22.1.3 课时1 二次函数y=ax2+k的图象和性质 分层练习（含答案） 2023-2024学年数学人教版九年级上册

22.1.3　课时1　二次函数y=ax2+k的图象和性质
【练基础】
必备知识1 二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.函数y=-x2+1的图象大致为 ( )
A　　　　　B　　　　 C　　 　　D
2.抛物线y=-2x2+1的对称轴是 ( )
A.直线x=　　　　　 B.直线x=-
C.y轴 D.直线x=2
3.对于二次函数y=-2x2+3的图象,下列说法不正确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是直线x=-3
C.顶点坐标为(0,3)
D.当x>0时,y随x的增大而减小
4.已知抛物线y=(m-2)x2+m+3的顶点在y轴的正半轴上,且开口向下,则m的取值范围是 ( )
A.m>-3 B.m<2
C.m<-3或m>2 D.-35.填表:
函数 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 最值 对称轴左侧的增减性
y=-2x2+6 最　值为　
y=5x2-1 最　值为　
6.已知直线y=2x与抛物线y=ax2+3的一个交点为(2,b).
(1)求a,b的值.
(2)抛物线y=ax2+3中y有最大值还是最小值 并求出这个最值.
(3)若直线y=2x上纵坐标为2的点为A,抛物线y=ax2+3的顶点为B,求S△AOB.
必备知识2 二次函数y=ax2+k图象的平移
7.将抛物线y=4x2向上平移1个单位长度,所得抛物线的解析式为 ( )
A.y=4x2-1 B.y=4x2+1
C.y=4(x+1)2 D.y=4(x-1)2
8.抛物线y=ax2+k的顶点坐标为(0,2),且形状及开口方向与抛物线y=-x2均相同,则其抛物线的解析式为　 ,它是由抛物线y=-x2向　 平移　 个单位长度得到的.
9.能否将二次函数y=x2的图象通过上下平移,使得到的新的函数图象过点(3,-3) 若能,写出平移的方向和距离;若不能,请说明理由.
【练能力】
10.下列各图象中有可能是函数y=ax2+a(a≠0)的图象的是 ( )
A　　　　B　　　　 C　　　 D
11.点A(-1,y1),B(2,y2),C(3,y3)都在二次函数y=(a2+1)x2+2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y1y2>y3
C.y1>y3>y2 D.y212.二次函数y=ax2+c(a≠0)中,当x分别取x1,x2(x1≠x2)时,它们对应的函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为 ( )
A.a+c B.a-c C.-c D.c
13.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+6与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=2x2于点B,C,则BC的长为 ( )
A. B. C.2 D.2
14.如图,两条抛物线y1=-x2+1,y2=-x2-1与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为　 .
15.如图,抛物线y=-x2+2与x轴交于A,B两点,其中点A在x轴的正半轴上,点B在x轴的负半轴上.
(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标.
(2)在抛物线上是否存在一点M,使△MAC≌△OAC 若存在,求出点M的坐标; 若不存在,请说明理由.
【练素养】
16.已知抛物线y=x2+1具有如下性质:抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离相等.如图,点M的坐标为(,3),P是抛物线y=x2+1上的一个动点.
(1)当△POF的面积为4时,求点P的坐标.
(2)求△PMF周长的最小值.
参考答案
练基础
1.B　2.C　3.B　4.D
5.【解析】表格如下:
函数 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 最值 对称轴左侧 的增减性
y=-2x2+6 向下 (0,6) y轴 最大 值为6 y随x的增 大而增大
y=5x2-1 向上 (0, -1) y轴 最小 值为 -1 y随x的增 大而减小
6.【解析】(1)把点(2,b)代入y=2x,
得b=2×2=4,
∴交点为(2,4),
把点(2,4)代入y=ax2+3,
∴4a+3=4,解得a=.
(2)∵抛物线为y=x2+3,∴y有最小值,最小值为3.
(3)当y=2时,2x=2,则x=1,
∴点A的坐标为(1,2),
抛物线y=x2+3的顶点B的坐标为(0,3),
∴S△AOB=×3×1=.
7.B
8.y=-x2+2　上　2
9.【解析】设平移后的解析式y=x2+b.
∵新的函数图象过点(3,-3),
∴×32+b=-3,∴b=-6,
∴二次函数y=x2的图象向下平移6个单位长度,得到的新的函数图象过点(3,-3).
练能力
10.B　11.A　12.D　13.D　14.8
15.【解析】(1)抛物线y=-x2+2的对称轴为y轴,顶点C的坐标为(0,2).
(2)不存在.
理由:由已知易得点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(-2,0),则OA=OB=OC=2,故△OAC是等腰三角形.假设存在一点M,使△MAC≌△OAC,
∵AC是公共边,OA=OC,
∴点M和点O关于直线AC对称,
∴四边形OAMC是正方形,
∴点M的坐标为(2,2),
当x=2时,y=-x2+2=-×22+2=0≠2,
∴点M(2,2)不在抛物线y=-x2+2上,
∴在抛物线上不存在点M,使△MAC≌△OAC.
练素养
16.【解析】(1)设点P的坐标为x,x2+1.
∵点F的坐标为(0,2),∴OF=2,
∴当△POF的面积为4时,×2×|x|=4,解得x=±4,∴y=×(±4)2+1=5,
∴点P的坐标为(-4,5)或(4,5).
(2)
如图,过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线于点P.
∵△PMF的周长=MF+PF+PM,MF是定值,∴当PF+PM最小时,△PMF的周长最小.
∵PF=PE,∴PF+PM=PE+PM,∴当M,P,E三点共线时,PF+PM最小,即△PMF的周长最小.即△PMF的周长最小.
∵F(0,2),M(,3),
∴MP=PF=ME=3,FM==2,
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5.
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