第二十二章 二次函数 分层练习（含解析） 2023-2024学年数学人教版九年级上册

第二十二章 二次函数 自我评估
(建议用时:80分钟　分值:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)
1.二次函数y=x2-2的顶点坐标是 ( )
A.(-2,0) B.(0,2) C.(0,-2) D.(2,0)
2.在平面直角坐标系中,将抛物线y=-5x2+3向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度后所得抛物线的函数表达式为 ( )
A.y=-5(x+1)2+4 B.y=-5(x+1)2+2
C.y=-5(x-1)2+2 D.y=-5(x-1)2+4
3.下列关于抛物线y=(x-1)2+3的说法不正确的是 ( )
A.抛物线开口向上
B.抛物线的顶点是(1,3)
C.抛物线与y轴的交点是(0,3)
D.当x>1时,y随x的增大而增大
4.若二次函数y=x2-6x+c的图象经过A(-1,y1),B(2,y2),C(3+,y3)三点,则关于y1,y2,y3的大小关系的结论正确的是 ( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2
C.y2>y1>y3 D.y3>y1>y2
5.已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为 ( )
A.-2 B.-4 C.2 D.4
6.【石家庄期中】已知一次函数y=x+c的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
A　　　　 B　　　 　C　　　 　D
7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),下表列出了该函数的x,y的部分对应值,则一元二次方程ax2+bx+c+7=0的根是 ( )
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … 4 5 4 2 -1 -7 …
A.x1=2,x2=-3 B.x1=-5,x2=-3
C.x1=-4,x2=3 D.x1=-5,x2=3
8.如图,一条抛物线与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点(点B在点A的右侧),其顶点P在线段MN上移动,M,N的坐标分别为(-1,2),(1,2),x1的最小值为-3,则x2的最大值为 ( )
A.-1 B.1 C.3 D.5
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分)
9.若函数y=(a-2)-x+1是关于x的二次函数,则a的值为　 .
10.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a-b+c的值为　 .
11.【张家口期中】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出以下结论:①abc>0;②4ac0;④当x<0时,y随x的增大而减小;⑤a+b+c>0.其中正确的有　 .(只填序号)
12.【石家庄月考】抛物线L:y=x2+mx+n经过图中的网格区域.
(1)当抛物线L过原点及点(1,0)时,m+n的值是　 .
(2)当m+n=1,且抛物线L恰好只经过图中网格区域(包括边界)中的3个格点(横纵坐标均为整数),则满足条件的整数m有　 个.
三、解答题(本大题共8小题,满分60分)
13.(6分)把抛物线C1:y=(x+1)2+2先向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度得到抛物线C2.
(1)直接写出抛物线C2的函数关系式:　 .
(2)动点P(a,-6)能否在抛物线C2上 请说明理由.
14.(6分)已知在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(0,-5),C(2,3),求这个二次函数的解析式,并求出其图象的顶点坐标和对称轴.
15.(6分)已知抛物线y=2x2-4x+c与x轴有两个不同的交点.
(1)求c的取值范围.
(2)若抛物线y=2x2-4x+c经过点A(2,m)和点B(3,n),试比较m与n的大小,并说明理由.
16.(6分)如图,这二次函数y=ax2+bx+c的部分图象.
(1)解方程ax2+bx+c=0.
(2)求a-b+c的值.
17.(8分)【保定期末】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,B的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,-3).
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)设这个二次函数的图象的顶点为M,求△ABM的面积.
(3)若方程x2+bx+c=k有两个不相等的实数根,则k的取值范围是　 .
18.(8分)如图,儿童游乐场有一项射击游戏.从O处发射小球,将球投入正方形篮筐DABC.正方形篮筐三个顶点为A(2,2),B(3,2),D(2,3).小球按照抛物线y=-x2+bx+c飞行.小球落地点P的坐标为(n,0).
(1)点C坐标为　 .
(2)小球飞行中最高点N的坐标为　 (用含有n的代数式表示).
(3)验证:随着n的变化抛物线的顶点在函数y=x2的图象上运动.
(4)若小球发射之后能够直接入篮,球没有接触篮筐,请直接写出n的取值范围.
19.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线的对称轴是直线x=1,且与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,-3),OB=OC.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在抛物线上是否存在点Q,使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)设点P在抛物线上,且在直线BC的下方,求使△BCP的面积为最大整数时点P的坐标.
20.(10分)【2019·河北中考】如图,若b是正数,直线l:y=b与y轴交于点A;直线a:y=x-b与y轴交于点B;抛物线L:y=-x2+bx的顶点为C,且L与x轴的右交点为D.
(1)若AB=8,求b的值,并求此时L的对称轴与a的交点坐标.
(2)当点C在l下方时,求点C与l距离的最大值.
(3)设x0≠0,点(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分别在l,a和L上,且y3是y1,y2的平均数,求点(x0,0)与点D的距离.
(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上,把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数.
参考答案
1.C　2.B　3.C　4.B　5.B　6.A
7.D　【解析】一元二次方程ax2+bx+c+7=0的根是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-7的交点的横坐标.由题中表格,可知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-7的一个交点为(3,-7).因为当x=-2和x=0时,函数值都是4,所以抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1.根据抛物线的对称性,可知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-7的另一个交点坐标为(-5,-7),所以一元二次方程ax2+bx+c+7=0的根是x1=-5,x2=3.故选D.
8.C　【解析】当抛物线的顶点平移到点M时,x1的值最小,设此时抛物线的解析式为y=a(x+1)2+2,把(-3,0)代入,得a=-,所以当抛物线的顶点平移到点N时,抛物线的解析式为y=-(x-1)2+2.令y=0,得x=3或x=-1,所以此时抛物线与x轴的两个交点坐标为(3,0)和(-1,0),所以x2的最大值为3.故选C.
9.-2　10.0
11.①②③④　【解析】根据图象可知,a>0,c<0,->0,∴b<0,∴abc>0,故①正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即4ac0,故③正确;由题图可知,当x<0时,y随x的增大而减小,故④正确;当x=1时,y<0,即a+b+c<0,故⑤错误.故正确的有①②③④.
12.(1)-1　(2)3　【解析】(1)将(1,0)代入y=x2+mx+n得1+m+n=0,
∴m+n=-1.
故答案为-1.
(2)当x=1时,y=1+m+n=2,
∴抛物线经过定点(1,2).
①当点(1,2)是抛物线顶点时,那么抛物线对称轴为直线x=-=1,
解得m=-2,
∴n=3,
∴y=x2-2x+3.
如图,当(1,2)为抛物线顶点,抛物线经过(1,2),(0,3),(2,3),
∴m=-2.
②当(1,2)不是抛物线的顶点,而是抛物线上关于直线x=2对称的其中的一个点,那么抛物线也应经过点(3,2),如图,当抛物线经过(1,2),(2,1),(3,2)时,
抛物线对称轴为直线x=-=2,
解得m=-4.
③当(1,2)不是抛物线的顶点,也在图中找不到对应格点时,要想抛物线L恰好只经过网格区域(包括边界)中的3个格点(横纵坐标均为整数),抛物线应经过(2,0),(3,0),如图,
此时抛物线对称轴为直线x=-=,
解得m=-5,
∴满足条件的m有3个,
故答案为3.
13.【解析】(1)y=(x-3)2-3.
(2)动点P(a,-6)不在抛物线C2上.理由如下:
∵抛物线C2的函数关系式为y=(x-3)2-3,
∴函数的最小值为-3.
∵-6<-3,
∴动点P(a,-6)不在抛物线C2上.
14.【解析】所求函数的解析式为y=-x2+6x-5.
∵y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,
∴这个函数图象的顶点坐标为(3,4),对称轴为直线x=3.
15.【解析】(1)∵抛物线y=2x2-4x+c与x轴有两个不同的交点,
∴b2-4ac=16-8c>0,∴c<2.
(2)∵抛物线y=2x2-4x+c的对称轴为直线x=1,
∴点A(2,m)和点B(3,n)都在对称轴的右侧.
当x≥1时,y随x的增大而增大,∴m16.【解析】(1)由图象可知此抛物线的对称轴为直线x=2,则它与x轴的另外一个交点的横坐标是-1,
∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1=-1,x2=5.
(2)把(-1,0)代入y=ax2+bx+c,得a×(-1)2+b×(-1)+c=0,即a-b+c=0.
17.【解析】(1)把(3,0),(0,-3)代入y=x2+bx+c,
得 解得
∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3.
(2)在y=x2-2x-3中,
当y=0时,x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴AB=4.
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴顶点M坐标为(1,-4),
∴S△ABM=×4×4=8.
(3)k>-4.
18.【解析】(1)(3,3).
(2),.
(3)把x=代入y=x2=2=,
∴抛物线的顶点在函数y=x2的图象上运动.
(4)19.【解析】(1)∵C(0,-3),OB=OC,∴B(3,0).
∵抛物线的对称轴是直线x=1,与x轴交于A,B两点,
∴点A,B关于直线x=1对称,
∴A(-1,0).
由A(-1,0),B(3,0),设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),
将C(0,-3)代入,得-3a=-3,∴a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.
(2)存在点Q,使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形.
设Q(m,m2-2m-3),又∵B(3,0),C(0,-3),
∴BQ2=(m-3)2+(m2-2m-3)2,CQ2=m2+(m2-2m-3+3)2,BC2=18.
当BQ为斜边时,(m-3)2+(m2-2m-3)2=m2+(m2-2m-3+3)2+18,
∴m2-6m+9+(m2-2m)2-6(m2-2m)+9=m2+(m2-2m)2+18,
解得m=0(与C重合,舍去)或m=1,
∴Q(1,-4);
当CQ为斜边时,(m-3)2+(m2-2m-3)2+18=m2+(m2-2m-3+3)2,
∴m2-6m+9+(m2-2m)2-6(m2-2m)+9+18=m2+(m2-2m)2,
解得m=3(与B重合,舍去)或m=-2,
∴Q(-2,5).
综上所述,点Q的坐标为(1,-4)或(-2,5).
(3)如图,过点P作PD∥y轴交BC于点D,
由B(3,0),C(0,-3)可得直线BC的解析式为y=x-3.
设P(t,t2-2t-3),则D(t,t-3),
∴PD=(t-3)-(t2-2t-3)=-t2+3t,
∴S△BCP=PD·|xB-xC|=(-t2+3t)×3=-t2+t=-t-2+.
∵当t=时,S△BCP最大,最大为,
∴S△BCP为整数时的最大值是3,
此时-t-2+=3,解得t=1或t=2,
∴P(1,-4)或(2,-3).
20.【解析】(1)当x=0时,y=x-b=-b,∴B(0,-b).
易知点A(0,b),
∴b-(-b)=8,∴b=4.
∴L∶y=-x2+4x的对称轴为直线x=2,当x=2时,y=x-4=-2,
∴L的对称轴与a的交点坐标为(2,-2).
(2)∵y=-x-2+,
∴L的顶点C,.
∵点C在l下方,∴C与l的距离为b-=-(b-2)2+1≤1.
∴点C与l的距离的最大值为1.
(3)由题意得y3=,即y1+y2=2y3,
得b+x0-b=2(-+bx0),
解得x0=0或x0=b-,
∵x0≠0,∴x0=b-.
对于L,当y=0时,0=-x2+bx,即0=-x(x-b).
解得x1=0,x2=b,
∵b>0,∴右交点D为(b,0),
∴点(x0,0)与点D的距离为b-b-=.
(4)当b=2019时,“美点”的个数为4040;
当b=2019.5时,“美点”的个数为1010.
①当b=2019时,抛物线L:y=-x2+2019x,
直线a:y=x-2019.
联立上述两个解析式可得,x1=-1,x2=2019.
可知每一个整数x值都对应一个整数y值,且-1和2019之间(包括-1和-2019)共有2021个整数.
∵所围成的封闭图形的边界分两部分:线段和抛物线,
∴线段和抛物线上各有2021个整数点,总计4042个整数点.
∵这两段图象有2个交点,即有2个点重复的,
∴“美点”的个数为4042-2=4040.
②当b=2019.5时,抛物线L:y=-x2+2019.5x,
直线a:y=x-2019.5.
联立上述两个解析式可得,x1=-1,x2=2019.5.
对于一次函数y=x-2019.5,当x取整数时,y取不到整数值,因此在该图象上“美点”的个数为0,
对于二次函数y=-x2+2019.5x,当x为偶数时,函数值y可取整数,
可知-1到2019.5之间有1010个偶数,因此“美点”的个数为1010.
综上,当b=2019时,“美点”的个数为4040;当b=2019.5时,“美点”的个数为1010.
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