22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 分层练习（含答案） 2023-2024学年数学人教版九年级上册

22.1.2　二次函数y=ax2的图象和性质
【练基础】
必备知识1 二次函数y=ax2的图象
1.若二次函数y=ax2的图象经过点P(2,4),则该图象必经过点 ( )
A.(-2,-4)　　　　　 B.(-2,4)
C.(-4,2) D.(4,-2)
2.二次函数y=x2图象的对称轴是 ( )
A.直线y=1 B.直线x=1
C.y轴 D.x轴
3.若二次函数y=(1-m)的图象开口向下,则m的值为 ( )
A.±2　　　 B.0　 　　 C.-2　　　 D.2
必备知识2 二次函数y=ax2的性质
4.函数y=4x2的图象的顶点坐标为 ( )
A.(1,-4) B.(0,0) C.(0,4) D.(4,0)
5.抛物线y=x2,y=-3x2,y=x2的共同性质是 ( )
A.开口向上
B.对称轴都是y轴
C.都有最高点
D.y随x的增大而增大
6.二次函数y=-x2的图象开口向　 ,对称轴是　 ,顶点坐标是 (0,0) ,它的图象有最　 点.
7.若抛物线y=(-a-3)x2与抛物线y=x2的形状相同,开口方向相反,则a=　 .
8.已知函数y=(m+2)是关于x的二次函数.
(1)求m的值.
(2)当m为何值时,函数图象有最低点 求出这个最低点的坐标.此时,当x为何值时,y随x的增大而增大
(3)当m为何值时,函数有最大值 最大值是多少 此时,当x为何值时,y随x的增大而减小
(4)若函数图象有最高点,求函数图象的顶点坐标和对称轴.
9.抛物线y=ax2与直线y=2x-3交于点(1,b).
(1)求a和b的值,并写出抛物线y=ax2的解析式.
(2)对于函数y=ax2,当x取何值时,y随x的增大而增大
(3)求该抛物线与直线y=-2的两个交点与该抛物线的顶点所构成的三角形的面积.
【练能力】
10.定义运算“※”:a※b=如:1※(-2)=-1×(-2)2=-4,则函数y=2※x的图象大致是 ( )
A　 　　B　　 　C　　　 　D
11.二次函数y=x2的图象如图所示,点O是坐标原点,点A在y轴的正半轴上,点B、C在二次函数y=x2的图象上,四边形OBAC为菱形,且∠OBA=120°,则菱形OBAC的面积为　 .
12.对于二次函数y=ax2和y=bx2,其自变量与函数值的两组对应值如表所示:
x -1 m(m≠-1)
y=ax2 c c
y=bx2 c+3 d
根据表中相关数据可知,m的值为　 ,d-c的值为　 .
13.如图,抛物线y=ax2与直线y=kx+b的图象在第一象限内交于点A(2,4).
(1)求抛物线的解析式.
(2)在x轴上是否存在点P,使△AOP为等腰三角形 若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【练素养】
14.如图,直线y=x+1与抛物线y=ax2的图象相交于A-,m、B两点,与y轴交于点M,M、N两点关于x轴对称,连接AN,BN.
(1)求m的值及点B的坐标.
(2)求△ABN的面积.
参考答案
练基础
1.B　2.C　3.D　4.B　5.B
6.下　y轴　高
7.-
8.【解析】(1)根据题意可得m+2≠0,m2+m-4=2,解得m1=2,m2=-3,
∴m的值为2或-3.
(2)当m+2>0时,抛物线开口向上,有最低点,
∴m+2>0,即m>-2,
结合(1)得m=2,此时y=4x2,
∴该抛物线最低点的坐标为(0,0),
当x>0时y随x的增大而增大.
(3)结合(1)得当m=-3时,函数图象开口向下,函数有最大值.
此时y=-x2,所以二次函数的最大值为0.
当x>0时,y随x的增大而减小.
(4)∵m=-3,∴二次函数的解析式为y=-x2,
∴其图象的顶点坐标为(0,0),对称轴是y轴.
9.【解析】(1)∵点(1,b)在直线y=2x-3上,
∴b=2×1-3=-1.
∵点(1,-1)在抛物线y=ax2上,
∴-1=a×12,∴a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-x2.
(2)由(1)知,对于函数y=-x2,当x<0时,y随x的增大而增大.
(3)设该抛物线与直线y=-2的两个交点分别为A,B,
当y=-2时,-2=-x2,∴2=x2,∴x=±.
不妨令A,B两点的坐标分别为(-,-2),(,-2),
则AB=-(-)=2,
∴所求三角形的面积为×2×2=2.
10.C　11.2　12.1　3
13.【解析】(1)把A(2,4)代入y=ax2得4=4a,∴a=1,
∴抛物线的解析式为y=x2.
(2)存在点P使△AOP为等腰三角形.
设有一点P(x,0),使△AOP为等腰三角形,
根据题意可得OA==2,
当OA=OP时,即|OP|=2,
∴P点坐标为(2,0)或(-2,0).
当OA=AP时,(x-2)2+42=22+42,解得x=0(舍去)或x=4,∴P点坐标为(4,0).
当OP=AP时,(x-2)2+42=x2,解得x=5,
∴P点坐标为(5,0),
∴当点P的坐标为(2,0),(-2,0),(4,0)或(5,0)时,△AOP为等腰三角形.
练素养
14.【解析】(1)把点A-,m代入y=x+1,得m=-+1=,
∴点A的坐标为-,,
把点A-,代入y=ax2,得-2a=,解得a=6,∴抛物线的解析式为y=6x2.
解方程6x2=x+1,得x1=-,x2=,
当x=时,y=,
∴点B的坐标为,.
(2)直线AB与y轴的交点M为(0,1),∴OM=ON=1,
∴MN=2.
如图,过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作BD⊥y轴于点D.
由(1)及已知有A点坐标为-,,B点坐标为,,
∴AC=,BD=,∴S△ABN=S△AMN+S△BMN=×2×+×2×=.
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