3.4.2相似三角形的性质
教学目标
【知识与技能】
理解掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系.
【过程与方法】
对性质定理的探究，学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.
【情感态度】
在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律.
【教学重点】
相似三角形性质的应用.
【教学难点】
相似三角形性质的应用.
教学过程
一、情景导入，初步认知
1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？
2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？
3.相似三角形的判定方法有哪些？
【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习做准备.
二、思考探究，获取新知
1.根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？
【归纳结论】相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2.如图，△ABC和△A′B′C′是两 ( http: / / www.21cnjy.com )个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？
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证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B=∠B′，
又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°,
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.
你能得到什么结论？
【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比.
3.如图，△A′B′C′和△ABC是两个相似三角形，相似比为k，求这两个三角形的角平分线A′D′与AD的比.
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解：∵△A′B′C′∽△ABC,
∴∠B′=∠B,∠A′B′C′=∠ABC,
∵A′D′,AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线，
∴∠B′A′D′=∠BAD,
∴△A′B′D′∽△ABD.（有两个角对应相等的两个三角形相似)
∴=k
根据上面的探究，你能得到什么结论？
【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
4.在上图中，如果AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的中线，那么，AD和A′D′之间有什么关系？你能证明你的结论吗？
【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
5.如图△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′=k，AD、A′D′为高线.
(1)这两个相似三角形周长比为多少？
(2)这两个相似三角形面积比为多少？
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分析：（1）由于△ABC ∽△A′B′C′,
所以AB︰A′B′=BC︰B′C′=AC︰A′C′=k.
由并比的性质可知，
（AB+BC+AC) ︰(A′B′+B′C′+A′C′)=k.
（2）由题意可知,
因为 △ABD∽△A′B′D′,
所以AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.
因此可得,
△ABC的面积︰△A′B′C′的面积
=（AD·BC）︰（A′D′·B′C′）
=k2.
【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合情推理，得出结论.学生可以通过合作交流，找出解决问题的方法.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P86例9、P88例11、例12.
2.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且=，B′D′=4，则BD的长为____.
分析：因为△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，
【答案】 6
3.在△ABC和△DEF中，AB=2D ( http: / / www.21cnjy.com )E,AC=2DF,∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（）
A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6
分析：根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3，所以选A.
【答案】 A
4.已知△ABC∽△A′B′C′且S△ABC∶S△A′B′C′=1∶2，则AB∶A′B′=_____．
分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求AB∶A′B′=1∶.
【答案】 1∶
5.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的，那么边长应缩小到原来的_____.
分析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为，所以边长应缩小到原来的.
【答案】
6.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.
（1）则图中有几对相似三角形;
（2）若AD=9 cm,CD=6 cm,求BD;
（3）若AB=25 cm,BC=15 cm,求BD.
解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°.
在△ADC和 △ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
同理可知，△CDB∽△ACB.∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形.
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7.如图 ，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．
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（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长.
（1）证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，
∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，
∴△CDF∽△BGF．
（2） 由（1）知△CDF∽△BGF，
又F是BC的中点，∴BF=FC，
∴△CDF≌△BGF，
∴DF=FG,CD=BG.
又∵EF∥CD，AB∥CD，
∴EF∥AG，得2EF=AB+BG．
∴BG=2EF-AB=2×4-6=2，
∴CD=BG=2cm．
8.已知△ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.
分析：由△ABC的三边长可以判断出 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC为直角三角形，又因为△ABC∽△A′B′C′，所以△A′B′C′也是直角三角形，那么由△A′B′C′的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出△A′B′C′的两条直角边长，再求得△A′B′C′的面积．
解：设△ABC的三边依次为：BC=5,AC=12,AB=13，
∵AB2=BC2+AC2，
∴∠C=90°．
又∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠C′=∠C=90°．
又BC=5,AC=12，
∴B′C′=10,A′C′=24．
∴S=A′C′×B′C′=×24×10=120．
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（2）已知：两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．
分析：（1）用同一个字母k表示出x，y，z．再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；
（2）根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解.
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【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题3.4”中第6、7、9题.
教学反思
本节的主要内容是导出相似三角形的性质定理 ( http: / / www.21cnjy.com )，并进行初步运用，让学生经历相似三角形性质探索的过程，提高数学思考、分析和探究活动的能力，体会相似三角形中的变量与不变量，体会其中蕴涵的数学思想.第2课时相似三角形的判定(2)
教学目标
【知识与技能】
经历三角形相似的判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”的探索及证明过程.
【过程与方法】
让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心.
【教学重点】
掌握判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似.
【教学难点】
会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似.
教学过程
一、情景导入，初步认知
问题：（1）相似三角形的定义是什么？
三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似.
(2) 判定两个三角形相似，你有哪些方法？
方法1：通过定义 (不常用)；
方法2：通过平行线（条件特殊，使用起来有局限性）；
方法3：判定定理1， 两角分别相等的两个三角形相似.
【教学说明】引导学生复习学过的知识，承前启后，激发学生学习新知的欲望.
二、思考探究，获取新知
下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似.
1.我们学习了三角形相似的判定定理1，类似于三角形全等的“SAS”判定方法，你能通过类比的方法猜想到三角形相似的其它判定方法吗？
2.任意画△ABC与△A′B′C′，使∠A′=∠A， =k.
(1)分别度量∠B′和∠B，∠C′和∠C的大小，它们分别相等吗？
(2)分别度量BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？
(3)改变∠A或k的大小，你的结论相同吗？由此你有什么发现？
【教学说明】引导学生画图，并鼓励证明命题归纳结论.
【归纳结论】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
3.如图，在△ABC与△DEF中，已知∠ ( http: / / www.21cnjy.com )C=∠F,AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm.求证：△ABC∽△DEF.
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证明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm,DF=2.1cm,
EF=1.5cm，
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又∵∠C=∠F，
∴△ABC∽△DEF.
4.我们已经学习了三角形相似的2个判定定理，类似于三角形全等的“SSS”判定方法，你能通过类比的方法猜想三角形相似的其他判定方法吗？
5.你能证明你的结论吗？
已知：如图，在△A′B′C′和△ABC中，
求证：△A′B′C′∽△ABC.
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【教学说明】引导学生证明.
【归纳结论】三边成比例的两个三角形相似.
6.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，.求证：△ABC∽△A′B′C′.
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分析：已知两边成比例，只需证明三边成比例就可以证明两个三角形相似.可以利用勾股定理来证明.
【教学说明】用已学过的知识解题，并通过解题巩固对判定定理的理解.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P82例6、P84例8.
2.如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．
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解:（1）△ADE∽△ABC，两角相等；
（2）△ADE∽△ACB，两角相等；
（3）△CDE∽△CAB，两角相等；（4） ( http: / / www.21cnjy.com )△EAB∽△ECD，两边成比例且夹角相等；（5）△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等； （6）△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等．
3.在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由.
（1）AB＝5，AC＝3， ∠A=45°，
A′B′＝10，A′C′＝6，∠A′＝45°；
（2）∠A=38°，∠C=97°，
∠A′=38°，∠B′=45°；
（3）AB=2 ,BC=2，AC=10，
A′B′=2, B′C′=1 ,A′C′=5.
解：(1)SAS，相似；
(2)AA，相似；
(3)SSS，相似.
4.如图，BC与DE相交于点O.问
（1）当∠B 满足什么条件时，△ABC∽△ADE
（2）当AC∶AE 满足什么条件时，△ABC∽△ADE ？
（学生小组合作交流、讨论，教师巡视引导.）
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解：（1）∵ ∠A=∠A ,
∴ 当∠B=∠D时， △ABC∽△ADE.
（2）∵ ∠A=∠A ,
∴ 当AC∶AE=AB∶AD时，
△ABC∽△ADE.
5.如图，在等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．
解：∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°．
又∵∠MCN=45°，
∠CNA=∠B+∠BCN=45°+∠BCN，
∠MCB=∠MCN+∠NCB=45°+∠BCN．
∴∠CNA=∠MCB，
在△BCM和△ANC中，
∠A=∠B
∠CNA=∠MCB，
∴△BCM∽△ANC．
6.如图，已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，∠ACB=∠EDB=90°，点E在边AC上，CB、ED交于点F.
证明：△ABE∽△CBD.
证明：∵△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，
∴∠DBE=∠CBA=45°,
∴∠DBE-∠CBE=∠CBA-∠CBE.
即∠ABE=∠CBD，又=2，
∴△ABE∽△CBD.
7.在平行四边形ABCD中，M，N为对角线BD上两点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．
试说明△AMD∽△EMB.
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ADB=∠DBC，
∠MAD=∠MEB，
∴△MAD∽△MEB．
8.如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE.
分析：由于△ABD∽△ACE，则∠BAD=∠CAE，因此∠BAC=∠DAE，如果再进一步证明ABAD=ACAE，则问题得证．
证明:∵△ABD∽△ACE，
∴∠BAD=∠CAE．
又∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，
∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE．
∵△ABD∽△ACE，∴．
在△ABC和△ADE中，
∵∠BAC=∠DAE,A，
∴△ABC∽△ADE.
【教学说明】通过练习，使学生能够综合运用相似三角形的判定定理解决问题.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题3.4”中第1、3、4 题.
教学反思
相似三角形的判定主要介绍了四种方法 ,从练 ( http: / / www.21cnjy.com )习的结果来看,不是很理想,绝大部分学生对定理的应用不是很熟练，特别对于"两边对应成比例且夹角相等"不能灵活运用,夹角也不能准确找到.我想问题的主要原因在于学生对图形的认知不深,对定理的理解不透,一味死记结论.不能理解每个量所表示的含义.我想在下一阶段中应培养他们认识图形的能力,合情推理的能力,争取这方面有所提高.3.4相似三角形的判定与性质
3.4.1相似三角形的判定
第1课时相似三角形的判定(1)
教学目标
【知识与技能】
经历三角形相似的判定定理“平行于三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似”和“两角分别相等的两个三角形相似”的探索及证明过程.
【过程与方法】
让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐.
【教学重点】
三角形相似的判定定理及应用.
【教学难点】
三角形相似的判定定理及应用.
教学过程
一、情景导入，初步认知
现有一块三角形玻璃ABC, 不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整.如果用这两个角去配制一块完全一样的玻璃，能成功吗？
【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课.
二、思考探究，获取新知
1.在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
(1)△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
(2)分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？
(3)△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
【归纳结论】平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
2.如图，D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点，求证：△ADE与△ABC相似.
证明：∵D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
3.任意画△ABC与△A′B′C′，使∠A′=∠A，∠B′=∠B.
（1）∠C′=∠C吗？
（2）分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？
（3）把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现？
【教学说明】此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题.如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励.
【归纳结论】两角分别相等的两个三角形相似.
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．求证：△DEH∽△BCA．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠D+∠DHE=∠B+∠BHF=90°,
而∠BHF=∠DHE，
∴∠D=∠B，
又∵∠HED=∠C=90°，
∴△DEH∽△BCA．
三、运用新知，深化理解
1.见教材P78例2、P80例4.
2.判断题：
（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.（）
（2）所有的直角三角形都相似. （）
（3）有一个角相等的两个等腰三角形相似.（）
（4）顶角相等的两个等腰三角形相似.（）
【答案】 (1)√;(2)×;(3)×;(4) √
3.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽_____∽____.
解析：关键是找“角相等”，除已知条件中 ( http: / / www.21cnjy.com )已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角.本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC.再∠1=∠4（对顶角），由AB∥DG可得∠3=∠G，所以△EGC∽△EAB.
【答案】 △EGC△EAB
4.已知：在△ABC和△DEF中， ∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60°.
求证：△ABC∽△DEF .
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证明：∵ 在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，
∴ ∠C=180°－∠A －∠B
=180°－40°－80°
=60°，
∵ 在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°，
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F，
∴ △ABC∽△DEF.（两角对应相等，两三角形相似）
5.已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD.
分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得.借助于计算也是一种常用的方法.
证明：∵∠A=36°，
△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°，
在△ABC和△BCD中，
∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°，
∴△ABC∽△BCD.
6.已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.
求证：△ACD∽△ABC∽△CBD.
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，
∴ △ACD∽△ABC，（两角对应相等，两三角形相似）
同理 △CBD ∽ △ABC，
∴ △ABC∽△CBD∽△ACD.
【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流,让学生随时展示自己的想法.从而得到提高.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题3.4”中第2 题.
教学反思
通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明；少数学生在探究两个三角形相似的定理时，不会用学过的知识进行证明.
