2023-2024学年数学人教版九年级下册28.2.1 解直角三角形 分层练习 （含解析）

28.2.1　解直角三角形
【练基础】
必备知识1 已知两边解直角三角形
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,AC=3,则∠A的度数为 ( )
A.30°　　　 B.40°　　　 C. 45°　　　 D.60°
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a=8,b=8,求这个三角形的其他元素.
必备知识2 已知一边及一锐角解直角三角形
3.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=10,∠B=36°,D为BC的中点,连接AD,则AD的长是 ( )
A.5sin 36° B.5cos 36°
C.5tan 36° D.10tan 36°
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,cos B=,M是AB的中点,则CM的长为 ( )
A.2　 B.3
C.4 D.6
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.求下列直角三角形中的未知量.
(1)∠A=30°,b=2.
(2)∠B=60°,c=12.
必备知识3 解直角三角形的综合应用
6.在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且sin A=,cos B=,AC=40,则△ABC的面积是 ( )
A.800　 B.800 C.400 D.400
7.如图,在△ABC中,过点B作BD⊥AB,交AC于点D,且AD∶CD=4∶3,∠ABC=150°.
(1)BD∶BC=　 .
(2)若AB=4,则△ABC的面积是　 .
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,CD=5 cm ,求AB的长.
【练能力】
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分线DE交AC于点D,交AB于点E,连接BD. 若cos∠BDC=,则BC的长是 ( )
A.4 B.2 C.10 D.8
10.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=60°,∠B=∠D=90°,BC=1,CD=2,则对角线AC等于 ( )
A. B.
C. D.
11.如图,在△ABC中,sin B=,tan C=,AC=5,则BC=　 .
12.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A=60°,求BC的长.
(2)若sin A=,求AD的长.
【练素养】
13.如图,一座钢结构桥梁的框架是△ABC,水平横梁BC长18米,中柱AD高6米.其中D是BC的中点,且AD⊥BC.
(1)求sin B的值.
(2)现需要加装支架DE,EF,点E在AB上,BE=2AE,且EF⊥BC,垂足为F,求支架DE的长.
14.阅读下面材料:
小红遇到这样一个问题:如图1,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠D=60°,AB=4,BC=,求AD的长.
小红发现,延长AB与DC相交于点E,通过构造Rt△ADE能够使问题得到解决(如图2).
(1)AD的长为　　　　.
(2)参考小红思考问题的方法,解决问题:
如图3,在四边形ABCD中,tan A=,∠B=∠C=135°,AB=9,CD=3,求BC和AD的长.
参考答案
练基础
1.A
2.【解析】在Rt△ABC中,∵∠C=90°,a=8,b=8,
∴tan B===,
∴∠B=60°,∴∠A=90°-∠B=30°,
∴c=2a=16.
故c=16,∠A=30°,∠B=60°.
3.C　4.B
5.【解析】(1)∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.
在Rt△ABC中,cos A==,
∵b=2,∴c=4,∴a=c=2.
综上所述,a=2,c=4,∠B=60°.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,
∴∠A=30°,∴sin A==.
∵c=12,∴a=6.
∵cos A==,c=12,∴b=6.
综上所述,a=6,b=6,∠A=30°.
6.D　7.(1)2∶7　(2)2
8.【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.
∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD=30°.
在Rt△BCD中,CD=5 cm ,∠CBD=30°,tan∠CBD=,
∴BC==5 cm,
∴AB=2BC=10 cm.
练能力
9.B　10.C　11.10
12.【解析】(1)∵∠A=60°,∠ABE=90°,
∴∠E=30°.
在Rt△ABE中,∵AB=6,tan A=,
∴BE=AB·tan A=6×tan 60°=6.
∵∠CDE=90°,CD=4,sin E=,
∴CE===8,∴BC=BE-CE=6-8.
(2)∵∠ABE=90°,AB=6,sin A==,
∴设BE=4x,则AE=5x,AB=3x,
∴3x=6,解得x=2.∴BE=8,AE=10,
∴tan E====,∴DE=,
∴AD=AE-DE=10-=.
练素养
13.【解析】(1)∵D是BC的中点,
∴BD=BC=9米.
∵AD⊥BC,
∴△ABD是直角三角形,
∴AB===3(米),
∴sin B===.
(2)∵EF⊥BC,AD⊥BC,∴EF∥AD,
∴△BEF∽△BAD,
∴===,
∴EF=AD=4(米),BF=BD=6(米),
则DF=BD-BF=9-6=3(米).
在Rt△DEF中,DE===5(米).
14.【解析】(1)6.
延长AB与DC相交于点E,如题图2.
在△ADE中,∵∠A=90°,∠D=60°,∴∠E=30°.
在Rt△BEC中,∵∠BCE=90°,∠E=30°,BC=,
∴BE=2BC=2,∴AE=AB+BE=4+2=6.
在Rt△ADE中,∵∠A=90°,∠E=30°,AE=6,
∴AD=AEtan E=6×=6.
(2)如图,延长AB与DC相交于点E.
∵∠ABC=∠BCD=135°,∴∠EBC=∠ECB=45°,
∴BE=CE,∠E=90°.
设BE=CE=x,则BC=x,AE=9+x,DE=3+x.
在Rt△ADE中,∵∠E=90°,tan A=,
∴=,即=,∴x=3,
∴BC=3,AE=12,DE=6,
∴AD===6.
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