21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 分层练习（含答案） 2023-2024学年数学人教版九年级上册

*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
【练基础】
必备知识1 一元二次方程根与系数的关系
1.已知α,β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则α+β的值是 ( )
A.3　　 　 B.1　 　　 C.-1　　　 D.-3
2.一元二次方程x2-6x=-5的两根分别为x1和x2,则x1·x2的值为 ( )
A.6　 B.-6 C.5 D.-5
3.已知一元二次方程x2-4x-1=0的两根分别为m,n,则m-3mn+n=　 .
必备知识2 一元二次方程根与系数的关系的应用
4.设a,b是方程x2+x-2026=0的两个实数根,则a2+2a+b的值是 ( )
A.2026　 B.2025　 C.2024　 D.2027
5.若方程x2-3x-4=0的两个根分别为x1和x2,则+=　 .
6.设x1,x2是方程2x2+5x-7=0的两个根,则+的值为　 .
7.已知关于x的一元二次方程x2-mx-3=0.
(1)求证:无论m取何实数,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程的一根为3,求m的值及另一个根.
【练能力】
8.已知实数a,b分别满足a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且a≠b,则a2+b2的值为 ( )
A.36 B.50 C.28 D.25
9.关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2=0的两根为a,b,且a+b=ab-4,求m的值.
嘉淇的解题过程如下:
解:∵a+b=2m-1,ab=m2,
∴2m-1=m2-4.
整理,得m2-2m-3=0,
解得m1=-1,m2=3.
嘉淇的解题过程漏考虑了哪个条件 请写出正确的解题过程.
【练素养】
10.关于x的一元二次方程(m-1)·x2-2mx+m+1=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根.
(2)m为何整数时,此方程的两个根都是正整数
(3)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5,当△ABC是等腰三角形时,求m的值.
参考答案
练基础
1.C　2.C　3.7　4.B　5.-　6.
7.【解析】(1)证明:∵在方程x2-mx-3=0中,Δ=(-m)2-4×1×(-3)=m2+12≥12,∴对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根.
(2)将x=3代入x2-mx-3=0中,得9-3m-3=0,解得m=2.
方法一:当m=2时,原方程为x2-2x-3=(x+1)·(x-3)=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴方程的另一根为-1.
方法二:设方程的另一个根为a,
则3a=-3,
解得a=-1,
即方程的另一根为-1.
练能力
8.C
9.【解析】嘉淇的解题过程漏考虑了b2-4ac≥0这一条件.
正确的解题过程如下:
根据题意,得b2-4ac=[-(2m-1)]2-4m2≥0,解得m≤.
∵a+b=2m-1,ab=m2,a+b=ab-4,∴2m-1=m2-4,
整理,得m2-2m-3=0,解得m1=-1,m2=3(舍去).
∴m的值为-1.
练素养
10.【解析】(1)证明:∵Δ=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4>0,
∴方程总有两个不相等的实数根.
(2)(m-1)x2-2mx+m+1=0,
[(m-1)x-(m+1)](x-1)=0,
x1=,x2=1.
∵此方程的两个根都是正整数,∴>0,
当m+1>0,m-1>0时,解得m>1,
当m+1<0,m-1<0时,解得m<-1,
∴m=2或m=3.
(3)∵一元二次方程(m-1)x2-2mx+m+1=0的解为x1=,x2=1.
∵△ABC是等腰三角形,第三边BC的长为5,
∴=5,解得m=1.5,
经检验,m=1.5是原方程的解.
故m的值是1.5.
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