2023-2024学年数学人教版九年级下册28.2.2 课时2 应用举例(2) 分层练习 （含解析）

28.2.2　课时2　应用举例(2)
【练基础】
必备知识1 方向角问题
1.如图,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,点P位于点A正北方向,点C位于点A的北偏西46°,若测得PC=50米,则小河宽PA为 ( )
A.50sin 44° 米 B.50cos 44° 米
C.50tan 44° 米 D.50tan 46° 米
2.如图,河宽CD为100米,在C处测得对岸A点在C点南偏西30°方向,对岸B点在C点南偏东45°方向,则A、B两点间的距离是　 米.(结果保留根号)
3.【2022·安徽中考】如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东37°方向上,沿正东方向行走90米至观测点D,测得A在D的正北方向,B在D的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离.(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
必备知识2 坡度、坡角问题
4.如图,一山坡的坡度i=1∶,小明从A处爬到B处所走的直线距离AB=10米,则他在垂直方向上升的高度CB为　 米.
5.如图,这是一地铁某站扶梯的示意图,扶梯AB的坡度i=5∶12(i为垂直高度与水平宽度的比).王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B,则王老师上升的垂直高度BC为　 米.
6.某商场为方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图,已知原阶梯式自动扶梯AB的长为10 m,扶梯AB的坡度为1∶,改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°,请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27)
【练能力】
7.如图,在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60 m的C点处有一个山坡,山坡CD的坡度(或坡比) i=1∶0.75,山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45 m.在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°,居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内,则居民楼AB的高度约为(参考数据:sin 28°≈0.47,cos 28°≈0.88,tan 28°≈0.53) ( )
A.76.9 m B.82.1 m
C.94.8 m D.112.6 m
8.如图,海岛B在海岛A的北偏东30°方向,且与海岛A相距20海里.一艘渔船从海岛B出发,以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行,同时一艘快艇从海岛A出发,向正东方向航行2小时后,快艇到达C处,此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处.(参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27,≈1.73)
(1)求∠ABE的度数.
(2)求快艇的速度及C,E之间的距离.
9.如图,某测量队在山脚A处测得山上树顶B处的仰角为45°,即∠BAC=45°.接着测量队在山坡上前进600米到D处,即AD=600米,此时测得山上树顶B处的仰角为60°,即∠BDE=60°.已知AD段山坡的坡角为30°,如果树高为15米,求山的高度.(精确到1米.参考数据:≈1.732)
【练素养】
10.如图,堤坝的横截面是梯形ABCD,迎水坡BC的坡角α为30°,背水坡AD的坡度i为1∶1.2,坝顶宽DC=2.5 m,坝高CE=5 m.
(1)求坝底宽AB的长.
(2)为了提高堤坝的防洪能力,市防汛指挥部决定加固堤坝,要求坝顶CD加宽0.5 m,背水坡AD的坡度改为1∶1.4.已知堤坝的总长度为5 km,求完成该项工程所需的土方.(结果保留根号)
参考答案
练基础
1.C　2.(100+100)
3.【解析】如图,在观测点C的正北方向上取一点E,∴CE∥AD,∴∠A=∠ECA=37°,
∴∠CBD=∠A+∠ADB=37°+53°=90°,
∴∠ABD=90°.
在Rt△BCD中,∠BDC=90°-53°=37°,CD=90米,cos ∠BDC=,
∴BD=CD·cos 37°≈90×0.80=72(米).
在Rt△ABD中,∠A=37°,BD=72米,tan A=,
∴AB=≈=96(米).
答:A,B两点间的距离约为96米.
4.5　5.
6.【解析】∵扶梯AB的坡度为1∶,
∴tan∠ABD==,∴∠ABD=30°.
在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10 m,
∴AD=AB=5 m.
在Rt△ACD中,sin∠ACD=,
即sin 15°=,∴AC=≈19.2(m).
故改造后的斜坡式自动扶梯AC的长约为19.2 m .
练能力
7.B
8.【解析】(1)如图,过点B作BD⊥AC于点D,作BF⊥CE于点F.
由题意得
∠NAB=30°,∠GBE=75°.
∵AN∥BD,∴∠ABD=∠NAB=30°.
而∠DBE=180°-∠GBE=180°-75°=105°,
∴∠ABE=∠ABD+∠DBE=30°+105°=135°.
(2)BE=5×2=10(海里).
在Rt△BEF中,∠EBF=90°-75°=15°,
∴EF=BE×sin 15°≈10×0.26=2.6(海里),
∴BF=BE×cos 15°≈10×0.97=9.7(海里).
在Rt△ABD中,AB=20,∠ABD=30°,
∴AD=AB×sin 30°=20×=10(海里),
∴BD=AB×cos 30°=20×=10≈10×1.73=17.3(海里).
∵BD⊥AC,BF⊥EC,CE⊥AC,∴∠BDC=∠DCF=∠BFC=90°,
∴四边形BDCF为矩形,
∴DC=BF=9.7,FC=BD=17.3,
∴AC=AD+DC=10+9.7=19.7(海里),
CE=EF+CF=2.6+17.3=19.9(海里).
设快艇的速度为v海里/时,则v==9.85(海里/时).
答:快艇的速度为9.85海里/时,C,E之间的距离为19.9海里.
9.【解析】过点D作DF⊥AC于点F(图略).
在Rt△ADF中,AF=AD·cos 30°=300米,DF=AD=300米.
设FC=x米,则AC=(300+x)米.
在Rt△BDE中,BE=DE·tan 60°=DE=FC=x米,
则BC=(300+x)米.
在Rt△ACB中,∠BAC=45°,∴AC=BC,
∴300+x=300+x,解得x=300,
∴BC=(300+300)米,
∴300+300-15=285+300≈805(米),
答:山的高度约为805米.
练素养
10.【解析】(1)如图,过点D作DF⊥AB,垂足为F,则四边形DFEC为矩形,
∴FE=DC=2.5 m,DF=CE=5 m.
∵背水坡AD的坡度i为1∶1.2,∴i==,
∴AF=1.2DF=6 m.
在Rt△CEB中,tan α=,
∴BE===5 m,
∴AB=AF+FE+EB=+5 m.
(2)如图,过点D'作D'G⊥A'B于点G,则D'G=CE=5 m.
由题意知,坡A'D'的坡度为1∶1.4,
∴在Rt△A'GD'中,=,∴A'G=1.4D'G=7 m.
∵CD'=0.5+2.5=3 m,
∴A'B=A'G+CD'+BE=(10+5)m,
∴梯形D'A'BC的面积为×(CD'+A'B)×D'G=×(3+10+5)×5=(m2).
∴完成该项工程所需的土方为×5000=(162500+62500)m3.
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