个定点。
①当时，；当时，；
②当时，；当时，.
基础知识工具箱
将指数函数的图象和性质
函数名称
指数函数
解析式
且
定义域
值域
，即
图象
性质
奇偶性
指数函数是非奇非偶函数
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值分布
典例精讲剖析
例1. 比较大小：（1）与 （2）与 （3）与
（4）、与 （5）、与
例2．求下列式中的实数的值：
（1） （2）
例3．求下列函数的定义域和值域：
（1） （2） （3）
例4. 已知f(x)＝＋a是奇函数，求a的值及函数值域．
（选讲）例5．已知方程有两个实数解，试求实数的取值范围．
[错解] 令，则原方程可化为※，
要使原方程有两个实数解，则，解得
所以实数的取值范围为.
[辨析] 换元后，原方程有两个实数解，则关于“新元”的方程※应有两个正数解，而，只能保证方程※有两个实数解，不能保证原方程有两个实数解．事实上，当方程※有两个负根时，原方程无解．21世纪教育网版权所有
[正解]
精练部分
A类试题（普通班用）
1. 已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
2．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是( )
A． B．y＝ C．y＝ D．
3．已知且，且，则实数的取值范围是_______
4．函数且，在x∈[1,2]时的最大值比最小值大，求实数的值
5．已知函数的图象经过点，其中且.
(1)求的值；(2)求函数的值域．
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1. 已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
2．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是( )
A． B．y＝ C．y＝ D．
3．已知实数a，b满足()a＝()b，下列五个关系式：①0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知且，且，则实数的取值范围是_______
5．如果函数在实数集上是减函数，那么实数的取值范围是_______
6．函数且，在x∈[1,2]时的最大值比最小值大，则实数的值为________．
7．若函数且，的定义域和值域都是[0,2]，求实数的值．
8．已知函数的图象经过点，其中且.
(1)求的值；(2)求函数的值域．
9．若函数y＝为奇函数．
(1)求a的值；(2)求函数的定义域．
10．已知，求函数的值域．
课题：2.1.2指数函数及其性质（2）
精讲部分
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（1）掌握指数函数的图象及性质（2）掌握指数函数的性质比较大小（3）掌握指数形式的函数定义域、值域的求法21cnjy.com
衔接性知识
请画出指数函数且的图象并，说明这些图象过哪个定点。
①当时，；当时，；
②当时，；当时，.
基础知识工具箱
指数函数的图象和性质
函数名称
指数函数
解析式
且
定义域
值域
，即
图象
性质
奇偶性
指数函数是非奇非偶函数
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值分布
典例精讲剖析
例1. 比较大小：（1）与 （2）与 （3）与
（4）、与 （5）、与
解：（1），在是增函数，，
（2），在是减函数
，
（3），，
（4），，，最小
，
（5），而、，
又，所以
例2．求下列式中的实数的值：
（1） （2）
解：（2）不等式可化为：，
，，即，故实数的范围为
（2）当时，，，故实数的范围为
当时，，，故实数的范围为
例3．求下列函数的定义域和值域：
（1） （2） （3）
解：（1）使解析式有意义，得， ∴定义域为
设，则， 又，
是的增函数且，即且
所以函数的值域为
（2）定义域为为
设，则，，，
是的减函数，
所以函数的值域为
(3) 定义域为为
，设，则
，，所以时，
故的值域为．
例4. 已知f(x)＝＋a是奇函数，求a的值及函数值域．
[分析] 本题是函数奇偶性与指数函数的结合，利用f(－x)＝－f(x)恒成立，可求得a值．其值域可借助基本函数值域求得．www.21-cn-jy.com
[解析] ①∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的每一个x都成立．
即－[＋a]＝＋a，∴2a＝－－＝1，∴a＝.
②∵2x－1≠0∴x≠0∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
∵u＝2x－1>－1且u≠0，∴<－1或>0，∴＋<－或＋>
∴f(x)的值域为(－∞，－)∪(，＋∞)
（选讲）例5．已知方程有两个实数解，试求实数的取值范围．
[错解] 令，则原方程可化为※，
要使原方程有两个实数解，则，解得
所以实数的取值范围为.
[辨析] 换元后，原方程有两个实数解，则关于“新元”的方程※应有两个正数解，而，只能保证方程※有两个实数解，不能保证原方程有两个实数解．事实上，当方程※有两个负根时，原方程无解．2·1·c·n·j·y
[正解]法1． 令，则.原方程有两个实数解，即方程有两个正实数解，则
，解得
所以实数的取值范围为
法2．由已知，得，令，则
，，，
在上递增，在上递减,
由方程有两个实数解，可知
与在时有两个交点或者相切（如图）
而，所以，即所以实数的取值范围为
精练部分
A类试题（普通班用）
1. 已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
[答案]D
[解析]考察函数y＝0.8x，∴0.80.9＜0.80.7＜1.又1.20.8＞1，∴c＞a＞b.
2．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是( )
A． B．y＝ C．y＝ D．
[答案] D
[解析] 在A中，∵≠0，∴，所以函数的值域是{y|y>0，且y≠1}．
在B中，∵2x－1≥0，∴≥0，所以函数y＝的值域是[0，＋∞)．
在C中，∵2x＋1>1，∴>1，所以函数y＝的值域是(1，＋∞)．
在D中，由于函数的定义域是R，也就是自变量x可以取一切实数，所以2－x也就可以取一切实数，所以取一切正实数，即函数的值域为(0，＋∞)，故选D.21教育网
3．已知且，且，则实数的取值范围是_______
4．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，在x∈[1,2]时的最大值比最小值大，求实数a的值
[解析] 注意进行分类讨论
(1)当a>1时，f(x)＝ax为增函数，此时f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(1)＝a，
∴a2－a＝，解得a＝>1.
(2)当0∴a－a2＝，解得a＝∈(0,1)
综上所述：a＝或.
5．已知函数的图象经过点，其中且.
(1)求的值；(2)求函数的值域．
解析：(1) 函数图象过点，所以，∴，
(2) ，由，得，∴
∴函数的值域为
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1. 已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
[答案]D
[解析]考察函数y＝0.8x，∴0.80.9＜0.80.7＜1.又1.20.8＞1，∴c＞a＞b.
2．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是( )
A． B．y＝ C．y＝ D．
[答案] D
[解析] 在A中，∵≠0，∴，所以函数的值域是{y|y>0，且y≠1}．
在B中，∵2x－1≥0，∴≥0，所以函数y＝的值域是[0，＋∞)．
在C中，∵2x＋1>1，∴>1，所以函数y＝的值域是(1，＋∞)．
在D中，由于函数的定义域是R，也就是自变量x可以取一切实数，所以2－x也就可以取一切实数，所以取一切正实数，即函数的值域为(0，＋∞)，故选D.21世纪教育网版权所有
3．已知实数a，b满足()a＝()b，下列五个关系式：①0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] 作y＝()x，y＝()x图象，作y＝t与两曲线相交，
比较横坐标大小．
当01时，可得a故①②⑤有可能成立，而③④不可能成立，故选B.
4．已知且，且，则实数的取值范围是_______
解析： ∵，，，∴实数的取值范围是
5．如果函数在实数集上是减函数，那么实数的取值范围是_______
解析：根据指数函数的概念及性质求解．
由已知得，实数应满足，解得，所以实数的取值范围是
6．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，在x∈[1,2]时的最大值比最小值大，则a的值为________．
[答案] 或
[解析] 注意进行分类讨论
(1)当a>1时，f(x)＝ax为增函数，此时f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(1)＝a，
∴a2－a＝，解得a＝>1.
(2)当0∴a－a2＝，解得a＝∈(0,1)
综上所述：a＝或.
7．若函数且，的定义域和值域都是[0,2]，求实数的值．
解析：当时，在[0,2]上递增，
∴，即，∴.又，∴，
当时，在[0,2]上递减，
∴，即，它无解，从而a＝.
8．已知函数的图象经过点，其中且.
(1)求的值；(2)求函数的值域．
解析：(1) 函数图象过点，所以，∴，
(2) ，由，得，∴
∴函数的值域为
9．若函数y＝为奇函数．
(1)求a的值；(2)求函数的定义域．
解：∵函数y＝，∴y＝a－.
（1）由奇函数的定义，可得
即，，即
（2），，即
函数的定义域为
10．已知，求函数的值域．
解：.令，
则.∵，∴.
∴当，即时，取得最大值12；当，即时，取得最小值－24，
即的最大值为12，最小值为－24.∴函数的值域为[－24,12]．
课题：2.1.2指数函数及其性质（3）
精讲部分
学习目标展示
（1）熟练掌握指数函数概念、图象、性质（2）掌握指数型复合函数的单调性；
（3）会解决有关指数函数的综合问题
衔接性知识
判断函数与的单调性并用定义加以证明
2. 判断函数与的单调性并用定义加以证明
3.由来1与2的结论，你可以猜到到更一般的结论吗？
基础知识工具箱
函数，且的单调性结论
当时
，且的单调性与相同
当时
，且的单调性与相反
典例精讲剖析
例1. 已知函数的图象经过点，其中且.
(1)求的值；
(2)求函数的值域．
例2.（1）求函数的单调区间（2）求函数的单调区间
（3）已知，且，讨论函数的单调性
例3. 若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)
例4. 已知函数
（1）判断函数的奇偶性；（2）求的值域；
（3）证明在上是增函数
精练部分
A类试题（普通班用）
1. 在下列关于函数的单调性判断正确的个数是（ ）
①在上为减函数；②在上为增函数；③在上为增函数；④在上是增函数
A．1 B．2 C．3 D．4、
2. 当时，函数是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
3．列函数中，值域为的是( )
A． B． C． D．
4. 对于函数，(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函数的单调性．
5. 设，是R上的偶函数．
(1)求的值；(2)证明在上是增函数；(3)解方程.
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1. 在下列关于函数的单调性判断正确的个数是（ ）
①在上为减函数；②在上为增函数；③在上为增函数；④在上是增函数
A．1 B．2 C．3 D．4、
2. 当时，函数是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
3．列函数中，值域为的是( )
A． B． C． D．
4．函数的单调递减区间是________；单调递增区间是________
5．若,则
6．设函数，若，则的取值范围是
A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
7．对于函数，(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函数的单调性．
8．已知函数.
(1)若，求的单调区间；(2)若有最大值3，求的值．
9．设，是R上的偶函数．
(1)求的值；(2)证明在上是增函数；(3)解方程.
10．已知函数（其中，为常量， ，且）的图象经过点，．(1)求；(2)若不等式在x∈时恒成立，求实数的取值范围．21世纪教育网版权所有
课题：2.1.2指数函数及其性质（3）
精讲部分
学习目标展示
（1）熟练掌握指数函数概念、图象、性质（2）掌握指数型复合函数的单调性；
（3）会解决有关指数函数的综合问题
衔接性知识
判断函数与的单调性并用定义加以证明
2. 判断函数与的单调性并用定义加以证明
3.由来1与2的结论，你可以猜到到更一般的结论吗？
基础知识工具箱
函数，且的单调性结论
当时
的单调性与相同
当时
的单调性与相反
典例精讲剖析
例1. 已知函数的图象经过点，其中且.
(1)求的值；
(2)求函数的值域．
[分析] 由函数的图象经过点知，可求得的值，由的单调性可求的值域．
[解析] (1)∵函数图象过点，∴，则.
(2) ，设，则，得
∵是的减函数，且，所以，即
所以函数的值域为．
例2.（1）求函数的单调区间（2）求函数的单调区间
（3）已知，且，讨论函数的单调性
解：（1），的单调性与相反
而， 在单调递增，在单调递减
所以在单调递减，在单调递增
故的递增区间为，递增区间为
（2），的单调性与相同
而， 在单调递增，在单调递减
所以在单调递增，在单调递减
故的递增区间为，递增区间为
（3），
在单调递增，在单调递减
当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增；
例3. 若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)
[分析] 在R上是增函数，故在(－∞，1]上和(1，＋∞)上都单调增，即和都是增函数，且在(－∞，1]上的最大值不大于在(1，＋∞)上的最小值．21教育网
[解析] 因为f(x)在R上是增函数，故在(－∞，1]上和(1，＋∞)上都单调增，即和都是增函数，且在(－∞，1]上的最大值不大于在(1，＋∞)上的最小值．故结合图象知21cnjy.com
，解得，故选D.
例4. 已知函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求的值域；
（3）证明在上是增函数
解：(1)的定义域为
，
所以是奇函数；
(2)由已知，得
，，，，
所以的值域为
(3)设，
则=
∵，，∴. 又∵，，
∴，即.
函数在上是增函数
精练部分
A类试题（普通班用）
1. 在下列关于函数的单调性判断正确的个数是（ ）
①在上为减函数；②在上为增函数；③在上为增函数；④在上是增函数
A．1 B．2 C．3 D．4、
[答案] B
[解析] ①与的单调性相反，所以在上为增函数，①错误；②与的单调性相同，所以在上为增函数，②正确；③与的单调性相反，所以在在上为增函数，③正确；④与的单调性相同，所以在上是减函数，④错误。选B
2. 当时，函数是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
[答案] A
[解析] 由得，∴此函数定义域为，
又∵，
∴)为奇函数．
3．列函数中，值域为的是( )
A． B． C． D．
[答案] B
[解析] 的值域为{y|y>0且y≠1}，的值域为{y|y≥0}，
的值域为{y|0≤y<1}，故选B.
4. 对于函数，(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函数的单调性．
[解析] (1)设，
∵函数及的定义域是R，
∴函数的定义域是R.
∵，
∴，
又∵，∴函数的值域为．
(2)函数在上是增函数，在上是减函数
，所以的单调性与相反
所以在[3，＋∞)上是减函数，在（－∞，3]上是增函数
5. 设，是R上的偶函数．
(1)求的值；(2)证明在上是增函数；(3)解方程.
[解析] （1）是偶函数，恒成立，即，
整理得对于任意的实数恒成立，
所以，又，所以
（2）由（1）知
任取，且，
，且，，，
即
所以在上是增函数
（3）由，得 ，，
所以，即，方程的根为
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1. 在下列关于函数的单调性判断正确的个数是（ ）
①在上为减函数；②在上为增函数；③在上为增函数；④在上是增函数
A．1 B．2 C．3 D．4、
[答案] B
[解析] ①与的单调性相反，所以在上为增函数，①错误；②与的单调性相同，所以在上为增函数，②正确；③与的单调性相反，所以在在上为增函数，③正确；④与的单调性相同，所以在上是减函数，④错误。选B
2. 当时，函数是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
[答案] A
[解析] 由得，∴此函数定义域为，
又∵，
∴)为奇函数．
3．列函数中，值域为的是( )
A． B． C． D．
[答案] B
[解析] 的值域为{y|y>0且y≠1}，的值域为{y|y≥0}，
的值域为{y|0≤y<1}，故选B.
4．函数的单调递减区间是________；单调递增区间是________
[答案] [1，＋∞)
[解析]法1：，
因此它的减区间为．
法2：与的单调性相反，由的图象可知，在递减，在递增，所以因此它的减区间为
5．若,则
[答案]
[解析]令，得，将其代入，得
6．设函数，若，则的取值范围是
A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[答案] D
[解析] 当时，，，，
当时，，
所以，或，即的取值范围是
7．对于函数，(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函数的单调性．
[解析] (1)设，
∵函数及的定义域是R，
∴函数的定义域是R.
∵，
∴，
又∵，∴函数的值域为．
(2)函数在上是增函数，在上是减函数
，所以的单调性与相反
所以在[3，＋∞)上是减函数，在（－∞，3]上是增函数
8．已知函数.
(1)若，求的单调区间；(2)若有最大值3，求的值．
[解析] （1）当，则
由，得的单调性与的单调性相反
而
在上递增，在上递减
所以在上递增，在上递减
从而的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）设，则
若有最大值3，则的最小值为，
从而有 ， 解得
9．设，是R上的偶函数．
(1)求的值；(2)证明在上是增函数；(3)解方程.
[解析] （1）是偶函数，恒成立，即，
整理得对于任意的实数恒成立，
所以，又，所以
（2）由（1）知
任取，且，
，且，，，
即
所以在上是增函数
（3）由，得 ，，
所以，即，方程的根为
10．已知函数（其中，为常量， ，且）的图象经过点，．(1)求；(2)若不等式在x∈时恒成立，求实数的取值范围．21世纪教育网版权所有
[解析] （1）将，代入，得
，而已知，且，解得，所以
（2）若不等式在x∈时恒成立，则
在x∈时恒成立
所以在x∈即可
在x∈是减函数
当时，取得最小值
所以，即实数的取值范围为
