3.1反比例-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（冀教版）（含解析）

（讲义）3.1反比例（知识精讲+典题精练）
1．反比例
【知识点归纳】
反比例，简称反比，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
反比例例子：
1、排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数是反比例；
2、百米赛跑，路程100米不变，速度和时间是反比例；
3、做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数；
4、长方形的面积一定，长和宽是反比例；
5、总价一定，它的单价和数量是反比例；
6、长方体的体积一定，底面积和高是反比例；
7、总价一定，单价与数量成反比例；
8、等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例；
9、总纸盒一定，每人做的个数与人数成反比例。
一．选择题（共8小题）
1．表中，如果a和b成反比例关系，空格里应填（　　）
a 4 6
b 12
A．2 B．8 C．18 D．24
2．2÷x＝5y，x和y（　　）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
3．下面各题中两种量成反比例关系的应该是（　　）
A．长方形的周长一定，它的长和宽
B．三角形的面积一定，它的底和高的长度
C．同样的方块地砖，砖的块数和铺地面积
4．如果A和B成正比例，B和C成反比例，那么A和C成（　　）
A．正比例 B．反比例 C．不成比例
5．长方形的面积一定，长和宽（　　）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
6．a和b是两种相关联的量，下面表示a和b成反比例关系的式子是（　　）
A．a：3＝b：5 B．ab﹣4.5＝14.5
C．a+b＝3.6
7．小明探究杠杆的平衡条件，挂钩码前，调节杠杆在水平位置平衡。杠杆上刻度每段距离相等，杆上A、B、C、D的位置如图所示，当A点挂4个钩码时，下列操作中能使杠杆在水平位置平衡的是（　　）
A．在B点处挂5个钩码 B．在C点处挂4个钩码
C．在D点处挂1个钩码 D．在D点处挂2个钩码
8．图上距离一定，比例尺和实际距离（　　）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
二．填空题（共10小题）
9．在比例中，两个外项的积一定，两个两内项成　 　比例．
10．平行四边形的面积是56cm2，平行四边形的底和高的情况如表。
底/cm 2 4 7 8
高/cm 28 14 8 7
（1）平行四边形的 　 　随着 　 　的变化而变化。
（2）平行四边形的底与高的积是 　 　，也就是底与高的积是 　 　的，我们就说平行四边形的底与高成 　 　。
11．小林骑自行车从家到学校，他骑车的速度和所需时间成　 　比例．
12．正比例的关系式　 　，
反比例的关系式　 　．
13．花园村新修一条水泥路，平均每天修的长度和所需天数如表。
平均每天修的长度/m 240 80 60 40
所需天数 2 6 8 12
（1）平均每天修的长度减少，所需天数就 　 　；平均每天修的长度增加，所需天数就 　 　。
（2）平均每天修的长度和所需天数的积 　 　，所以这两个量成 　 　比例。
（3）如果平均每天修120m，那么修完这条路需要 　 　天。
14．如图，如果a和b成正比例，空格应填 　 　，如果a和b成反比例，空格应填 　 　。
a 12 ……
b 8 16 ……
15．一段路，甲用5小时走完，乙用4小时走完，甲和乙所用的时间比是 　 　，甲和乙的速度比是 　 　。
16．成反比例的两种量中，一种量扩大，另一种量就　 　．
17．A×B＝C≠0，如果A一定，那么B和C 　 　；如果C一定，那么A和B 　 　
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断．
18．师徒二人加工一批零件，师傅单独完成要40分钟，徒弟单独完成要1小时，师徒二人的工作时间比是 　 　；他们的工作效率比是 　 　。
三．判断题（共9小题）
19．单价一定，总价与数量成反比例。 　 　
20．A÷C＝B，当A一定时，B与C成反比例．　 　．
21．比的前项一定，后项和比值成反比例． 　 　．
22．给一间教室铺地砖，每块地砖的面积和所需地砖的块数成反比例．　 　．
23．y（k一定），x和y成反比例．　 　．
24．圆柱的侧面积一定，它的底面周长和高成反比例，　 　．
25．小明从家里到学校，行走的速度与行走的时间成反比例．　 　．
26．六二班的人数一定，每组的人数与组数成反比例．　 　．
27．小明只有10元钱，他买笔的枝数与笔的单价成反比例．　 　．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】C
【分析】如果a和b成反比例关系，则a与b的乘积一定，据此列比例式解答。
【解答】解：如果a和b成反比例关系，则：
4b＝6×12
4b÷4＝72÷4
b＝18
故选：C。
【点评】两种相关联的量成反比例关系，则两种量的乘积一定。
2．【答案】B
【分析】要想判定x和y成什么比例关系，要看x和y是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系．
【解答】解：因为2÷x＝5y，
所以5xy＝2，
xy＝0.4（一定），
可以看出，X和Y是两种相关联的量，X随Y的变化而变化．0.4是一定的，也就是X与Y相对应数的乘积一定，符合反比例的意义，所以X与Y成反比例关系．
故选：B。
【点评】此题重点考查用正比例和反比例的意义来辨识成正比例的量和成反比例的量．
3．【答案】B
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．
【解答】解：①选项A长方形的周长一定，它的长和宽的和一定，不成比例关系；
②选项B三角形的面积一定，它的底和高的长度成反比例关系；
③选项C同样的方块地砖，砖的块数和铺地面积成正比例关系；
故选：B。
【点评】此题重点考查辨识成正比例的量与成反比例的量．
4．【答案】B
【分析】此题关键是通过B在中间转换，从而让A与C产生关系，再去判断A与C成什么比例关系．
【解答】解：此题如果用公式推导会很麻烦，看不明白，所以可以尝试代入数字推导．
由A和B成正比例，B和C成反比例，可以假设：
A：B＝2，B×C＝3，
可以得到：
①A＝2B，②B
把B代入①，得到
A＝2，
可以推出
A×C＝6（一定）
A随C的变化而变化，它们的积又是一定的，所以A和C是成反比例关系．
故选：B。
【点评】此题更进一步考查辨识成正比例的量与成反比例的量．
5．【答案】B
【分析】根据正比例的意义x：y＝k（一定）和反比例的意义xy＝k（一定），因为长×宽＝长方形的面积（一定），符合反比例的意义．
【解答】解：根据长方形的面积公式，长×宽＝长方形的面积（一定），符合反比例的意义xy＝k（一定），所以长方形的面积一定，长和宽成反比例．
故选：B。
【点评】此题主要考查正、反比例的意义，以及长方形的面积公式．
6．【答案】B
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。
【解答】解：A项：a：3＝b：5则（一定），比值一定，a和b成正比例关系；
B项：ab﹣4.5＝14.5，则ab＝14.5+4.5＝19 （一定），积一定，a和b成反比例关系；
C项：a+b＝3.6，比值和积都不一定，a和b不成比例关系。
故选：B。
【点评】解答此题的主要依据是：若两个相关联的量的乘积一定，则这两个量成反比例关系。
7．【答案】D
【分析】要使杠杆保持平衡，左、右两边砝码的个数与挂砝码处的刻度的乘积相等；左边砝码个数与挂砝码处的刻度的乘积是4×3＝12，再结合图中右边B，C，D处的刻度，求出对应的砝码个数，从而得到答案。
【解答】解：因为4×3＝6×2，所以能使杠杆保持平衡的是在B点处挂6个钩码，故A错误；
因为4×3＝3×4，所以能使杠杆保持平衡的是在C点处挂3个钩码，故B错误；
因为4×3＝2×6，所以能使杠杆保持平衡的是在D点处挂2个钩码，故D正确。
故选：D。
【点评】本题是一道有关反比例的题目，关键是清楚砝码个数与刻度的乘积为定值。
8．【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：因为，实际距离×比例尺＝图上距离（一定），所以实际距离和比例尺成反比例；
故选：B．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
二．填空题（共10小题）
9．【答案】见试题解答内容
【分析】根据正反比例的意义，分析数量关系，找出一定的量，然后看那两个变量是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系．
【解答】解：内项×内项＝外项×外项（一定），
可以看出，两内项是两种相关联的量，一内项随另一内项的变化而变化，
两外项的积一定，也就是两内项相对应数的乘积一定，所以两内项成反比例关系．
故答案为：反．
【点评】此题重点考查正比例和反比例的意义．
10．【答案】（1）底，高；（2）56，一定，反比例。
【分析】（1）平行四边形的底随着高的变化而变化。
（2）平行四边形的底与高的积是面积，是一定的，对应的乘积一定，所以平行四边形的底与高成反比例，据此解答。
【解答】解：（1）平行四边形的底随着高的变化而变化。
（2）2×28＝4×14＝7×8＝8×7＝56
平行四边形的底与高的积是56，也就是底与高的积是一定的，我们就说平行四边形的底与高成反比例。
故答案为：底，高；56，一定，反比例。
【点评】此题属于根据正、反比例的意义，判断两种相关联的量是成正比例还是成反比例，就看两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出解答。
11．【答案】见试题解答内容
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系；根据时间、速度、路程之间的关系进行分析．
【解答】解：速度×时间＝路程
小林骑车的速度和所需时间是两种相关联的量，时间随速度的变化而变化，小林从家到学校的路程不变，也就是速度与时间的乘积是一定的．所以小林骑车的速度和所需时间是成反比例关系．
故答案为：反．
【点评】此题重点考查辨识成正比例的量与成反比例的量和时间、速度、路程之间的关系．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】根据学习正反比例的意义时课本上所给出的正反比例的关系式填出即可．
【解答】解：①正比例的关系式：k（一定）；
②反比例的关系式：x×y＝k（一定）．
故答案为：k（一定），x×y＝k（一定）．
【点评】此题考查正反比例的意义．
13．【答案】（1）增加，减少；（2）一定，反；（3）4。
【分析】（1）根据题意知：表中有每天修的长度和所需的天数两种量，它们是两种相关联的量，一个量变大，另一个量反而变小。
（2）平均每天修的长度和所需天数的乘积一定，所以每天修的长度和所需的天数成反比例关系。
（3）用平均每天修的长度和所需天数的乘积除以平均每天修得米数，即可得修完这条路需要得天数。
【解答】解：（1）平均每天修的长度减少，所需天数就增加；平均每天修的长度增加，所需天数就减少。
（2）240×2＝480
80×60＝480
60×8＝480
40×12＝480
平均每天修的长度和所需天数的积一定，所以这两个量成反比例。
（3）240×2÷120
＝480÷120
＝4（天）
答：如果平均每天修120m，那么修完这条路需要4天。
故答案为：增加，减少；一定，反；4。
【点评】此题主要是考查辨析两种量成正、反比例。关键是看这两种相关联量中所对应的数的比值（商）一定还是积一定。
14．【答案】24；6。
【分析】（1）如果表中a和b成正比例，说明a和b对应的比值一定，根据两个比的比值相等列比例，并解比例即可；
（2）如果表中a和b成反比例，说明a和b对应的乘积一定，根据两个比的乘积相等列比例，并解比例即可。
【解答】解：（1）设空格数为x，
12：8＝x：16
8x＝12×16
8x＝192
x＝24；
（2）设空格数为x，
16x＝12×8
16＝96
x＝6；
故答案为：24；6。
【点评】此题考查根据正、反比例的意义，解答时要根据已知两种相关联的量，看比值一定还是积一定。
15．【答案】5：4，4：5。
【分析】（1）用甲走完一段路的时间比乙走完一段路的时间，再利用比例的基本性质化简即可；
（2）把一段路的长度看作“1”，根据路程÷时间＝速度，分别求出甲、乙的速度，写出对应的比再化简即可．
【解答】解：：4：5
答：甲和乙所用的时间比是5：4，甲和乙的速度比是4：5。
故答案为：5：4，4：5。
【点评】关键是根据问题，找出对应的量，写出对应的比化简即可。
16．【答案】见试题解答内容
【分析】成正比例的两种量是对应的比值一定（变化方向相同），成反比例的两种量是对应的乘积一定（变化方向相反）．
【解答】解：因为反比例关系式：x×y＝k（一定），如果x扩大，那么y一定缩小，只有这样k才能一定；
故答案为：缩小．
【点评】此题属于根据正、反比例的意义，判断成正、反比例的两种量的变化方向，成正比例的变化方向相同，成反比例的变化方向相反．
17．【答案】见试题解答内容
【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例．
【解答】解：因为A×B＝C，所以C÷B＝A（一定），是比值一定，B和C成正比例；
A×B＝C（一定），是乘积一定，A和B成反比例．
故选：A，B．
【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，还是对应的其它量一定，再做出判断．
18．【答案】2：3；3：2。
【分析】师傅用40分钟完成，徒弟用1小时即60分钟完成，用40分钟比60分钟即可求出师徒二人的工作时间，再化简即可；
工作量一定，工作时间和工作效率成反比例，所以两者工作时间的反比就是工作效率的比，由此求解。
【解答】解：师徒二人的工作时间比：40：60＝2：3
师徒二人的工作效率比：3：2。
故答案为：2：3；3：2。
【点评】本题考查比和反比例的意义，解答本题的关键是掌握反比例的意义。
三．判断题（共9小题）
19．【答案】×
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：因为总价÷数量＝单价（一定），
符合正比例的意义，所以单价一定，总价和数量成正比例；
所以单价一定，总价与数量成反比例，此题错误。
故答案为：×。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
20．【答案】见试题解答内容
【分析】要想判定B和C是不是成反比例关系，必须根据式子，进行推导．再根据正反比例的意义，分析数量关系，找出一定的量A，然后看B与C是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系．
【解答】解：因为：A÷C＝B，
所以：B×C＝A（一定）；
可以看出，B和C是两种相关联的量，B随C的变化而变化，
A是一定的，也就是B与C相对应数的乘积一定，所以B与C成反比例关系．
故答案为：√．
【点评】此题重点考查反比例的意义．
21．【答案】√
【分析】根据正反比例的意义，分析数量关系，找出一定的量（前项），然后看那两个变量（后项和比值）是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系．
【解答】解：因为前项：后项＝比值，
所以后项×比值＝前项（一定）；
可以看出，后项和比值是两种相关联的量，后项变化，比值也随着变化．
前项一定，也就是后项和比值的乘积一定，所以后项和比值是成反比例关系．
故答案为：√．
【点评】此题重点考查正比例和反比例的意义．
22．【答案】√
【分析】成反比例的量的特点是：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化，它们的积一定；由此根据每块地砖的面积×所需地砖的块数＝这间教室的面积即可进行推理判断．
【解答】解：根据题干分析可得：每块地砖的面积×所需地砖的块数＝这间教室的面积，
这间教室的面积是一个定值，每块地砖的面积变大，则所需地砖的块数就减少，反之增多；
所以原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题考查了利用成反比例的意义进行判断两个相关联的量是否成反比例的方法的灵活应用．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】要想判定x和y成什么比例关系，必须根据式子，进行推导．然后根据正反比例的意义，分析数量关系，找出一定的量，然后看那两个变量是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系．
【解答】解：因为 y（k一定），
所以XY＝2K﹣1 （一定）（K一定，2和1是常量，所以2K﹣1也一定），
可以看出，X和Y是两种相关联的量，X随Y的变化而变化，
2K﹣1是一定的，也就是X与Y相对应数的乘积一定，所以X与Y成反比例关系．
故答案为：√．
【点评】此题重点考查正比例和反比例的意义．
24．【答案】见试题解答内容
【分析】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例．
【解答】解：圆柱的底面周长×高＝侧面积（一定），是乘积一定，所以它的底面周长和高成反比例．
故判断为：正确．
【点评】此题属于辨识成反比例的量，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出判断．
25．【答案】见试题解答内容
【分析】根据正反比例的意义，分析数量关系，找出一定的量，然后看那两个变量是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系．
【解答】解：行走的速度与行走的时间是两种相关联的量，它们与小明从家里到学校的路程有下面的关系：
行走的速度×行走的时间＝小明从家里到学校的路程（一定）；
已知小明从家里到学校的路程一定，也就是他行走的速度与行走的时间的乘积一定，
所以行走的速度与行走的时间成反比例．
故答案为：√．
【点评】此题重点考查用正比例和反比例的意义来辨识成正比例的量和成反比例的量．
26．【答案】√
【分析】判断每组的人数与组数是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果是乘积不一定，就不成反比例．
【解答】解：每组的人数×组数＝六二班的总人数（一定），是乘积一定，每组的人数与组数就成反比例．
故判断为：正确．
【点评】此题属于辨识成反比例的量，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出判断．
27．【答案】见试题解答内容
【分析】判断买笔的枝数与笔的单价是不是成反比例，就看这两种量是不是对应数的乘积一定，如果乘积一定，就成反比例．
【解答】解：笔的枝数×笔的单价＝10元钱（一定），是乘积一定，
所以买笔的枝数与笔的单价就成反比例．
故答案为：√．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两种量是对应数的比值一定，还是对应数的乘积一定，再做出判断．