22.3 课时1 二次函数与图形面积
【练基础】
必备知识1 利用二次函数求几何图形面积的最值
1.已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为 ( )
A.25 cm2 B.50 cm2
C.100 cm2 D.125 cm2
2.如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB= m时,矩形土地ABCD的面积最大.
必备知识2 利用二次函数求动点图形面积的最值
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止).在运动过程中,四边形PABQ面积的最小值为 ( )
A.19 cm2 B.16 cm2
C.15 cm2 D.12 cm2
4.某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50 m.设饲养室的长为x(m),占地面积为y(m2) .
(1)如图1,问当饲养室的长x为多少时,占地面积y最大
(2)如图2,现要求在图中所示位置留2 m的门,且仍使饲养室占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.
【练能力】
5.如图,有一块边长为6 cm的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大值是 ( )
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D. cm2
6.如图,某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD,为了节省篱笆,一边利用足够长的墙,另外三边用篱笆围着,再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成①、②、③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等,现有总长80 m的篱笆,当围成的花圃ABCD的面积最大时,AB的长为 m.
7.【石家庄月考】某游乐园景区内有一块如图所示的矩形油菜花田地(单位:m),计划修建一条如图中阴影部分所示的观花道,供游人赏花.设改造后观花道的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)若改造后观花道的面积为13 m2,求x的值.
(3)若要求0.5≤x≤1,求改造后油菜花田地所占面积的最大值.
8.如图1,把一张长20 cm,宽16 cm的矩形硬纸的四角各剪掉一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计,如图2).设剪去的正方形边长为x(cm).折成的长方体盒子侧面积为y(cm2).
(1)长方体盒子的底面长为 cm,宽为 cm,长方体盒子的高为 cm.
(2)请求出长方体盒子的侧面积y(cm2)与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(3)折叠成的长方体盒子侧面积是否有最大值 若有,请求出最大值,若没有,说明理由.
(4)要使折成的长方体盒子的侧面积有可能为64 cm2,那么剪掉的正方形的边长为 cm.
图1 图2
【练素养】
9.工人师傅用一块长为10 dm、宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个小正方形.(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕,并求出当长方体底面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长为多少
(2)要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理(内、外两面都要处理).若侧面每平方分米的费用为0.25元,底面每平方分米的费用为2元,则当裁掉的正方形边长为多少时,防锈处理的总费用最低 最低总费用为多少
参考答案
练基础
1.B 2.150 3.C
4.【解析】(1)∵y=x·=-(x-25)2+,
∴当x=25时,占地面积最大,
即当饲养室长x为25 m时,占地面积y最大.
(2)∵y=x·=-(x-26)2+338,
∴当x=26时,占地面积最大,
即当饲养室长x为26 m时,占地面积y最大.
∵26-25=1≠2,
∴小敏的说法不正确.
练能力
5.C 6.15
7.【解析】(1)由题意,得y=6×8-2×(8-x)(6-x)=-x2+14x(0故y与x之间的函数关系式为y=-x2+14x(0(2)由题意,得-x2+14x=13,解得x1=1,x2=13,
经检验,x=13不符合题意,舍去,
所以x的值为1.
(3)设改造后油菜花田地所占面积为S m2,则S=2×(8-x)(6-x)=x2-14x+48=(x-7)2-1,
当0.5≤x≤1时,S随x的增大而减小,所以当x=0.5时,S取得最大值,最大值为41.25.
故改造后油菜花田地所占面积的最大值为41.25 m2.
8.【解析】(1)20-2x;16-2x;x.
(2)y=x(20-2x)×2+x(16-2x)×2=-8x2+72x(0(3)有最大值.
理由:∵y=-8x2+72x=-8x-2+162,
∴当x=时,y最大=162,
∴折叠成的长方体盒子侧面积有最大值,最大值为162 cm2.
(4)1.
提示:根据题意可得8x2+72x=64,解得x1=1,x2=8(不合题意,舍去),∴剪掉的正方形的边长为1 cm.
练素养
9.【解析】(1)如图,设裁掉的正方形的边长为x dm,
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,
即x2-8x+12=0,
解得x=2或x=6(舍去),
答:裁掉的正方形的边长为2 dm.
(2)因为长不大于宽的五倍,所以10-2x≤5(6-2x),解得0设总费用为w元,由题意可知w=0.25×2×2[x(6-2x)+x(10-2x)]+4(10-2x)(6-2x)=12x-2-,
因为该二次函数图象对称轴为直线x=,开口向上,所以当0答:当裁掉边长为2.5 dm的正方形时,防锈处理的总费用最低,最低总费用为35元.
222.3 课时2 二次函数与最大利润问题
【练基础】
必备知识1 直接根据函数解析式求最大利润问题
1.商场销售某种品牌的电炖锅.在销售过程中,发现一周利润y(元)与每台销售价x(元)之间满足y=-2(x-20)2+980.由于某种原因,x的取值范围只能是15≤x≤19,那么一周可获得的最大利润是 ( )
A.976元 B.978元
C.980元 D.982元
2.某鞋帽专卖店销售一种绒帽,若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=-x2+70x-800.要想获得最大利润,则销售单价应该定为 元.
必备知识2 利用二次函数解决销售利润问题
3.某服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x>100)元出售,每天可销售(200-x)件,若要想获得最大利润,则x应为 ( )
A.150 B.160 C.170 D.180
4.某网店销售一款运动服,每件进价100元,若按每件128元出售,则每天可卖出100件,根据市场调查结果,若每件降价1元,则每天可多卖出5件,若要使每天获得的利润最大,则每件需要降价的钱数为 ( )
A.3元 B.4元 C.5元 D.8元
5.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元,旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅游团每增加1人,每人的单价就下降10元.当一个旅游团的人数是 时,旅行社可以获得最大营业额.
【练能力】
6.某商家通过“直播带货”使商品的网上零售额得以迅速增长.该商家销售一种进价为10元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足y=-10x+400,若每天至少销售60件,且销售单价不低于30元,则想保证销售这种商品每天的利润最大,销售单价应为 ( )
A.20元 B.25元 C.30元 D.35元
7.我市某乡镇实施乡村振兴,帮助种植户承包了若干亩土地用于种植新品种草莓,已知该草莓的成本为每千克10元,草莓成熟后投入市场销售.经市场调查发现,草莓销售不会亏本,且每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)当该品种草莓的定价为多少时,每天销售所获利润最大 最大利润是多少
(3) 某村今年草莓采摘期限30天,预计产量6000千克,则按照(2)中的方式进行销售,能否销售完这批草莓 请说明理由.
8.“双减”政策落地后,对校外培训机构的影响巨大,不管是机构还是机构老师都面临着转型,某培训机构李老师推出了“热学文化”新零售项目.他新开了甲、乙两家分店共同销售,因地段不同,甲店一天可售出某品牌科技产品20件,每件盈利26元;乙店一天可售出同一品牌科技产品32件,每件盈利20元.经调查发现,每件此种科技产品每降价1元,甲、乙两家店一天都可多售出2件.设甲店每件降价a元时,一天可盈利y1元,乙店每件降价b元时,一天可盈利y2元.
(1)当a=5时,求y1的值.
(2)求y2关于b的函数解析式.
(3)若李老师规定两家分店下降的价格必须相同,则每件此种科技产品降价多少元时,两家分店一天的盈利和最大,最大是多少元
【练素养】
9.某公司销售一种商品,成本为每件30元,经过市场调查发现,该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)是一次函数关系,其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表:
销售单价x/元 40 60 80
日销售量y/件 80 60 40
(1)直接写出y与x之间的关系式: .
(2)求公司销售该商品获得的最大日利润.
(3)销售一段时间以后,由于某种原因,该商品每件成本增加了10元,若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元,在日销售量y(件)与销售单价x(元)保持(1)中函数关系不变的情况下,该商品的日销售最大利润是1500元,求a的值.
参考答案
练基础
1.B 2.35 3.A 4.B 5.55
练能力
6.C
7.【解析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,
把点A(12,400),点B(14,350)分别代入得
解得
∴y与x之间的函数关系式为y=-25x+700,
根据题意可得
∴10≤x≤28.
(2)设每天的销售利润为w元,
根据题意可得w=(x-10)(-25x+700)=-25x2+950x-7000=-25(x-19)2+2025.
∵a=-25<0,
∴当x=19时,w取得最大值,最大值为2025,
∴当该品种草莓的定价为19元/千克时,每天销售获得的利润最大,最大利润是2025元.
(3)能销售完这批草莓.
理由:当x=19时,y=-25×19+700=225,225×30=6750>6000,
∴按照(2)中的方式进行销售,能销售完这批草莓.
8.【解析】(1)由题意,得y1=(26-a)(20+2a)=-2a2+32a+520,
当a=5时,y1=-2×25+32×5+520=630.
(2)由题意,得y2=(20-b)(32+2b)=-2b2+8b+640.
(3)设两家分店下降的价格都为x元,两家分店一天的盈利和为w元,
则w=(26-x)(20+2x)+(20-x)(32+2x)=-4x2+40x+1160=-4(x-5)2+1260,
所以当x=5时,w取得最大值,最大值为1260.
答:每件此种科技产品降价5元时,两家分店一天的盈利和最大,最大是1260元.
练素养
9.【解析】(1)y=-x+120.
(2)设公司销售该商品获得的日利润为w元,
w=(x-30)y=(x-30)(-x+120)=-x2+150x-3600=-(x-75)2+2025.
∵x-30≥0,-x+120≥0,
∴30≤x≤120.
∵a=-1<0,
∴抛物线开口向下,函数有最大值,
∴当x=75时,w最大=2025.
答:当销售单价是75元时,最大日利润是2025元.
(3)w=(x-30-10)(-x+120)=-x2+160x-4800=-(x-80)2+1600,
当w最大=1500时,-(x-80)2+1600=1500,
解得x1=70,x2=90.
∵40≤x≤a,
∴有两种情况:
①当a<80时,
在对称轴左侧,w随着x的增大而增大,
∴当x=a=70时,w最大=1500;
②当a≥80时,
在40≤x≤a范围内w最大=1600≠1500,
∴这种情况不成立,
∴a=70.
222.3 课时3 生活中的抛物线模型
【练基础】
必备知识1 “抛物线”型建筑问题
1.如图,某拱桥呈抛物线形状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,则在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是 ( )
A.15米 B.14米 C.13米 D.12米
2.【唐山期末】一位篮球运动员在距离篮筐中心水平距离4 m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮筐内.已知篮筐中心距离地面的高度为3.05 m,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是 ( )
A.此抛物线的解析式是y=-x2+3.5
B.篮筐中心的坐标是(4,3.05)
C.此抛物线的顶点坐标是(3.5,0)
D.篮球出手时离地面的高度是2 m
必备知识2 “抛物线”型运动问题
3.竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为 ( )
A.23.5 m B.22.5 m
C.21.5 m D.20.5 m
4.如图,人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB,喷水口A距地面2.25 m,喷出水流的运动路线是抛物线.如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1 m,且到地面的距离为3 m,求水流的落地点C到水枪底部B的距离.
【练能力】
5.如图,这是抛物线形拱桥,此时拱顶离水面的距离为8米,水面宽AB为12米.当水面上升6米时达到警戒水位,此时拱桥内的水面宽度是多少米
下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法,请补充完整:
方法一:如图1,以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,此时点B的坐标为 ,抛物线的顶点坐标为 ,可求出抛物线的解析式为 .当y=6时,即可求出此时拱桥内的水面宽度为 米.
方法二:如图2,以抛物线顶点为原点,对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,这时抛物线的解析式为 .
当y=-2时,即可求出此时拱桥内的水面宽度为 米.
6.【石家庄月考】图1的小山丘是某科研部门的小球弹射实验场地,在小山丘一侧的山坡上建有小球弹射发射装置,另一侧建有圆柱形小球接收装置.图2为实验场地的纵截面示意图,小山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分,以小山丘纵截面与地面的交线为x轴,以过发射装置所在的直线AB为y轴,建立平面直角坐标系.发射装置的底部在轮廓线的点A处,距离地面为1米,在发射装置3米的点B处是发射点,已知小山丘纵截面的外部轮廓线为C1:y=-x2+x+1,从发射装置的发射点弹射一个小球(忽略空气阻力)时,小球的飞行路线为一段抛物线C2:y=-x2+bx+c.
(1)直接写出c的值,当小球离B处的水平距离和竖直距离都为4米时,求b的值,并求小球到小山丘的竖直距离为1米时,小球离B处的水平距离.
(2)若小球最远着陆点到y轴的距离为15米,当小球飞行到小山丘顶的正上方,且与顶部距离不小于米时,求b的取值范围,并求小球飞行路线的顶点到x轴距离的最小值.
(3)圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形CDEF,已知点E在C1上,其横坐标为14,CF∥x轴,CD=1.5,DE=1,若小球恰好落入该装置内(不触碰装置侧壁),请直接写出b的取值范围.
【练素养】
7.【2020·河北中考】用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量,实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3.
(1)求W与x的函数关系式.
(2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但簿厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米),Q=W厚-W薄.
①求Q与x的函数关系式;
②当x为何值时,Q是W薄的3倍
【注:(1)及(2)中的①不必写x的取值范围】
参考答案
练基础
1.A
2.A 【解析】由题图知,抛物线的顶点坐标为(0,3.5),篮框中心的坐标为(1.5,3.05),故B,C错误;由抛物线的顶点坐标为(0,3.5),可设抛物线的解析式为y=ax2+3.5.∵点(1.5,3.05)在抛物线上,∴3.05=a×1.52+3.5,解得a=-,∴y=-x2+3.5,故A正确;在y=-x2+3.5中,当x=-2.5时,y=-×(-2.5)2+3.5=2.25,∴篮球出手时离地面的高度是2.25 m,故D错误.故选A.
3.C
4.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,于是抛物线的表达式可以设为y=a(x-h)2+k,
根据题意,得出A,P两点的坐标分别为A(0,2.25),P(1,3).
∵P为抛物线的顶点,∴h=1,k=3.
∵点A在抛物线上,∴a+3=2.25, a=-0.75,
∴它的表达式为y=-0.75(x-1)2+3.
当点C的纵坐标y=0时,有-0.75(x-1)2+3 =0,
解得x1=3,x2=-1(舍去),
∴BC=3,
∴水流的落地点C到水枪底部B的距离为3 m.
练能力
5.【解析】(12,0);(6,8);y=-x2+x;6;y=-x2;6
方法一:∵水面宽AB为12米,点A(0,0),点B在x轴上,∴点B(12,0),对称轴为直线x==6.∵拱顶离水面8米,∴抛物线的顶点坐标为(6,8).设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+8,∵抛物线过原点,∴0=a(0-6)2+8,解得a=-,∴抛物线的解析式为y=-(x-6)2+8=-x2+x.当y=6时,-x2+x=6,解得x1=3,x2=9,∴此时拱桥内的水面宽度为9-3=6(米).
方法二:由题意,得A(-6,-8),B(6,-8).设抛物线的解析式为y=ax2,把(6,-8)代入,得a=-,∴抛物线的解析式为y=-x2.当y=-2时,-x2=-2,解得x=±3,∴此时拱桥内的水面宽度为3-(-3)=6(米).
6.【解析】(1)∵B(0,4),
∴c=4.
∵C2过点(4,8),
∴-×42+4b+4=8,
解得b=,
∴C2:y=-x2+x+4,
则y=-x2+x+4--x2+x+1=-x2+x+3,
令y=1,解得x=12或x=-4(舍去),
∴当小球到小山丘的竖直距离为1米时,小球离B处的水平距离为12米.
(2)∵C1:y=-x2+x+1=-(x-7)2+,
∴C1的顶点为7,,
当小球飞到小山丘顶的正上方时,x=7,
代入C2:y=-x2+bx+4,得y=-×72+7b+4=-+7b,
由题意可知,-+7b-≥,
解得b≥.
∵小球最远着陆点到y轴的距离为15米,
∴当x=15时,y=-×152+15b+4≤0,得出b≤;
∴≤b≤.
∵C2的顶点为(4b,2b2+4),
∴当b=时,小球飞行路线的顶点到x轴距离的最小值为.
(3)由题意可知,当小球落在CD与C1的交点处取得最大值,当小球落在点E处取得最小值,
当x=14时,代入C1得y=1,将E(14,1)代入C2,得-×142+14b+4=1,
解得b=;
当x=14-1=13时,代入C2,得-×132+13b+4=2.5,
解得b=.
∴练素养
7.【解析】(1)设W与x的函数关系式为W=kx2(k≠0),
∵当x=3时,W=3,
∴3=k×32,解得k=,
∴W与x的函数关系式为W=x2.
(2)①若薄板的厚度为x厘米,则厚板的厚度为(6-x)厘米,
∴W薄=x2,W厚=(6-x)2,
∴Q=(6-x)2-x2=12-4x,
∴Q与x的函数关系式为Q=12-4x;
②若Q=3W薄,则12-4x=x2,即x2+4x-12=0,
解得x=2,x=-6(不合题意,舍去),
∴当x=2厘米时,Q是W薄的3倍.
2
