2023-2024学年数学人教版九年级下册28.1 课时2 锐角三角函数(2)——余弦、正切 分层练习（含解析）

28.1　课时2　锐角三角函数(2)——余弦、正切
【练基础】
必备知识1 余弦
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cos B的值为 ( )
A. B.
C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A的值是 ( )
A. B. 2 C. D.
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,如果AC=4,cos B=,那么BC等于 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图,这是边长为1的正方形网格,A,B,C是网格线交点,则cos ∠ABC=　 .
5.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,OB=5,sin∠BOA=.
(1)求点B的坐标.
(2)求cos∠BAO的值.
必备知识2 正切
6.在△ABC中,∠C=90°,如果BC=3,AC=4,那么tan A的值是 ( )
A. B. C. D.
7.如图,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,则tan A的值为 ( )
A. B.
C.2 D.2
8.如图,在锐角三角形ABC中,AB=10,BC=9,△ABC的面积为27.则tan B的值为　 .
9.【张家口期末】已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC按如图所示的方式折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是　 .
【练能力】
10.如图,在正方形网格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则cos∠APC的值为 ( )
A. B. C. D.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,AC=8,BC=6,则∠ACD的正切值是 ( )
A. B.
C. D.
12.如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C均在网格交点上,☉O是△ABC的外接圆,则cos∠BAC的值为 ( )
A. B.
C. D.
13.如图,六个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角(如∠O)为60°,点A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值为　 .
14.如图,点C在线段AB上,且AC=2BC,分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形 ACDE、BCFG,连接 EC、EG,则tan∠CEG=　 .
15.如图,☉O的直径AB经过弦CD的中点H,若cos∠CDB=,BD=5,则☉O的半径为　 .
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,M是直角边AC上一点,MN⊥AB于点N,AN=3,AM=4,求cos B的值.
【练素养】
17.如图,E是矩形ABCD中CD边上一点,将△BCE沿BE折叠得到△BFE,点F落在边AD上.
(1)求证:△ABF∽△DFE.
(2)若sin∠DFE=,求tan∠EBC的值.
参考答案
练基础
1.A　2.D　3.A　4.
5.【解析】(1)如图,过点B作BC⊥OA于点C.
∵OB=5,sin∠BOA=,
∴BC=3,
∴OC===4.
又∵点B在第一象限内,
∴点B的坐标为(4,3).
(2)∵A(10,0),OC=4,∴AC=6,
∴AB===3,
∴cos∠BAO===.
6.A　7.A
8.　【解析】解法一:如图1,过点A作AH⊥BC于点H.∵BC=9,S△ABC=27,∴×9×AH=
图1
27,∴AH=6.∵AB=10,
∴BH===8,∴tan B===.
图2
解法二:如图2,过点C作CG⊥AB于点G.
∵AB=10,S△ABC=27,∴×10×CG=27,∴CG=.
∵BC=9,∴BG===,
∴tan B===.
9.　【解析】由折叠的性质,知BE=AE.设CE=x,则BE=AE=8-x.在Rt△BCE中,由勾股定理,得BE2=BC2+CE2,即(8-x)2=62+x2,
解得x=,∴CE=,∴tan∠CBE==.
练能力
10.B　【解析】设小正方形的边长为1,如图,把AB向上平移1个单位长度得到DE,连接CE,则DE∥AB,
∴∠APC=∠EDC.在△DCE中,易得EC==,DC==2,DE==5.∵EC2+DC2=DE2,∴△DCE为直角三角形,且∠DCE=90°,∴cos∠APC=cos∠EDC==.
11.D　12.B　13.　14.
15.【解析】解法一:如图1,连接OD.∵AB是☉O的直径,且经过弦CD的中点H,∴AB⊥CD,
∴∠OHD=∠BHD=90°.
∵cos∠CDB==,BD=5,
∴DH=4,∴BH==3.设OH=x,则OD=OB=x+3.
在Rt△ODH中,由勾股定理得OH2+DH2=OD2,即x2+42=(x+3)2,解得x=,∴OB=3+x=3+=.
解法二:如图2,连接AC.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,由同弧所对的圆周角相等,知∠CDB=∠CAB,
∴cos∠CAB=cos∠CDB=,即=.∵☉O的直径AB经过弦CD的中点H,
∴=,∴BC=BD=5.设AC=4x(x>0),
则AB=5x,根据勾股定理可知,AB2=BC2+AC2,即(5x)2=52+(4x)2,∴x=,∴AB=,∴☉O的半径为.
16.【解析】解法一:∵∠C=90°,MN⊥AB,
∴∠C=∠ANM=90°.
又∵∠A=∠A,∴∠AMN=∠B.
∵AN=3,AM=4,
∴MN==,
∴cos B=cos∠AMN==.
解法二:∵∠C=90°,MN⊥AB,
∴∠C=∠ANM=90°.
又∵∠A=∠A,∴△AMN∽△ABC,
∴==,
设AC=3x,AB=4x,
由勾股定理得BC==x,
在Rt△ABC中,cos B===.
练素养
17.【解析】(1)证明:由题意可得∠A=∠D=∠C=∠BFE=90°,
∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°.
又∵∠AFB+∠ABF=90°,
∴∠ABF=∠DFE,
∴△ABF∽△DFE.
(2)由折叠可得FB=BC,EF=EC.
∵sin∠DFE=,∴=,即EF=3DE,
∴AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE,
DF==2DE.
∵△ABF∽△DFE,∴=,
∴FB===3DE.
又∵FB=BC,EF=EC,
∴tan∠EBC===.
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