24.2.2 课时3 直线和圆的位置关系(3)
【练基础】
必备知识1 切线长定理
1.如图,从☉O外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是 ( )
A.4 B.8 C.4 D.8
2.如图,AB是☉O的直径,C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=30°,则∠DBA的度数为 ( )
A.15° B.30° C.60° D.75°
3.如图,PA,PB为☉O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交☉O于点D.下列结论不一定成立的是 ( )
A.△BPA为等腰三角形
B.AB与PD相互垂直平分
C.点A、B都在以PO为直径的圆上
D.PC为△BPA的边AB上的中线
4.如图,☉O内切于四边形ABCD,AB=10,BC=7,CD=8,则AD的长度为 .
必备知识2 三角形的内切圆
5.如图,☉O是△ABC的内切圆,则O是△ABC的 ( )
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,点O是△ABC的内心,则∠BOC的度数为 ( )
A.120° B.110°
C.115° D.130°
7.如图,已知△ABC的内切圆半径r=,D,E,F为切点,∠ABC=60°,BC=8,S△ABC=10,求AB,AC的长.
【练能力】
8.如图,在△ABC中,AB=7 cm,AC=8 cm,BC=6 cm,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,则△CEF的周长为 ( )
A.14 cm B.15 cm
C.13 cm D.10.5 cm
9.把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示的方式放置于桌面上,∠CAB=60°,若量出AD=6 cm,则圆形螺母的外直径是 ( )
A.12 cm B.24 cm
C.6 cm D.12 cm
10.如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,BC为☉O的直径,OP交☉O于点E,交AB于点F,连接AC.
求证:(1)AC∥OP.
(2)点E是△ABP的内心.
11.如图,AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,且AB∥CD,OB=6,OC=8.
(1)求∠BOC的度数.
(2)求☉O的半径.
【练素养】
12.如图,在△ABC中,内切圆☉I与AB,BC,CA分别切于点F,D,E,连接BI,CI,FD,ED.
(1)若∠A=60°,求∠BIC与∠FDE的度数.
(2)若∠BIC=α,∠FDE=β,试猜想α与β的关系,并证明你的结论.
参考答案
练基础
1.B 2.D 3.B 4.11 5.B 6.B
7.【解析】如图,连接OA,OB,OC,OE,OF,OD.
∵△ABC的内切圆半径r=,D,E,F为切点,∠ABC=60°,
∴∠ABO=∠CBO=30°,
∴BE=BD=OE=3.
∵BC=8,
∴CD=8-3=5=CF.
∵S△ABC=10,
∴(AC+BC+AC)·r=10,
∴(AE+3+8+5+AF)×=10,
∴AE=AF=2,
即AC=5+2=7,AB=3+2=5.
练能力
8.A 9.D
10.【解析】(1)∵PA,PB是☉O的切线,
∴PA=PB,∠APO=∠BPO,∴PO⊥AB,
∴∠AFP=90°.
∵BC为☉O的直径,∴∠BAC=90°,∴AC∥OP.
(2)
如图,连接BE.
∵PB是☉O的切线,
∴∠PBO=90°,
∴∠PBE+∠OBE=90°.
∵PF⊥AB,∴∠EBF+∠BEF=90°.
∵OB=OE,∴∠BEF=∠OBE,
∴∠PBE=∠EBF,∴BE平分∠PBF.
∵PA,PB是☉O的切线,∴PO平分∠APB,
∴点E是△ABP的内心.
11.【解析】(1)∵AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,
∴∠OBF=∠OBE,∠OCF=∠OCG.
∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠OBF+∠OCF=90°,∴∠BOC=90°.
(2)
如图,连接OF,则OF⊥BC.
由(1)知∠BOC=90°,
∴BC==10.
∵S△BOC=OB×OC=BC×OF,
∴OF=,
即☉O的半径为.
练素养
12.【解析】(1)∵☉I是△ABC的内切圆,
∴∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB,
∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB).
又∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°,
∴∠IBC+∠ICB=60°,
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=120°.
如图,连接IF,IE.
∵☉I是△ABC的内切圆,
∴∠IFA=∠IEA=90°.
∵∠A=60°,
∴∠FIE=360°-∠IFA-∠IEA-∠A=120°,
∴∠FDE=∠FIE=60°.
(2)猜想:α+β=180°.证明如下:
由(1)知∠FIE=180°-∠A,
又∵∠FIE=2∠FDE,
∴∠A=180°-2∠FDE=180°-2β.
∵∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A,
∴∠BIC=α=90°+(180°-2β),
∴α+β=180°.
224.2.2 课时2 直线和圆的位置关系(2)
【练基础】
必备知识1 切线的判定
1.下列说法中,正确的是 ( )
A.AB垂直于☉O的半径,则AB是☉O的切线
B.经过半径外端的直线是圆的切线
C.经过切点的直线是圆的切线
D.圆心到直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线
2.如图,以O为圆心作圆,所得的圆与直线a相切的是 ( )
A.以OA为半径的圆
B.以OB为半径的圆
C.以OC为半径的圆
D.以OD为半径的圆
3.如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD,BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.判断直线PD是否为☉O的切线 并说明理由.
4.如图,以△ABC的边BC为直径的☉O,交AB边于点D,D为AB的中点,DE⊥AC于点E.
(1)求证:AC=BC.
(2)求证:DE是☉O的切线.
必备知识2 切线的性质
5.如图,直线AD是☉O的切线,A为切点,OD交☉O于点B,点C在☉O上,且∠ODA=36°,则∠ACB的度数为 ( )
A.54° B.36°
C.30° D.27°
6.如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数为 ( )
A.75° B.70°
C.65° D.60°
7.如图,PA是☉O的切线,切点为A,PO的延长线交☉O于点B,若∠P=40°,则∠B的度数为 ( )
A.20° B.25°
C.40° D.50°
8.如图,在☉O中,AB切☉O于点A,连接OB交☉O于点C,过点A作AD∥OB交☉O于点D,连接CD.若∠B=50°,则∠OCD的度数为 ( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
9.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D.若☉O的半径为1,则BD的长为 .
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O为边AC上一点,以O为圆心,AO的长为半径的☉O与AB相交于点D,且CD与☉O相切于点D.
(1)求证:CD=CB.
(2)若CE=2,CB=3,求r.
【练能力】
11.【石家庄月考】如图1和图2,已知P是☉O上一点,用直尺和圆规过点P作一条直线,使它与☉O相切于点P.以下是甲、乙两人的作法:
甲:如图1,连接OP,以P为圆心,OP的长为半径画弧交☉O于点A,连接并延长OA,再在OA上截取AB=OP,直线PB即所求.
乙:如图2,作直径PA,在☉O上取一点B(异于点P,A),连接AB和BP,过点P作∠BPC=∠A,则直线PC即所求.
对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是 ( )
A.甲、乙两人的作法都正确
B.甲、乙两人的作法都错误
C.甲的作法正确,乙的作法错误
D.甲的作法错误,乙的作法正确
12.如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.
(1)求证:△CBA≌△DAB.
(2)若BE=BF,求证:AC平分∠DAB.
【练素养】
13.已知AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是☉O上半部分的一个动点,连接OP,CP.
(1)如图1,△OPC的最大面积为 .
(2)如图2,延长PO交☉O于点D,连接DB,当CP=DB时,求证:CP是☉O的切线.
参考答案
练基础
1.D 2.D
3.【解析】PD是☉O的切线.理由如下:
∵AB为直径,∴∠ADB=90°,
∴∠ADO+∠ODB=90°.
∵OD=OB,
∴∠OBD=∠ODB,
且∠PDA=∠PBD,
∴∠ADO+∠PDA=90°,即∠PDO=90°.
又∵直线PD经过☉O半径的外端,
∴PD是☉O的切线.
4.【解析】(1)如图,连接CD.
∵BC是☉O的直径.
∴∠BDC=90°,
∴CD⊥AB.
又∵D为AB的中点,∴AD=BD,
∴AC=BC.
(2)如图,连接OD.
∵AD=BD,OC=OB,
∴OD是△ABC的中位线,
∴DO∥AC.
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD.
又∵点D在☉O上.
∴DE是☉O的切线.
5.D 6.B 7.B 8.B 9.
10.【解析】(1)证明:如图,连接OD.
∵CD与☉O相切于点D,
∴∠CDO=90°,
∴∠ADO+∠BDC=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°.
∵OD=OA,
∴∠A=∠ADO,
∴∠BDC=∠B,
∴CD=CB.
(2)设☉O的半径为r,
∴OD=OE=r.
且CE=2,CB=3,
∴CD=3,OC=2+r,
在Rt△ODC中,根据勾股定理,
得r2+32=(2+r)2,
解得r=.
练能力
11.A 【解析】甲正确.
理由:如图,连接PA.
∵AP=PO=AO,
∴△AOP是等边三角形,
∴∠OPA=∠OAP=60°.
∵AB=OP=AP,
∴∠APB=∠ABP.
∵∠OAP=∠APB+∠ABP,
∴∠APB=∠ABP=30°,
∴∠OPB=90°,
∴OP⊥PB,
∴PB是☉O的切线.
乙正确.
理由:∵AP是直径,
∴∠ABP=90°,
∴∠APB+∠PAB=90°.
∵∠BPC=∠BAP,
∴∠APB+∠BPC=90°,
∴∠APC=90°,
∴OP⊥PC,
∴PC是☉O的切线.
故选A.
12.【解析】(1)∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△CBA与Rt△DAB中,
∴Rt△CBA≌Rt△DAB(HL).
(2)解法一:由(1)知BC⊥EF,
∵BE=BF,∴BC平分∠EBF.
∵AB为半圆O的直径,BE为切线,∴BE⊥AB,
∴∠DAC=∠DBC=∠CBE=90°-∠E=∠CAB,
∴AC平分∠DAB.
解法二:∵BE=BF,∴∠E=∠BFE.
∵AB为半圆O的直径,BE为切线,∴AD⊥BD,BE⊥AB,
∴∠CAB=90°-∠E=90°-∠BFE=90°-∠AFD=∠CAD,
∴AC平分∠DAB.
练素养
13.【解析】(1)4.
提示:∵AB=4,
∴OB=2,OC=OB+BC=4.
在△OPC中,设OC边上的高为h.
∵S△OPC=OC·h=2h.
∴当h最大时,S△OPC取得最大值.
观察图形,当OP⊥OC时,h最大,如图1所示:
此时h=2,S△OPC=2×2=4.
∴△OPC的最大面积为4.
故答案为4.
(2)证明:如图2,连接AP,BP.
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD,
∴=,∴=,
∴AP=BD.
∵CP=DB,∴AP=CP,
∴∠A=∠C.
在△APB与△CPO中,
∴△APB≌△CPO(SAS),
∴∠APB=∠CPO.
∵AB是直径,∴∠APB=90°,
∴∠OPC=90°,∴DP⊥PC.
∵DP经过圆心,
∴CP是☉O的切线.
224.2.2 课时1 直线和圆的位置关系(1)
【练基础】
必备知识1 直线和圆的位置关系
1.已知☉O的半径为3,点O到直线l的距离为4,则下列能够反映直线l与☉O位置关系的图形是 ( )
A B C D
2.在平面直角坐标系中,以点(2,1)为圆心,1为半径的圆与坐标轴的位置关系为 ( )
A.与x轴相离、与y轴相切
B.与x轴、y轴都相离
C.与x轴相切、与y轴相离
D.与x轴、y轴都相切
3.已知☉O的半径为3,点O到直线m的距离为d,若直线m与☉O公共点的个数为2,则d可取 ( )
A.0 B.3 C.3.5 D.4
4.已知☉O的半径R= cm,点O到直线l的距离为d,如果直线l与☉O有公共点,那么 ( )
A.d≤ cm B.d< cm
C.d≥ cm D.d> cm
【练能力】
5.设☉O的半径为4,点O到直线a的距离为d,若☉O与直线a至多只有一个公共点,则d的取值范围为 ( )
A.d≤4 B.d<4 C.d≥4 D.d=4
6.如图,∠BOA=30°,M是OB上一点,以M为圆心、2 cm为半径作☉M,点M在射线OB上运动,当OM=5 cm时,☉M与直线OA的位置关系是 .
7.已知Rt△ABC的斜边AB=6,直角边AC=3,以点C为圆心作☉C.
(1)当半径r为 时,直线AB与☉C相切.
(2)当☉C与线段AB只有一个公共点时,半径r的取值范围为 .
(3)当☉C与线段AB没有公共点时,半径r的取值范围为 .
8.如图,☉O的半径为2,AB,AC是☉O的两条弦,AB=2,AC=4.如果以O为圆心,作一个与AC相切的圆,那么这个圆的半径是多少 它与AB有怎样的位置关系 为什么
【练素养】
9.如图,☉O的半径为1,圆心O在等边三角形的边AB上移动.试讨论:在移动过程中,☉O与AC边有不同个数的交点时,OA的取值情况.
参考答案
练基础
1.D 2.C 3.A 4.A
练能力
5.C 6.相离
7.(1) (2)r=或33
8.【解析】如图,作OE⊥AC于点E,连接OA,
则AE=AC=2,
则OE==2,
∴以O为圆心,作一个与AC相切的圆,所作的圆的半径是2.
所作的圆与AB相离,理由如下:
作OF⊥AB于点F,
则AF=AB=,
∴OF==.
∵>2,
∴所作的圆与AB相离.
练素养
9.【解析】①如图1,当☉O与AC边有1个交点D时,连接OD,有OD⊥AC,
∴∠ADO=90°.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=60°,
∴∠AOD=30°,∴OA=2AD.
在Rt△AOD中,AD2+OD2=OA2,
∴AD2+1=4AD2,解得AD=,
∴OA=.
②如图2,当☉O与AC刚好有两个交点A,D时,连接OD,有OA=AD=OD=1,
于是当1≤OA<时,有两个交点.
③当OA>时,无交点.
④当0≤OA<1时,☉O与AC只有一个交点.
综上所述,当☉O与AC边的交点个数为0时,OA>;
当☉O与AC边的交点个数为1时,0≤OA<1或OA=;
当☉O与AC边的交点个数为2时,1≤OA<.
2
