课题：2.2.1 对数与对数的运算
精讲部分
学习目标展示
（1）理解对数的概念、常用对数及自然对数的概念；会进行对数式与指数式的互化；
（2）掌握对数的运算法则，会进行对数运算；（3）对数的换底公式；
衔接性知识
已知，求实数的值
如果，那么实数的值是多少呢？
基础知识工具箱
要点
定义
符号
对数
特殊对数
常用对数
自然对数
指数式与对数式的互化
对数的性质
对数的运算法则
换底公式
logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0）
变形：（1）（2）（3）
典例精讲剖析
例1.用logax，logay，logaz表示：
(1)loga(xy2)； (2)loga(x)； (3)loga.
例2．计算下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）.
例3．（1）已知lg2 = m，lg3 = n，用m、n表示lg；
（2）设logax = m，logay = n，用m、n表示；
（3）已知lgx = 2lga + 3lgb – 5lgc，求x.
例4．已知log189 = a，18b = 5，求log3645.
精练部分
A类试题（普通班用）
1．下列式子中正确的个数是( )
①loga(b2－c2)＝2logab－2logac ②(loga3)2＝loga32
③loga(bc)＝(logab)·(logac) ④logax2＝2logax
A．0 B．1 C．2 D．3
2. 计算：
(1)2log210＋log20.04 (2) (3)
(4)log8＋2log (5)log6－2log63＋log627 .21世纪教育网版权所有
3. (1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
(2)已知10a＝2,10b＝3，求1002a－b的值
4. 计算：（1）log34·log48·log8m=log416，求m的值.
（2）log89·log2732. （3）（log25+log4125）·.
5. 若25a＝53b＝102c，试求a、b、c之间的关系．
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1. 下列式子中正确的个数是( )
①loga(b2－c2)＝2logab－2logac ②(loga3)2＝loga32
③loga(bc)＝(logab)·(logac) ④logax2＝2logax
A．0 B．1 C．2 D．3
2. 已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为( )
A．a－2 B．5a－2 C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
3. 如果方程lg2x＋(lg2＋lg3)lgx＋lg2·lg3＝0的两根为x1、x2，那么x1·x2的值为( )
A．lg2·lg3 B．lg2＋lg3 C．－6 D.
4. log6[log4(log381)]＝________.
5. 已知lg3＝0.4771，lgx＝－3.5229，则x＝________.
6. 设log89＝a，log35＝b，则lg2＝________.
7. 计算：
(1)2log210＋log20.04 (2) (3)
(4)log8＋2log (5)log6－2log63＋log627 .21教育网
8.(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
(2)已知10a＝2,10b＝3，求1002a－b的值
9. 已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg2＋lgx＋lgy，求的值．
10. 若25a＝53b＝102c，试求a、b、c之间的关系．
课题：2.2.1 对数与对数的运算
精讲部分
学习目标展示
（1）理解对数的概念、常用对数及自然对数的概念；会进行对数式与指数式的互化；
（2）掌握对数的运算法则，会进行对数运算；（3）对数的换底公式；
衔接性知识
已知，求实数的值
解：由已知，得，所以或
如果，那么实数的值是多少呢？
基础知识工具箱
要点
定义
符号
对数
若，则叫做以为底的对数.
底数，真数
特殊对数
常用对数
以10为底的对数叫做常用对数
自然对数
以无理数为底的对数叫做自然对数
指数式与对数式的互化
当，时，
对数的性质
（1）（2）（3）
对数的运算法则
（1）（2）
（3），（其中＞0且≠1，M＞0，N＞0）
换底公式
logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0）
变形：（1）（2）（3）
典例精讲剖析
例1.用logax，logay，logaz表示：
(1)loga(xy2)； (2)loga(x)； (3)loga.
解：(1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay；
(2)loga(x)＝logax＋loga＝logax＋logay；
(3)loga＝loga＝(logax－loga(yz2))＝(logax－logay－2logaz)．
例2．计算下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）
解：（1）方法一：原式=
===.
方法二：原式===.
（2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2
= 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3.
（3）原式＝(lg2)2＋2lg2(1＋lg5)＋(1＋lg5)2＝(lg2＋1＋lg5)2＝22＝4.
【小结】易犯lg52 = (lg5)2的错误.
这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；21教育网
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值. 计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1.
例3．（1）已知lg2 = m，lg3 = n，用m、n表示lg；
（2）设logax = m，logay = n，用m、n表示；
（3）已知lgx = 2lga + 3lgb – 5lgc，求x.
【分析】由已知式与未知式底数相同，实现由已知到未知，只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示，借助对数运算法则即可解答.www.21-cn-jy.com
解：（1）
（2）
（3）由已知得：
，∴.
例4．已知log189 = a，18b = 5，求log3645.
解：方法一：∵log189 = a，18b = 5，∴log185 = b，
于是==.
方法二：∵log189 = a，18b = 5，∴lg9 = alg18，lg5 = blg8，
∴=.
精练部分
A类试题（普通班用）
1．下列式子中正确的个数是( )
①loga(b2－c2)＝2logab－2logac ②(loga3)2＝loga32
③loga(bc)＝(logab)·(logac) ④logax2＝2logax
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] A
2. 计算：
(1)2log210＋log20.04 (2) (3)
(4)log8＋2log (5)log6－2log63＋log627 .21cnjy.com
[解析](1)2log210＋log20.04＝log2(100×0.04)＝log24＝2
(2)＝＝＝1
(3)＝＝＝1－lg3＝lg
(4)log8＋2log＝log2＋log3＝log6＝－1
(5)log6－2log63＋log627＝log6－log69＋log63＝log6(××3)＝log6＝－2.
3. (1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
(2)已知10a＝2,10b＝3，求1002a－b的值
解：(1)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，
则a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12.
(2) ∵10a＝2,10b＝3，∴lg2＝a，lg3＝b.
则1002a－b＝1002lg2－lg3＝100lg＝(102)lg＝(10lg)2＝2＝2·1·c·n·j·y
4. 计算：（1）log34·log48·log8m=log416，求m的值.
（2）log89·log2732. （3）（log25+log4125）·.
解：（1）原方程等价于××=2，即log3m=2，∴m=9.
（2）解法一：原式=·=·=.
解法二：原式=·=·=.
（3）解：原式=（log25+log25）·
=log225·log52=log25·log52=log25·log52=
5. 若25a＝53b＝102c，试求a、b、c之间的关系．
[解析] 设25a＝53b＝102c＝k，则
a＝log2k，b＝log5k，c＝lgk.
∴logk2＝，logk5＝，logk10＝，
又logk2＋logk5＝logk10，∴＋＝.
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1. 下列式子中正确的个数是( )
①loga(b2－c2)＝2logab－2logac ②(loga3)2＝loga32
③loga(bc)＝(logab)·(logac) ④logax2＝2logax
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] A
2. 已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为( )
A．a－2 B．5a－2 C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
[答案] A
[解析] 由log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
3. 如果方程lg2x＋(lg2＋lg3)lgx＋lg2·lg3＝0的两根为x1、x2，那么x1·x2的值为( )
A．lg2·lg3 B．lg2＋lg3 C．－6 D.
[答案] D
[解析] 由题意知lgx1和lgx2是一元二次方程u2＋(lg2＋lg3)u＋lg2·lg3＝0的两根
∴lgx1＋lgx2＝－(lg2＋lg3)，即lg(x1x2)＝lg，∴x1x2＝.
4. log6[log4(log381)]＝________.
[答案] 0
[解析] log6[log4(log381)]＝log6(log44)＝log61＝0
5. 已知lg3＝0.4771，lgx＝－3.5229，则x＝________.
[答案] 0.0003
[解析] ∵lgx＝－3.5229＝－4＋0.4771
＝－4＋lg3＝lg0.0003，∴x＝0.0003.
6. 设log89＝a，log35＝b，则lg2＝________.
[答案]
[解析] 由log89＝a得log23＝a，∴＝，
又∵log35＝＝b，∴×＝ab，∴＝ab，∴lg2＝.
7. 计算：
(1)2log210＋log20.04 (2) (3)
(4)log8＋2log (5)log6－2log63＋log627 .21世纪教育网版权所有
[解析] (1)2log210＋log20.04＝log2(100×0.04)＝log24＝2
(2)＝＝＝1
(3)＝＝＝1－lg3＝lg
(4)log8＋2log＝log2＋log3＝log6＝－1
(5)log6－2log63＋log627＝log6－log69＋log63＝log6(××3)＝log6＝－2.
8.(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
(2)已知10a＝2,10b＝3，求1002a－b的值
解：(1)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，
则a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12.
(2) ∵10a＝2,10b＝3，∴lg2＝a，lg3＝b.
则1002a－b＝1002lg2－lg3＝100lg＝(102)lg＝(10lg)2＝2＝21·cn·jy·com
9. 已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg2＋lgx＋lgy，求的值．
[解析] 由已知条件得即，
整理得∴x－2y＝0，因此＝2.
10. 若25a＝53b＝102c，试求a、b、c之间的关系．
[解析] 设25a＝53b＝102c＝k，则
a＝log2k，b＝log5k，c＝lgk.
∴logk2＝，logk5＝，logk10＝，
又logk2＋logk5＝logk10，∴＋＝.
