21.2.2 公式法 分层练习(含解析) 2023-2024学年数学人教版九年级上册

21.2.2　公式法
【练基础】
必备知识1 一元二次方程根的判别式
1.已知一元二次方程x2-5x+3=0,则根的判别式b2-4ac中的b表示的数是 ( )
A.5　 　　B.-5　　　C.3　　 　D.-
2.一元二次方程x2-x+3=0的根的判别式的值是　 .
必备知识2 一元二次方程根的判别式的应用
3.关于x的一元二次方程x2+2022x+2023=0的根的情况是 ( )
A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
4.若方程x2-2x+m=0没有实数根,则m的值可以是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.
5.【2016·河北中考】已知a,b,c为常数,且(a-c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是 ( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0
6.不解方程,判定下列一元二次方程的根的情况:
(1)9x2+6x+1=0;
(2)3(x2-1)-5x=0;
(3)2x2-5x+4=0.
7.已知关于x的方程x2-3x+k=0.
(1)当k为何值时,方程有两个不相等的实数根
(2)当k为何值时,方程有两个相等的实数根
(3)当k为何值时,方程没有实数根
必备知识3 用公式法解一元二次方程
8.用公式法解方程-ax2+bx-c=0(a≠0),下列代入公式正确的是 ( )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
9.用公式法解下列方程:
(1)x2-2x+2=0;
(2)x2-6x-6=0;
(3)2x2+7x=4;
(4)2x2+3x+6=0;
(5)3x2+10x+3=0.
10.关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+(m-2)=0.
(1)求证:无论m取何值,方程总有实数根.
(2)已知方程有一根大于6,求m的取值范围.
【练能力】
11.定义新运算:对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b中的较大值,如:max{2,4}=4.因此,max{-2,-4}=-2.按照这个规定,若max{x,-x}=,则x的值是 ( )
A.-1 B.-1或
C. D.1或
12.【2023·蚌埠月考】探讨关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0总有实数根的条件,下面三名同学给出建议.甲:a-b-1=0;乙:a,b同号;丙:a+b-1=0.其中符合条件的是 ( )
A.甲、乙、丙都正确 B.只有乙不正确
C.甲、乙、丙都不正确 D.只有甲正确
13.如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长,易知AE=c,这时我们把关于x的形如ax2+cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.请解决下列问题:
(1)求证:关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有实数根.
(2)若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0的一个根,且四边形ACDE的周长是12,求△ABC的面积.
【练素养】
14.发现思考:已知等腰△ABC的两边分别是方程x2-7x+10=0的两个根,求等腰△ABC三条边的长.下面是涵涵同学的作业,老师说他的做法有错误,请你找出错误之处并说明错误原因.
解:x2-7x+10=0, a=1,b=-7,c=10, ∵b2-4ac=9>0, ∴x==, ∴x1=5,x2=2. ∴当腰为5,底为2时,等腰△ABC的三条边分别为5,5,2; 当腰为2,底为5时,等腰△ABC的三条边分别为2,2,5.
探究应用:请解答以下问题:
已知等腰△ABC的两边是关于x的方程x2-mx+-=0的两个实数根.
(1)当m=2时,求△ABC的周长.
(2)当△ABC为等边三角形时,求m的值.
参考答案
练基础
1.B　2.-11　3.D　4.D
5.B　【解析】∵(a-c)2=a2+c2-2ac>a2+c2,
∴ac<0.
在方程ax2+bx+c=0中,
Δ=b2-4ac≥-4ac>0,
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.
故选B.
6.【解析】(1)∵a=9,b=6,c=1,
∴Δ=b2-4ac=62-4×9×1=0,
∴方程9x2+6x+1=0有两个相等的实数根.
(2)方程化为一般形式为3x2-5x-3=0.
∵a=3,b=-5,c=-3,
∴Δ=b2-4ac=(-5)2-4×3×(-3)=61>0,
∴方程3(x2-1)-5x=0有两个不相等的实数根.
(3)∵a=2,b=-5,c=4,
Δ=b2-4ac=25-32=-7<0,
∴方程2x2-5x+4=0无实数根.
7.【解析】Δ=(-3)2-4×1×k=9-4k.
(1)当Δ>0,方程有两个不相等的实数根,
即9-4k>0,所以k<.
(2)当Δ=0,方程有两个相等的实数根,
即9-4k=0,所以k=.
(3)当Δ<0,方程没有实数根,
即9-4k<0,所以k>.
8.B
9.【解析】(1)∵a=1,b=-2,c=2,
∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×2=0,
∴x==,
∴x1=x2=.
(2)∵a=1,b=-6,c=-6,
∴Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×(-6)=60>0,
∴x==3±,
∴x1=3+,x2=3-.
(3)原方程化为2x2+7x-4=0,
∵a=2,b=7,c=-4,
∴Δ=b2-4ac=72-4×2×(-4)=81>0,
∴x==,
∴x1=,x2=-4.
(4)∵a=2,b=3,c=6,
∴Δ=b2-4ac=32-4×2×6=-39<0,
∴方程没有实数根.
(5)∵a=3,b=10,c=3,
∴Δ=b2-4ac=102-4×3×3=64>0,
∴x==,
∴x1=-,x2=-3.
10.【解析】(1)证明:Δ=[-(m-1)]2-4×1×(m-2)=m2-2m+1-4m+8=m2-6m+9=(m-3)2≥0,
∴无论m取何值,方程总有实数根.
(2)由求根公式得x=,
∴x1=1,x2=m-2.
∵方程有一根大于6,
∴m-2>6,解得m>8.
练能力
11.B　【解析】若x>-x,即x>0时,则x=,解得x=(负值舍去);
若x<-x,即x<0时,则-x=,解得x=-1(正值舍去).
故选B.
12.B　【解析】Δ=b2+4a,
若a-b-1=0,即a=b+1,Δ=b2+4(b+1)=(b+2)2≥0,方程总有实数根,所以甲的条件满足方程总有实数根;
若a,b同号,如a=-1,b=-1,此时Δ=1-4=-3<0,方程没有实数解,所以乙的条件不满足方程总有实数根;
若a+b-1=0,即a=-b+1,Δ=b2+4(-b+1)=(b-2)2≥0,方程总有实数根,所以丙的条件满足方程总有实数根.
故选B.
13.【解析】(1)证明:Δ=(c)2-4ab=2c2-4ab.
∵a2+b2=c2,
∴2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0,
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有实数根.
(2)当x=-1时,a-c+b=0,即a+b=c.
∵四边形ACDE的周长是12,
∴2a+2b+c=12,即2(a+b)+c=12,
∴c=2,
∴a2+b2=c2=8.
又∵a+b=4,
∴(a+b)2=a2+2ab+b2,即16=8+2ab,
∴ab=4,
∴S△ABC=ab=2.
练素养
14.【解析】错误之处:当2为腰,5为底时,等腰三角形的三条边为2,2,5.
错误原因:此时不能构成三角形.
(1)当m=2时,方程为x2-2x+=0,
∴x1=,x2=.
当为腰时,+<,
∴,,不能构成三角形;
当为腰时,等腰三角形的三边长分别为,,,
此时周长为++=.
∴当m=2时,△ABC的周长为.
(2)若△ABC为等边三角形,则方程有两个相等的实数根,
∴Δ=(-m)2-4-=m2-2m+1=0,
∴m1=m2=1.
∴当△ABC为等边三角形时,m的值为1.
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