2023-2024学年数学人教版九年级下册第二十七章 相似 分层练习 （含解析）

第二十七章 相似 自我评估
(建议用时:100分钟　分值:100分)
一、选择题(本大题共10小题,每题3分,满分30分)
1.若=,则的值是 ( )
A.　　　 B. C.　　　 D.
2.【2023·邢台月考】两个正方形按如图所示位置摆放,则这两个正方形 ( )
A.位似
B.相似
C.不相似
D.既不相似,又不位似
3.如图,直线l1∥l2∥l3,若AB=2,BC=4,DE=3,则线段EF的长为 ( )
A.5
B.6
C.7
D.8
4.【2023·保定月考】一种燕尾夹如图1所示,图2是在闭合状态时的示意图,图3是在打开状态时的示意图(此时AB∥CD),相关数据如图(单位:cm).从图2闭合状态到图3打开状态,点B,D之间的距离减少了 ( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
5.如图,下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是 ( )
A.= B.=
C.∠ACD=∠B D.∠ADC=∠ACB
6.如图,在平面直角坐标系中,将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD,若B(0,1),D(0,3),则△OAB与△OCD的相似比是 ( )
A.2∶1 B.1∶2
C.3∶1 D.1∶3
7.【2023·承德月考】如图,这是嘉琪用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法,图中线段a与直尺垂直,线段b与数轴垂直,则点D表示的数是 ( )
A. B.
C.2 D.
8.中国古代在利用“计里画方”(比例缩放和平面直角坐标网格体系)的方法制作地图时,会利用测杆、水准仪和照板来测量距离.在如图所示的测量AB距离的示意图中,记照板“内芯”的高度为EF.观测者的眼睛(图中用点C表示)与BF在同一水平线上,则下列结论正确的是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
9.【2021·河北中考】图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图2所示,此时液面AB= ( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
10.【2023·邢台月考】如图,将△ABC的AB边与刻度尺的边缘重合,点A,D,B分别对应刻度尺上的整数刻度.已知DE∥AC,EF∥AB,AC=6,下列结论不正确的是 ( )
A.AF=4 B.CF=2.4
C.DE=3.6 D.EF=4
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,满分15分)
11.如图,点D在△ABC的AB边上,当=　 时,△ACD与△ABC相似.
12.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,如果AD=2,AE=3,CE=1,那么BD长为　 .
13.【2023·庐江月考】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,E是AD上一点,且BE=BD.则:
(1)∠ABE　 ∠C(填“>”、“=”或“<”).
(2)若BD∶BC=2∶5,AD=12,则DE的长是　 .
14.【2023·保定月考】将边长为2的正六边形按照如图所示的方式向外扩张,得到新的六边形,它们的对应边的距离均为.
(1)新的六边形与原六边形　 .(填“相似”或“不相似”)
(2)扩张后六边形的周长比原来增加了　 .
15.【2023·保定月考】如图,AF与BE相交于点G,点C,D分别在AG,BG边上,AB∥CD∥EF.
(1)若=,则=　 .
(2)若=,则=　 .
三、解答题(本大题共7小题,满分55分)
16.(6分)已知a∶b∶c=2∶3∶5.
(1)求代数式的值.
(2)如果3a-b+c=48,求a,b,c的值.
17.(6分)如图,已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线l1,l2于点A,B,C和点D,E,F,=,AC=10.
(1)求AB,BC的长.
(2)如果AD=7,CF=12,求BE的长.
18.(7分)已知△ABC三个顶点的坐标分别A(0,2),B(3,3),C(2,1).
(1)画出△ABC.
(2)以原点为位似中心,将△ABC放大到原来的2倍,在网格图中画出放大后的图形△A1B1C1.
(3)在(2)中,△ABC内一点P(a,b)的对应点为P1,直接写出点P1的坐标.
19.(8分)如图,在△ABC和△DEC中,∠A=∠D,∠BCE=∠ACD.
(1)求证:△ABC∽△DEC.
(2)若S△ABC∶S△DEC=4∶9,BC=6,求EC的长.
20.(8分)如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:EF∥BC.
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
21.(8分)综合与实践:如图,学校为了照明,在墙BC上方安装一个小型灯杆AB(点A为灯泡的位置,A、B、C三点在一直线上),当小明站在E处时,他在地面上的影长EF=1 m,小亮站在H处时,他在地面上的影长HM=1.6 m.小亮和小明之间的距离HE=4 m,已知小明的身高DE为1.5 m.小亮的身高GH为1.6 m,灯杆AB的高为1.8 m,求墙BC的高.
22.(12分)综合与探究:如图,在△ABC中,∠B=∠C=α(0<α<60°).将一把三角尺中30°角的顶点P放在BC边上,当点P在BC边上移动时,三角尺中30°角的一条边始终过点A,另一条边交AC边于点Q,P,Q不与三角形顶点重合.设∠CPQ=β.
(1)用α、β表示∠1(即∠APB)和∠2(即∠PAB).
(2)①当β在许可范围内变化时,α取何值总有△ABP∽△PCQ
②当α在许可范围内变化时,β取何值总有△ABP∽△QCP
(3)试探索有无可能使△ABP、△QPC、△ABC两两相似 若可能,写出所有α、β的值(不写过程);若不可能,请说明理由.
参考答案
1.A
2.B　【解析】∵两个正方形对应角相等、对应边成比例但对应顶点的连线没有相交于一点,
∴两个正方形相似但不位似.
故选B.
3.B
4.B　【解析】
连接BD,如图所示:
由题意得,=,∠A=∠A,
∴△AEF∽△ABD,
∴=,
∴=,
∴BD=5 cm,
∴点B,D之间的距离减少了5-2=3(cm).
故选B.
5.B　6.D
7.B　【解析】
如图,OA=2,OB=3,OC=5,
∵BC⊥OB,AD⊥OD,
∴∠ODA=∠OBC=90°.
∵∠AOD=∠COB,
∴△ODA∽△OBC,
∴=,即=,
解得OD=,
∴点D表示的数是.
故选B.
8.C　9.C
10.A　【解析】由题意得:AD=4,BD=6,AB=10.
∵DE∥AC,EF∥AB,
∴四边形ADEF为平行四边形,
∴AF=DE,EF=AD=4.
∵EF∥AD,
∴△CEF∽△CBA.
∴=,
∴=,
∴CF=2.4,
∴AF=AC-CF=6-2.4=3.6,
∴A选项不正确,符合题意;
∴B选项正确,不符合题意;
∵DE=AF=3.6,
∴C选项正确,不符合题意;
∵EF=AD=4,
∴D选项的结论正确,不符合题意.
故选A.
11.　12.4
13.(1)=　(2)4　【解析】(1)∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵BE=BD,
∴∠BED=∠BDE,
∴∠AEB=∠ADC,
∴∠ABE=∠C.
故答案为=.
(2)由(1)得∠BAD=∠CAD,∠AEB=∠ADC,
∴△ABE∽△ACD,
∴=.
∵BD∶BC=2∶5,
∴=.
∵BE=BD,
∴==.
∵AD=12,
∴AE=8,
∴DE=12-8=4.
故答案为4.
14.(1)相似　(2)12　【解析】(1)∵新的六边形是原六边形向外扩张得到,
∴新的六边形与原六边形相似.
故答案为相似.
(2)
如图,A1B1为对应边,点O为正六边的中心,则点A在OA1上,点B在OB1上,过点O作OH1⊥A1B1交AB于点H,交A1B1于点H1,则HH1=,
∵AB为正六边的边长,
∴∠AOB=60°,
∴∠AOH=30°,AH=BH=1,
∴OH=AH=,
∴OH=HH1.
∵AB∥A1B1,
∴==,
∴A1B1=2AB=4,
∴A1B1-AB=2,
即扩张后六边形的边长比原来增加了2,
∴扩张后六边形的周长比原来增加了12.
故答案为12.
15.(1)　(2)　【解析】(1)∵AB∥EF,
∴==,
∴=,
故答案为.
(2)∵AB∥CD,
∴△CDG∽△ABG,
∴=()2=,
∴=,
故答案为.
16.【解析】(1)∵a∶b∶c=2∶3∶5,
∴设a=2k,b=3k,c=5k(k≠0),
则==1.
(2)设a=2k,b=3k,c=5k(k≠0),
则6k-3k+5k=48,解得k=6,
则a=2k=12,b=3k=18,c=5k=30.
17.【解析】(1)∵AD∥BE∥CF,
∴==,∴=.
∵AC=10,∴AB=4,∴BC=10-4=6.
(2)如图,过点A作AG∥DF交BE于点H,交CF于点G.
又∵AD∥BE∥CF,AD=7,
∴AD=HE=GF=7.
∵CF=12,∴CG=12-7=5.
∵BE∥CF,∴=,
∴=,∴BH=2,
∴BE=2+7=9.
18.【解析】(1)如图,△ABC即所求.
(2)如图,△A1B1C1即所求.
(3)点P1的坐标为(2a,2b).
19.【解析】(1)证明:∵∠BCE=∠ACD,
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,
∴∠DCE=∠ACB.
又∵∠A=∠D,
∴△ABC∽△DEC.
(2)∵△ABC∽△DEC,
∴=2=.
又∵BC=6,∴EC=9.
20.【解析】(1)证明:∵DC=AC,CF平分∠ACB,
∴AF=DF.
又∵E是AB的中点,
∴EF是△ABD的中位线,
∴EF∥BD,即EF∥BC.
(2)由(1)知,EF∥BD,∴△AEF∽△ABD,
∴=2.又∵E是AB的中点,
∴=,
∴=,∴S△AEF=S△ABD,
∴S△ABD-6=S△ABD,
∴S△ABD=8.
21.【解析】∵DE∥AC,∴△DEF∽△ACF,
∴=,∴=.
∵GH∥AC,∴△GHM∽△ACM,
∴=,∴=,
∴AC=13.8 m,∴BC=AC-AB=12 m,
∴墙的高BC为12 m.
22.【解析】(1)在△ABP中,∵∠APC=∠B+∠2=α+∠2=30°+β,∴∠2=30°+β-α,
∵∠1+∠APQ+β=180°且∠APQ=30°,∴∠1=150°-β.
(2)①由β=∠2或∠1=∠CQP,
即∠2=30°+β-α=β,
解得α=30°,则△ABP∽△QCP.
∴当β在许可范围内变化,α=30°时,总有△ABP∽△PCQ.
②由β=∠1或∠2=∠CQP,
同理可得β=75°.
∴当α在许可范围内变化,β=75°时,总有△ABP∽△QCP.
(3)可能.①当α=30°,β=30°时,
∠2=∠B=α=30°,
则△ABP∽△PCQ∽△BCA.
②当β=75°,α=52.5°时,
同理可得∠1=150°-β=75°=β,
∠2=30°+β-α=52.5°=α,
∴△ABP∽△CQP∽△BCA.
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