【备课参考】2015秋湘教版九年级数学上册教案：2-4 一元二次方程根与系数的关系

*2.4一元二次方程根与系数的关系
教学目标
【知识与技能】
掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题.
【过程与方法】
经历一元二次方程根与系数关系的探究过程， ( http: / / www.21cnjy.com )培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想.
【情感态度】
通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神.
【教学重点】根与系数关系及运用.
【教学难点】定理的发现及运用.
教学过程
一、情景导入，初步认知
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的值是由a、b、c来决定的.除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？
【教学说明】由问题引入新课，提高学生学习兴趣.
二、思考探究，获取新知
1.探究规律
先填空，再找规律：
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2.若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，你能猜想x1+x2=______，x1·x2=______.
3.你能证明你的猜想吗？
当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根，分别为：
,
【归纳结论】当Δ≥0时，一元二次方程的根与 ( http: / / www.21cnjy.com )系数之间具有以下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.即：
这种关系称为韦达定理.
【教学说明】通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法.
三、运用新知，深化理解
1.教材P47例1、例2.
2.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的.
（1）平方和（2）倒数和
分析：根据一元二次方程的两根与系数之间的关系可求.
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3.已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值.
分析:根据一元二次方程的两根与系数之间的关系可求.
解：设方程的另一个根是x1，那么2x1=－6/5
∴x1=－3/5
又x1+2=－k/5
∴k=－7
4.已知一元二次方程x2-6x-5=0的两根为a、b，则1/a+1/b的值是多少？
解：∵a，b是一元二次方程的两根，
∴a+b=6，ab=-5，
5.已知方程x2-4x-1=0有两个实数根x1，x2，要求不解方程，求值：
(1)(x1+1)(x2+1)
(2)x2x1+x1x2
解：x1+x2=-b/a=4；x1x2=c/a=-1，
（1）（x1+1）（x2+1），
=x1x2+x1+x2+1，
=-1+4+1
=4；
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6.已知x，y均为实数，且满足关系式x2-2x-6=0，y2-2y-6=0，求x/y+y/x的值.
解：当x≠y时，
∵x、y满足关系式x2-2x-6=0，y2-2y-6=0，
∴x、y是z2-2z-6=0的两根，
∴x+y=2，xy=-6，
当x，y的值相等时，原式=2．
故答案为：-8/3或2．
【教学说明】目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业：教材“习题2.4”中第1、2、3题.
教学反思
此节课在研究方程的根与系数关系时，先从具体 ( http: / / www.21cnjy.com )例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程的根与系数关系，最后对此猜想的正确性作出证明.这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值.