（单元讲义）第三单元长方体正方体-2023~2024学年五年级下册数学重难点讲义(西师大版)（含解析）

（单元讲义）第三单元长方体正方体
1．长方体的特征
【知识点归纳】
长方体的特征：
1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．
3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
2．体积、容积及其单位
【知识点归纳】
体积，或称容量、容积，几何学专业术语，是物件占有多少空间的量．
体积的国际单位制是立方米．
常用的单位：立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米．
3．体积、容积进率及单位换算
【知识点归纳】
体积单位：
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米，
容积单位：
1升＝1000毫升
1升＝1立方分米＝1000立方厘米
1毫升＝1立方厘米
4．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）
5．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
一．选择题（共8小题）
1．中国素有“礼仪之邦”之称，茶文化博大精深，倒茶也是有礼仪的。往容量为100毫升的杯子里倒茶时，应倒70毫升～80毫升。一个盛有1.5升茶水的茶壶，最多可以倒（　　）
A．15杯 B．18杯 C．21杯 D．22杯
2．下列物体中，面积最接近5平方米的是（　　）
A．指甲盖 B．粉笔盒底面
C．教室黑板面 D．方凳面
3．生活中，通常（　　）的容量最接近1升。
A． B． C． D．
4．一个长方体的水池，长5米，宽4米，高2米，在水池里放入36立方米的水，这时水深（　　）米。
A．1.8 B．3.6 C．4.5 D．0.9
5．一个无盖的正方体玻璃鱼缸，棱长是5分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？列式是（　　）
A．5×5×6 B．5×5×5 C．5×5×4
6．一个物体的面大约有0.05平方米。这个物体的面可能是（　　）
A．数学课本封面 B．课桌桌面
C．一张邮票的面
7．如图两个图形都是用棱长1厘米的小正方体摆成的。它们的表面积（　　）
A．相等 B．甲＞乙 C．甲＜乙 D．无法确定
8．如果把长方体的长、宽、高都分别扩大到原来的2倍，那么它的体积就扩大到原来的（　　）倍。
A．2 B．4 C．6 D．8
二．填空题（共8小题）
9．做一个棱长是4分米正方体纸盒，至少需要 　 　平方分米的纸板，这个纸盒的体积是 　 　立方厘米。
10．立方分米＝　 　立方厘米
1.35立方分米＝　 　升 　 　毫升
3立方米20立方分米＝　 　立方米
5.4升＝　 　毫升
11．一个长方体，长8厘米、宽6厘米、高5厘米，切掉一个最大的正方体（如图），表面积 　 　（填“增加”或“减少”）了 　 　平方厘米。
12．用一根长3.6m的木条，做成一个长0.4m，宽0.3m的长方体货架，这个货架的高是 　 　。
13．用一根48cm长的铁丝焊接成一个正方体框架（接头处忽略不计），并在框架外糊上纸板，纸板的面积最小是 　 　cm2，这个正方体框架的体积是 　 　cm3。
14．把一根长4米的长方体木料，截成3段，表面积增加了0.24平方米（如图所示）这根木料原来的体积是 　 　立方米。
15．一个长方体底面积是25平方厘米，体积是200立方厘米，高是　 　．
16．一瓶矿泉水250毫升，一箱矿泉水16瓶共 　 　升。亮亮每天饮水1﹣2升，亮亮每天至少要喝 　 　瓶这样的矿泉水。
三．判断题（共8小题）
17．把1升水倒入5个杯子中，每个杯中装20毫升。 　 　
18．每两个相邻面积单位间的进率都是100。 　 　
19．正方体和长方体的体积都可以用底面积乘以高来进行计算． 　 　．
20．我国古代数学名著《九章算术》中，集中而正确在给出了立体图形的体积计算公式。 　 　
21．一个杯子中有150毫升水，这个杯子的容量就是150毫升。 　 　
22．一个冰箱的容积是250升，那它的体积就是250dm3　 　．
23．如果两个长方体的体积相等，那么它们的长、宽、高也一定分别相等。 　 　
24．体积是1立方米的长方体木箱，它的占地面积一定是1平方米。 　 　
四．计算题（共2小题）
25．计算长方体的体积和正方体的表面积。
（1）
（2）
26．计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm）
五．应用题（共7小题）
27．一个长方体石块，长5厘米，宽4厘米，投入到一个棱长为10厘米装满水的正方体水箱里，具体情况如图所示，求这个长方体石块的高。
28．在一个棱长为5厘米的正方体上挖去一个长是5厘米、宽和高都是1厘米的小长方体，然后把剩下的部分浸没在一个底面积为0.5平方分米的水箱内（水未溢出），水面会上升多少厘米？
29．李阿姨用一根彩带为顾客捆扎一个食品盒，这个食品盒的长、宽、高分别为20厘米、10厘米、5厘米，如图那样捆扎并留下20厘米长作为手提环。这样一共需要多少分米长的彩带？
30．一个已盛水长方体容器（容器壁的厚度不计），长8dm、宽10dm、高5dm。小明将一个棱长是4dm的正方体铁块放进容器完全没入水中，这时，容器中的水刚好满。小明再将铁块拿出后，水面会下降多少分米？
31．有一块棱长60厘米的正方体铁棒，现在要把它熔铸成一个横截面是150平方厘米的长方体铁棒，这根铁棒长多少厘米？
32．把一根长2m的长方体木料截成相同的两段，表面积比原来增加了24dm2，这根木料的体积是多少立方分米？
33．有一个长、宽、高分别为18厘米、12厘米、10厘米的长方体容器，里面水深9厘米。将一个底面边长是6厘米、高7厘米的长方体铁块（底面是正方形）放入水中，溢出水的体积是多少升？
（单元讲义）第三单元长方体正方体-2023~2024学年五年级下册数学重难点讲义(西师大版)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】C
【分析】先统一单位，再利用除法计算，注意本题采用去尾法取结果。
【解答】解：15升＝1500毫升
1500÷70≈21（杯）
答：一个盛有1.5升茶水的茶壶，最多可以倒21杯。
故选：C。
【点评】本题考查了容积单位的应用及除法的应用。
2．【答案】C
【分析】根据生活实际情况，教室黑板面的面积最接近5平方米，据此解答即可。
【解答】解：教室黑板面的面积最接近5平方米。
故选：C。
【点评】此类问题要联系实际，不能和实际相违背。
3．【答案】C
【分析】根据容积的定义直接选择，容积是指容器所能容纳物体的多少，升用来计量较大物体的容积，根据生活情境选择。
【解答】解：生活中，通常的容量最接近1升。
故选：C。
【点评】本题考查了容积单位的应用。
4．【答案】A
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷（ab），把数据代入公式解答。
【解答】解：36÷（5×4）
＝36÷20
＝1.8（米）
答：这时水深1.8米。
故选：A。
【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
5．【答案】B
【分析】根据无盖正方体的表面积公式：S＝5a2，把数据代入公式解答。
【解答】解：5×5×5
＝25×5
＝125（平方分米）
答：制作这个鱼缸至少需要125平方分米的玻璃。
故选：B。
【点评】此题主要考查无盖正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
6．【答案】A
【分析】根据生活实际情况，数学课本封面的面积大约是0.05平方米，据此解答即可。
【解答】解：数学课本封面的面积大约是0.05平方米。
故选：A。
【点评】此类问题要联系实际，不能和实际相违背。
7．【答案】B
【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式求出甲、乙的表面积，然后进行比较即可。
【解答】解：（4×2+4×1+2×1）×2
＝（8+4+2）×2
＝14×2
＝28（平方厘米）
2×2×6
＝4×6
＝24（平方厘米）
28＞24
答：甲的表面积大于乙的表面积。
故选：B。
【点评】此题主要考查长方体、正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
8．【答案】D
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，再根据因数积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，据此解答。
【解答】解：2×2×2＝8
所以，如果把长方体的长、宽、高都分别扩大到原来的2倍，那么它的体积就扩大到原来的8倍。
故选：D。
【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，以及因数与积的变化规律的应用。
二．填空题（共8小题）
9．【答案】96，64000。
【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。
【解答】解：4×4×6
＝16×6
＝96（平方分米）
4×4×4
＝16×4
＝64（立方分米）
64立方分米＝64000立方厘米
答：至少需要96平方分米的纸板，这个盒子的体积是64000立方厘米。
故答案为：96，64000。
【点评】此题主要考查正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
10．【答案】200；1；350；3.02；5400。
【分析】1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1升，根据高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率，据此解答。
【解答】解：立方分米＝200立方厘米；
1.35立方分米＝1升350毫升；
3立方米20立方分米＝3.02立方米；
5.4升＝5400毫升。
故答案为：200；1；350；3.02；5400。
【点评】熟练掌握单位间的进率是解题的关键。
11．【答案】减少，50。
【分析】从图形可以看出，切掉的正方体的棱长相当于长方体的高，表面积减少了4个边长为5厘米的正方形，以及增加了2个边长为5厘米的正方形，也就是总共减少了2个边长为5厘米的正方形，根据正方形的面积公式求解即可。
【解答】解：5×5×2
＝25×2
＝50（平方厘米）
答：表面积减少了50平方厘米。
故答案为：减少，50。
【点评】本题主要考查了立体图形的切割，注意表面积减少了哪些面。
12．【答案】0.2m。
【分析】用一根长3.6m的铁丝，做成一个长方体的框架，也就是这个长方体的棱长总和是3.6米，长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，用棱长总和除以4再减去长和宽即可。
【解答】解：3.6÷4﹣（0.4+0.3）
＝0.9﹣0.7
＝0.2（米），
答：这个长方体框架的高是0.2m。
故答案为：0.2m。
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体的棱长总和公式的灵活运用。
13．【答案】96，64。
【分析】根据题意，铁丝的长度48cm就是正方体的棱长总和，正方体的棱长总和＝棱长×12，用48÷12求出棱长；再根据：正方体的表面积S＝6a2，正方体的体积公式V＝a3，代入数据解答。
【解答】解：棱长：48÷12＝4（cm）
表面积：
4×4×6
＝16×6
＝96（cm2）
体积：
4×4×4
＝16×4
＝64（cm3）
答：纸板的面积最小是96cm2，这个正方体框架的体积是64cm3。
故答案为：96，64。
【点评】本题考查的是正方体体积的计算，熟记公式是解答关键。
14．【答案】0.24。
【分析】根据题意可知，把这根木料平均锯成3段，表面积增加0.24平方米，表面积增加的是4个截面的面积，由此可以求出木料的底面积，然后根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答即可。
【解答】解：0.24÷4＝0.06（平方米）
0.06×4＝0.24（立方米）
答：这根木料原来的体积是0.24立方米。
故答案为：0.24。
【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，抓住长方体的切割特点和增加的表面积，先求出长方体的底面积是解决此类问题的关键。
15．【答案】见试题解答内容
【分析】根据长方体的体积公式：v＝sh，那么h＝v÷s，把数据代入公式解答．
【解答】解：200÷25＝8（厘米）；
答：高是8厘米．
故答案为：8厘米．
【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活应用．
16．【答案】4；4。
【分析】一瓶矿泉水250毫升，一箱矿泉水16，就是有16个250毫升，用乘法求出是多少毫升，再把毫升数除以1000化成升数；亮亮每天饮水1﹣2升，至少喝1升，把1升化成1000毫升，就是求1000毫升里面包含多少个250毫升，用1000毫升除以250毫升。
【解答】解：250×16＝4000（毫升）
4000毫升＝4升
答：一箱矿泉水16瓶共4升。
1升＝1000毫升
1000÷250＝4（瓶）
答：亮亮每天至少要喝4瓶这样的矿泉水。
故答案为：4；4。
【点评】此题考查了体积（容积）的单位换算、整数乘法的应用、整数除法的应用。
三．判断题（共8小题）
17．【答案】×
【分析】把1升化成1000毫升，用1000毫升除以5求出每个杯中装的毫升数，再根据计算结果进行判断。
【解答】解：1升＝1000毫升
1000÷5＝200（毫升）
把1升水平均倒入5个杯子中，每个杯中装200毫升。
原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题考查了体积（容积）的单位换算、整数除法的应用。
18．【答案】×
【分析】根据1公顷＝10000平方米进行分析。
【解答】解：每两个相邻面积单位间的进率不一定是100。原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查的主要内容是面积单位的换算问题。
19．【答案】√
【分析】根据长方体和正方体的体积公式，长方体的长×宽＝长方体的底面积；正方体的棱长×棱长＝正方体的底面积；由此解答．
【解答】解：长方体的体积＝底面积×高，正方体的体积＝底面积×高；
因此正方体和长方体的体积都可以用底面积乘以高来进行计算，这种说法是正确的．
故答案为：√．
【点评】此题主要考查长方体和正方体的统一的体积计算公式，V＝Sh．
20．【答案】√
【分析】我国古代数学名著《九章算术》中，集中而正确地给出了立体图形的体积计算公式。书中在求底面是正方形的长方体体积时，是这样说的：“方自乘，以高乘之即积尺。”就是说先用边长乘边长得底面积，再乘高就得到长方体的体积。
【解答】解：由分析可知：
我国古代数学名著《九章算术》中，集中而正确在给出了立体图形的体积计算公式。说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查常识知识，平时应多注意积累。
21．【答案】×
【分析】体积和容积是两个不同的概念，意义不同：容积是指容器所能容纳物体的体积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量；物体所占的空间的大小叫做体积。
【解答】解：一个杯子中有150毫升水，水满才可以证明这个杯子的容量就是150毫升。原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】正确区分体积和容积的意义，是解决此题的关键。
22．【答案】×
【分析】体积和容积是两个不同的概念，意义不同：容积是指容器所能容纳物体的体积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量；物体所占的空间的大小叫做体积．测量方法不同：计算物体的体积要从物体外面去测量，例如求冰箱的体积就要从外面量出它的长、宽、高的长度；计算容积或容量，由于容器有一定的厚度，要从内部测量出长、宽、高的长度．计算单位不同：计算物体的体积，一定要用体积单位，常用的体积单位有：立方米、立方分米、立方厘米等．计算容积一般用容积单位，如升和毫升，但有时候还与体积单位通用，由此直接判断即可．
【解答】解：因为体积和容积是两个不同的概念，意义不同，计算单位不同，所以一个冰箱的容积是250升，那它的体积就是250dm3 说法错误．
故答案为：×．
【点评】正确区分体积和容积的意义，是解决此题的关键．
23．【答案】×
【分析】长方体的体积V＝abh，可以假设出长方体的体积，进而就能确定出长、宽、高的值，就可以进行判断。
【解答】解：假设长方体的体积为24立方厘米，
因为4×2×3＝24，2×2×6＝24，
所以长方体的长、宽、高可以为4厘米、2厘米和3厘米，
也可以为2厘米、2厘米、6厘米，
所以两个长方体的体积相等，它们的长、宽、高不一定相等。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查长方体的体积的计算方法，举实例证明，即可推翻题干的结论。
24．【答案】×
【分析】由“体积是1立方米的长方体木箱”可知，这个木箱的每个面的面积就不一定是1平方米，所以它的占地面积就不一定是1平方米。
【解答】解：长方体木箱的体积是1立方米，则每个面的面积就不一定是1平方米，
所以它的占地面积不一定是1平方米。所以题干说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是先求出长方体每个面的面积，从而可以知道它的占地面积。
四．计算题（共2小题）
25．【答案】（1）28800立方厘米；
（2）1350平方分米。
【分析】（1）根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
（2）根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。
【解答】解：（1）40×12×60
＝480×60
＝28800（立方厘米）
答：这个长方体的体积是28800立方厘米。
（2）15×15×6
＝225×6
＝1350（平方分米）
答：这个正方体的表面积是1350平方分米。
【点评】此题主要考查长方体的体积公式、正方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
26．【答案】表面积是152平方厘米，体积是84立方厘米。
【分析】根据图意可知：在长方体的顶点处去掉一个小长方体，虽然体积减少了，但是表面积不变。根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，长方体的体积公式：V＝abh，把数据分别代入公式解答。
【解答】解：（8×6+8×2+6×2）×2
＝（48+16+12）×2
＝76×2
＝152（平方厘米）
8×6×2﹣4×3×1
＝96﹣12
＝84（立方厘米）
答：它的表面积是152平方厘米，体积是84立方厘米。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
五．应用题（共7小题）
27．【答案】5厘米。
【分析】由图发现，拿出石块，水面下降1厘米，即石块的体积等于下降水面水的体积，用石块的体积除以石块底面积就是石块的高。
【解答】解：10﹣9＝1（厘米）
10×10×1＝100（立方厘米）
100÷（5×4）
＝100÷20
＝5（厘米）
答：这个长方体石块的高是5厘米。
【点评】此题考查长方体的体积公式的灵活应用，注意体积不变是解题的关键。
28．【答案】2.4厘米。
【分析】先用正方体的体积减去挖去的部分得出小长方体的体积，根据题意可知上升的水的体积等于小长方体的体积，所以用小长方体的体积除以容器的底面积即可得到水面上升的高度。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的高＝体积÷底面积进行计算。
【解答】解：0.5平方分米＝50平方厘米
（5×5×5﹣5×1×1）÷50
＝120÷50
＝2.4（厘米）
答：水面会上升2.4厘米。
【点评】解答本题的关键是知道上升的水的体积等于小长方体的体积。
29．【答案】16分米。
【分析】由图可知，这样捆扎，长应该有4条，宽4条，高4条，再加手提环部分，计算完以后还要转换单位为分米。
【解答】解：20×4+10×4+5×4+20
＝80+40+20+20
＝160（厘米）
160厘米＝16分米
答：这样一共需要16分米长的彩带。
【点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，首先分清是如何捆扎的，然后根据棱长总和的计算方法解答。
30．【答案】0.8分米。
【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出正方体铁块的体积，然后用正方体铁块的体积除以长方体容器的底面积即可。
【解答】解：4×4×4÷（8×10）
＝64÷80
＝0.8（分米）
答：水面会下降0.8分米。
【点评】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
31．【答案】1440 厘米。
【分析】将正方体铁棒熔铸成长方体铁棒，体积不变。先根据V＝m3求出正方体的体积，也是长方体的体积，再用长方体的体积除以长方体横截面的面积就是长方体铁棒的长。
【解答】解：60×60×60÷150
＝216000÷150
＝1440 （厘米）
答：这根铁棒长1440 厘米。
【点评】本题考查了长方体和正方体体积公式的灵活应用，需熟记公式。
32．【答案】240立方分米。
【分析】根据把一根长2m的长方体木料截成相同的两段，表面积比原来增加了24dm2，就是表面积比原来增加了2个正方体底面积，用24dm2除以2就是正方体的底面积，根据正方体体积＝底面积×高即可解答。
【解答】解：24÷2×（2×10）
＝12×20
＝240（立方分米）
答：这根木料的体积是240立方分米。
【点评】本题考查的是正方体体积，求出正方体底面积是解答关键。
33．【答案】0.036升。
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出长方体铁块的体积，用铁块的体积减去长方体容器中无水部分的体积就是溢出水的体积。
【解答】解：6×6×7﹣18×12×（10﹣9）
＝36×7﹣216×1
＝252﹣216
＝36（立方厘米）
36立方厘米＝36毫升＝0.036升
答：溢出水的体积是0.036升。
【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：体积单位与容积单位之间的换算。