课题：2.2.2对数函数及其性质（1）
精讲部分
学习目标展示
（1）理解对数函数的概念（2）掌握对数函数的图象（3）掌握对数函数当底数变化时，函数图象的变化规律（4）会求对数形式的函数的定义域21cnjy.com
衔接性知识
将且转化为对数式
2. 求值
基础知识工具箱
要点
定义
符号
对数函数
一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为
且
注：与且互为反函数
对数函数的图象
对数函数的图象特征
（1）图象都在轴的右边
（1）图象都在轴的右边
（2）函数图象都经过（1，0）点
（2）函数图象都经过（1，0）点
（3）从左往右看，图象逐渐上升
（3）从左往右看，图象逐渐下降 .
（4）图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0.
（4）在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .
注意：当底与真数均大于1或均大于0小于1，则；当底与真数一个大于1另一具大于0小于1，则
底不同的两个图象的关系
（1）与且的图象关于轴对称
几个不同的指数函数的图象规律：
当时，图象是“底大图低”
即
指数函数与对数函数的关系
与且互为反函数，它们的图象关于直线对称
典例精讲剖析
例1.函数的图象恒过定点
例2. 已知是对函数且的反函数，并且的图象经过，求的值
例3. 求下列函数的定义域：
（1） (2) （3）
例4. 求函数的定义域，并画出它的图象.
精练部分
A类试题（普通班用）
1.下列函数是对数函数的是 ( )
A．且 B. 且
C．且 D．且
2. 已知且，函数与的图象只能是 ( )
3. 如下图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a的取值分别为、、、，则相应于C1、C2、C3、C4的a值依次是 21世纪教育网版权所有
4. 已知是对数函数，且的图象过点，求的解析式
5. 求下列函数的定义域：
（1） (2) （3）
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1.下列函数是对数函数的是 ( )
A．且 B. 且
C．且 D．且
2. 已知且，函数与的图象只能是 ( )
3. 函数的定义域为（ ）
A． B. C． D．
4．如下图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a的取值分别为、、、，则相应于C1、C2、C3、C4的a值依次是 21教育网
5．的图象与的图象关于轴对称，则与满足的关系式为________．
6. 函数的定义域为________．
7. 已知函数的图象恒过定点，求的值
8.已知是对数函数，且的图象过点，求的解析式
9. 求下列函数的定义域：
（1） (2) （3）
10. 求函数的定义域，并画出它的图象.
课题：2.2.2对数函数及其性质（1）
精讲部分
学习目标展示
（1）理解对数函数的概念（2）掌握对数函数的图象（3）掌握对数函数当底数变化时，函数图象的变化规律（4）会求对数形式的函数的定义域21教育网
衔接性知识
将且转化为对数式
2. 求值
基础知识工具箱
要点
定义
符号
对数函数
一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为
且
注：与且互为反函数
对数函数的图象
对数函数的图象特征
（1）图象都在轴的右边
（1）图象都在轴的右边
（2）函数图象都经过（1，0）点
（2）函数图象都经过（1，0）点
（3）从左往右看，图象逐渐上升
（3）从左往右看，图象逐渐下降 .
（4）图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0.
（4）在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .
注意：当底与真数均大于1或均大于0小于1，则；当底与真数一个大于1另一具大于0小于1，则
底不同的两个图象的关系
（1）与且的图象关于轴对称
几个不同的指数函数的图象规律：
当时，图象是“底大图低”
即
指数函数与对数函数的关系
与且互为反函数，它们的图象关于直线对称
典例精讲剖析
例1.函数的图象恒过定点
解：令，得
所以当时，，
函数的图象恒过定点
例2. 已知是对函数且的反函数，并且的图象经过，求的值
解：是对函数且的反函数
又的图象经过，
，即，
所以
例3. 求下列函数的定义域：
（1） (2) （3）
解：（1）要使解析式有意义，则，
所以函数的定义域为
（2）要使解析式有意义，则，
所以函数的定义域为
（3）要使解析式有意义，则
，
且
所以函数的定义域为
例4. 求函数的定义域，并画出它的图象.
解：要使解析式有意义，则，
所以函数的定义域为
函数解析式可化为
其图象如图所示（其特征是关于y轴对称）.
精练部分
A类试题（普通班用）
1.下列函数是对数函数的是 ( )
A．且 B. 且
C．且 D．且
[答案] C
[解析] 由对数函数定义知选C.
2. 已知且，函数与的图象只能是 ( )
[答案] B
[解析] 由的定义域为否定A、C，又由B、D中对数函数图象知，因此否定D，故选B.
3. 如下图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a的取值分别为、、、，则相应于C1、C2、C3、C4的a值依次是 21世纪教育网版权所有
[答案] 、、、
[解析] 根据对数函数图象的变化规律“底大图低”，可得相应于C1、C2、C3、C4的a值依次是、、、．21cnjy.com
4. 已知是对数函数，且的图象过点，求的解析式
解：设且，则
的图象过点，，
又，
的解析式为的解析式
5. 求下列函数的定义域：
（1） (2) （3）
解：（1）使解析式有意义，则，
底数，，即
所以函数的定义域为
（2）使解析式有意义，则，
底数，，即
所以函数的定义域为
（3）使解析式有意义，则，即
底数，，即
所以函数的定义域为
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1.下列函数是对数函数的是 ( )
A．且 B. 且
C．且 D．且
[答案] C
[解析] 由对数函数定义知选C.
2. 已知且，函数与的图象只能是 ( )
[答案] B
[解析] 由的定义域为否定A、C，又由B、D中对数函数图象知，因此否定D，故选B.
3. 函数的定义域为（ ）
A． B. C． D．
[答案] D
[解析] 由，得，，故选D.
4．如下图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a的取值分别为、、、，则相应于C1、C2、C3、C4的a值依次是 21·cn·jy·com
[答案] 、、、
[解析] 根据对数函数图象的变化规律“底大图低”，可得相应于C1、C2、C3、C4的a值依次是、、、．www.21-cn-jy.com
5．的图象与的图象关于轴对称，则与满足的关系式为________．
[答案]
6. 函数的定义域为________．
[答案]
[解析] 要使函数有意义，须，所以，函数的定义域为
7. 已知函数的图象恒过定点，求的值
解：由已知可，得的图象恒过定点，
，即，所以
8.已知是对数函数，且的图象过点，求的解析式
解：设且，则
的图象过点，，
又，
的解析式为的解析式
9. 求下列函数的定义域：
（1） (2) （3）
解：（1）使解析式有意义，则，
底数，，即
所以函数的定义域为
（2）使解析式有意义，则，
底数，，即
所以函数的定义域为
（3）使解析式有意义，则，即
底数，，即
所以函数的定义域为
10. 求函数的定义域，并画出它的图象.
解：要使解析式有意义，则，
所以函数的定义域为
函数解析式可化为
其图象如图所示.
课题：2.2.2对数函数及其性质（2）
精讲部分
学习目标展示
（1）掌握对数函数的图象及性质（2）掌握对数函数的性质比较大小（3）掌握对数形式的函数定义域、值域的求法21世纪教育网版权所有
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请画出指数函数且的图象并，说明这些图象过哪个定点。
①当时，；当时，；
②当时，；当时，.
基础知识工具箱
对数函数的图象和性质
函数名称
指数函数
解析式
且
定义域
值域
，
图象
性质
奇偶性
对数函数是非奇非偶函数
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值分布
典例精讲剖析
例1. 比较下列各组数中两个值的大小：
（1），； （2），；
（3），（，）； （4），；
（5），，； （6），，
例2. 解下列不等式：
（1） （2）
例3.若（，），求实数的取值范围.
例4.已知函数，求函数的定义域与值域
精练部分
A类试题（普通班用）
1. 设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则( )
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
2. 已知集合，，则( )
A． B． C． D．
3. 函数定义域为( )
A. B. C． D.
4. 若（，），求实数的取值范围.
5. 已知，求的取值范围
6. 判断函数的奇偶性
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1. 设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则( )
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
2. 已知集合，，则( )
A． B． C． D．
3. 函数定义域为( )
A. B. C． D.
4．函数在在上是减函数，则实数的取值范围是________
5．已知，则的取值范围是________
6.函数，的值域是
7. 若（，），求实数的取值范围.
8.已知函数，求的定义域与值域
9. 判断函数的奇偶性
10. 已知，求函数的最大值与最小值
课题：2.2.2对数函数及其性质（2）
精讲部分
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（1）掌握对数函数的图象及性质（2）掌握对数函数的性质比较大小（3）掌握对数形式的函数定义域、值域的求法21世纪教育网版权所有
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请画出指数函数且的图象并，说明这些图象过哪个定点。
①当时，；当时，；
②当时，；当时，.
基础知识工具箱
对数函数的图象和性质
函数名称
指数函数
解析式
且
定义域
值域
，
图象
性质
奇偶性
对数函数是非奇非偶函数
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值分布
典例精讲剖析
例1. 比较下列各组数中两个值的大小：
（1），； （2），；
（3），（，）； （4），；
（5），，； （6），，
解：（1）对数函数在上是增函数，且.
于是.
（2）对数函数在上是减函数，且，于是.
（3）当时，对数函数在上是增函数，于是；
当时，对数函数在上是减函数，于是.
（4）因为函数和函数都是在上的增函数，所以，，所以.
（5），，，
，
（6），，
例2. 解下列不等式：
（1） （2）
解：（1）原不等式可化为
所以，原不等式的解集为
（2）原不等式可化为
所以，原不等式的解集为
例3.若（，），求实数的取值范围.
解：，
当时，；
当时， .
从而或，即实数的取值范围
例4.已知函数，求函数的定义域与值域
解：由已知，得
或或
所以函数的定义域为
设，则
，当时，取得最大值，
即，，，所以函数的值域
精练部分
A类试题（普通班用）
1. 设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则( )
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
[答案] A
[解析] a＝log3π>log33＝1，b＝log2＝＝＝log23>log22＝，
又log23b>c..
2. 已知集合，，则( )
A． B． C． D．
[答案] B
[解析] ，
所以，，故选B.
3. 函数定义域为( )
A. B. C． D.
[答案] A
[解析] ，∴，∴.
4. 若（，），求实数的取值范围.
解：，
当时，，它无解；
当时， .
从而或，即实数的取值范围
5. 已知，求的取值范围
[解析] (1)考察函数，它在上是减函数．
因为，所以.
由，得,所以的取值范围是
6. 判断函数的奇偶性
解：由已知，得或，解得
所以的定义域为，它关于原点对称
，
从而是奇函数
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1. 设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则( )
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
[答案] A
[解析] a＝log3π>log33＝1，b＝log2＝＝＝log23>log22＝，
又log23b>c..
2. 已知集合，，则( )
A． B． C． D．
[答案] B
[解析] ，
所以，，故选B.
3. 函数定义域为( )
A. B. C． D.
[答案] A
[解析] ，∴，∴.
4．函数在在上是减函数，则实数的取值范围是________
[答案]
[解析]由已知，得，解得，所以实数的取值范围是
5．已知，则的取值范围是________
[答案]
[解析] (1)考察函数，它在上是减函数．因为，所以.由得,所以的取值范围是
6.函数，的值域是
[答案]
[解析] ，，∴ ，即函数的值域是.
7. 若（，），求实数的取值范围.
解：，
当时，，它无解；
当时， .
从而或，即实数的取值范围
8.已知函数，求的定义域与值域
解：使解析式有意义，得，，
从而或，解得，所以的定义域
设，则
，当时，取得最大值，即，所以
从而的值域为
9. 判断函数的奇偶性
解：由已知，得或，解得
所以的定义域为，它关于原点对称
，
从而是奇函数
10. 已知，求函数的最大值与最小值
解：设，则
，，即
所以当，即时，；当，即时，；
故函数的最大值为，最小值为
课题：2.2.2对数函数及其性质（3）
精讲部分
学习目标展示
（1）熟练掌握对数函数概念、图象、性质（2）掌握对数型复合函数的单调性；
（3）会解决有关对数函数的综合问题
衔接性知识
判断函数与的单调性并用定义加以证明
2. 判断函数与的单调性并用定义加以证明
3.由来1与2的结论，你可以猜到到更一般的结论吗？
基础知识工具箱
函数，且的单调性结论
当时
，且的单调性与相同
当时
，且的单调性与相反
典例精讲剖析
例1. 已知函数的图象经过点，其中且.(1)求的值；(2)求函数的值域．
例2.（1）求函数的单调区间
（2）求函数的单调区间
（3）已知，且，讨论函数的单调性
例3. 若函数是上的增函数，试求实数的取值范围
例4.已知函数且
(1)求的定义域；(2)讨论的单调性；(3)为何值时，函数值大于1.
例5. 已知函数
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围
（2）若函数的值域为，求实数的取值范围
精练部分
A类试题（普通班用）
1.下列不等式成立的是 ( )
A． B．
C． D．
2. 设函数，若，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
3. 若函数，且的定义域和值域都是，则等于
4. 已知函数的图象过点，（1）求实数的值；（2）若，试比较，与的大小
5. 已知函数在其定义域内单调递增，
（1）求的定义域与的定义域
（2）判断函数的单调性．
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1. 下列不等式成立的是 ( )
A． B．
C． D．
2.设函数，若，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
3. 若函数在上有，则的单调性是 ( )
A．在(－∞，0)上是增函数 B．在(－∞，0)上是减函数
C．在(－∞，－1)上是增函数 D．在(－∞，－1)上是减函数
4．已知的定义域为 ，在其定义域内是 函数（填“增”或“减”）
5．设，，，，则，的大小关系为
6.若函数，且的定义域和值域都是，则等于
7. 已知函数的图象过点，（1）求实数的值；（2）若，试比较，与的大小
8. 已知函数在其定义域内单调递增，
（1）求的定义域与的定义域（2）判断函数的单调性．
9. 已知函数．
(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；
(2)若函数的值域为，求实数的取值范围．
10. 已知函数在区间内是减函数，求实数的取值范围．
课题：2.2.2对数函数及其性质（3）
精讲部分
学习目标展示
（1）熟练掌握对数函数概念、图象、性质（2）掌握对数型复合函数的单调性；
（3）会解决有关对数函数的综合问题
衔接性知识
判断函数与的单调性并用定义加以证明
2. 判断函数与的单调性并用定义加以证明
3.由来1与2的结论，你可以猜到到更一般的结论吗？
基础知识工具箱
函数，且的单调性结论
当时
，且的单调性与相同
当时
，且的单调性与相反
典例精讲剖析
例1. 已知函数的图象经过点，其中且.
(1)求的值；
(2)求函数的值域．
[分析]由函数的图象经过点知，可求得的值，由的单调性可求的值域．
[解析](1)∵函数图象过点，∴，，即，
且，
(2) ，
设，则由，得
∵在是减函数，所以，即
所以函数的值域为．
例2.（1）求函数的单调区间
（2）求函数的单调区间
（3）已知，且，讨论函数的单调性
[解析]（1），所以函数的定义域为
，的单调性与相同
而，
在单调递增，在单调递减
所以在单调递增，在单调递减
故的递增区间为，递增区间为
（2），所以函数的定义域为
，的单调性与相反
而，
在单调递增，在单调递减
所以在单调递减，在单调递增
故的递增区间为，递增区间为
（3）），所以函数的定义域为
，
在单调递增，在单调递减
当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增；
例3. 若函数是上的增函数，试求实数的取值范围
[分析]在上是增函数，故在上和上都单调增，即和都是增函数，且在上的最小值不小于在上的最大值．21世纪教育网版权所有
[解析]因为在上是增函数，故在上和上都单调增，即和都是增函数，且在上的最小值不小于在上的最大值．故结合图象知21教育网
，解得，故实数的取值范围
例4.已知函数且
(1)求的定义域；(2)讨论的单调性；(3)为何值时，函数值大于1.
[解析] (1) 使有意义，则即
当时，；当时，
因此，当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为．
(2)当时为增函数，因此为增函数；当时为减函数，因此为增函数
综上所述，为增函数．
(3)当 时即，∴∴
当时，即∴，∴.
例5. 已知函数
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围
（2）若函数的值域为，求实数的取值范围
[解析]（1）因为函数的定义域为，所以对一切实数都成立，所以的图象开口向上且与轴无交点，从面有，
∴或或
∴所求a的取值范围为
（2）因为函数的值域为，所以必须取遍一切正数，所以的图象开口向上且与轴有交点，从面有，
∴或或或
∴所求a的取值范围为
精练部分
A类试题（普通班用）
1.下列不等式成立的是 ( )
A． B．
C． D．
[答案]
[解析]∵，，∴，，，故选
2. 设函数，若，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
[答案] A
[解析] 由条件知，得 或
或，∴或，从而选A
3. 若函数，且的定义域和值域都是，则等于
[答案]
[解析] ∵，∴，
又∵，故，且，∴.
4. 已知函数的图象过点，
（1）求实数的值；
（2）若，试比较，与的大小
[解析] （1）函数的图象过点
，即，
（2），，，
即，
而，所以
5. 已知函数在其定义域内单调递增，
（1）求的定义域与的定义域
（2）判断函数的单调性．
[解析] （1）由，得，所以的定义域为
由，得，，即，所以的定义域为
（2）由于在内递增，且在内的减函数
所以，即，
的单调性与在的单调性相同
而在上是减函数
因此在上是减函数．
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1. 下列不等式成立的是 ( )
A． B．
C． D．
[答案]
[解析]∵，，∴，，，故选
2.设函数，若，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
[答案] A
[解析] 由条件知，得 或
或，∴或，从而选A
3. 若函数在上有，则的单调性是 ( )
A．在(－∞，0)上是增函数 B．在(－∞，0)上是减函数
C．在(－∞，－1)上是增函数 D．在(－∞，－1)上是减函数
[答案] C
[解析] 当时，，又，∴
因此函数的单调性与相反，由图象可知在递减；在上递增．在递增；在上递减
4．已知的定义域为 ，在其定义域内是 函数（填“增”或“减”）
[答案] ,增
[解析] 使有意义，得，即，,
所以的定义域为
，的单调性与的单调性相反，而是减函数，所以在增函数
5．设，，，，则，的大小关系为
[答案]
[解析] ，，
又，，∴
6.若函数，且的定义域和值域都是，则等于
[答案]
[解析] ∵，∴，
又∵，故，且，∴.
7. 已知函数的图象过点，
（1）求实数的值；
（2）若，试比较，与的大小
[解析] （1）函数的图象过点
，即，
（2），，，
即，
而，所以
8. 已知函数在其定义域内单调递增，
（1）求的定义域与的定义域
（2）判断函数的单调性．
[解析] （1）由，得，所以的定义域为
由，得，，即，所以的定义域为
（2）由于在内递增，且在内的减函数
所以，即，
的单调性与在的单调性相同
而在上是减函数
因此在上是减函数．
9. 已知函数．
(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；
(2)若函数的值域为，求实数的取值范围．
[解析] (1)若定义域为，
显然，必须，解得
从而，实数的取值范围为
(2)若值域为，
ⅰ)当时，符合题意．
ⅱ)当时，必须解得
综上所述，,即实数的取值范围为
10. 已知函数在区间内是减函数，求实数的取值范围．
[解析]∵，∴为减函数，
因为在区间内是减函数，所以在上为增函数且在上恒大于，
因此满足以下条件， 解得
故实数的取值范围为
