3.3正比例-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（冀教版）（含解析）

（讲义）3.3正比例（知识精讲+典题精练）
1．正比例
【知识点归纳】
正比例，简称正比，是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值（或者说商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。
举例如下：
（1）同圆的周长与直径 （比值：π）。
（2）正方形的周长与边长 （比值：4）。
（3）速度一定，路程和时间成正比例；时间一定，路程和速度成正比例。
（4）购买的总价与购买的数量（比值：单价）。
解：aX＝Y中，a不变，则 X与Y成正比例。一个变量随着另一个变量的变化而变化。
（5）易错题：圆的面积（S）：半径（R）＝πR
解：这个比例是错误的，它不属于正比例。因为（S：R＝πR）因为根据上面所说，比值须是一个不变的量，而比的前项和后项必须是可以变化的量，如果R变化，那比值也会变化，所以圆的面积与半径不成正比例。
（6）圆的周长和半径成正比例吗？为什么？
解：因为圆的周长除以圆的半径＝2π，所以圆的周长和半径成正比例。
（7）易错题：正方形的面积与边长中，S：A＝A
解：由上述可以看出：比值是个变量，它不能与比的任意一项相同，所以这个比例也不是正比例。
但如果圆的面积（S）：（R R） （R的平方）＝π，这可看成一个正比例，它是S与（R R）成正比例。
↑一种量
（8）易错题：圆的面积（S）：π＝R R（一定）
解：这是一个错误的比例，因为比值是不变的量，前项与后项应随着一个的变化而变化，而在这里，比值是个固定的量，而π也是一个固定的量，前项无法变化，这个比例就成了一个固定的比例，不符合上面所说的前项和后项必须是可以变化的量。
（9）常见错误：长方形的周长一定，长和宽成正比例。
具体证明既可以用公式推导，2（a+b）＝C，a+b＝C/2（一定），发现长宽之和一定，而积不一定，故长和宽不成正比例。也可以用具体数据计算，比如周长为10厘米时，长9宽1积为9，长8宽2积为16，长7宽3积为21，长6宽4积为24，发现积不一定，故不成正比例。
一．选择题（共9小题）
1．（　　）中的两个量不成正比例。
A．在同一个正方形中，正方形的周长和边长
B．一箱苹果，吃掉的个数和剩下的个数
C．长方体的底面积一定，高和体积
D．订阅某期刊的份数一定，单价和总钱数
2．如图中，表示正比例图象的是（　　）
A． B． C． D．
3．圆的半径扩大4倍，这个圆的面积扩大（　　）
A．8 B．12 C．16
4．飞机飞行的速度一定，飞行的时间与航程（　　）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
5．买同样的书，花钱的总价与（　　）成正比例．
A．书的本数 B．书的页数 C．书的单价 D．不能确定
6．如图中表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。下面叙述错误的是（　　）
A．如图是一个正比例关系的图象
B．在20分钟时，它们路程相差8km
C．斑马和长颈鹿的速度之比是2：3
D．在15分钟时，长颈鹿跑了12km
7．下面图（　　）表示是正比例关系的图像
A． B．
C． D．
8．表示x和y成正比例关系的式子是（　　）
A．x+y＝10 B．x﹣y＝10 C．y＝10x
9．如图表示一辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油关系。根据图像判断，行驶125千米耗油（　　）升。
A．9 B．10 C．11 D．12
二．填空题（共9小题）
10．一艘轮船行驶的时间和路程如表：
时间/时 1 2 3 4 5
路程/km 30 60 90 　 　 　 　
（1）把表格补充完整。
（2）　 　和 　 　是两种相关联的量，路程随着 　 　的变化而变化。
（3）从表中可以看出，轮船行驶的 　 　一定，轮船行驶的路程和时间 　 　正比例。（填“成”或“不成”）
11．工厂中平均每个工人生产零件的天数和个数情况如图。
（1）由图象可以判断，加工A型零件的个数和天数成 　 　比例，加工B型零件的个数和天数成 　 　比例。
（2）每个工人生产A型零件和B型零件的工作效率比是 　 　。
12．图是超市出售一种笔的支数和总价的关系图。
（1）图中总价是随着支数的变化而变化，
这两种量成 　 　比例。
（2）售出2支笔的总价是 　 　元，
售出 　 　支笔的总价是32元。
（3）售出了12支笔，总价是 　 　元。
13．路程和时间的比的比值是　 　，如果它一定，那么路程和时间成　 　比例．
14．下面各图都有表示了x，y两种变量，表示的两种量成正比例的是　 　。
15．一辆汽车在公路上行驶的时间和路程如图。看图填写如表：
时间/小时 2 　 　
路程/千米 　 　 400
这辆汽车行驶的路程和时间成　 　比例。
16．乘船的人数与所付船费如下表。
人数/人 1 2 3 4
船费/元 5 10 15 20
（1）表格中的 　 　和 　 　是两种相关联的量，船费随着 　 　的变化而变化；
（2）船费与人数数量中相对应的两个数的比值是 　 　，这个比值实际上表示 　 　；
（3）因为每人的 　 　一定，所以 　 　和 　 　成 　 　比例关系。
17．一辆汽车行驶的路程和时间的关系如图。
（1）点A表示汽车 　 　时行驶了 　 　km；行驶400km需要 　 　时；2.5时行驶了 　 　km。
（2）点（10，800）　 　这条直线上。（填“在”或“不在”）
（3）这辆汽车的速度是 　 　千米/时。
18．若x与y成正比例，则m＝　 　，若x与y成反比例，则m＝　 　。
X 4 5
y 16 m
三．判断题（共10小题）
19．yx（x≠0），x和y成正比例．　 　．
20．长方体的高一定，底面积和体积成正比例关系。 　 　
21．如果一个量变大，另一个量也变大，这两个量成正比例。 　 　
22．订阅《少年文艺》的份数与总钱数成反比例．　 　．
23．每袋花生的质量一定，花生的总质量和袋数成正比。 　 　
24．成正比例的量，在坐标系中描出的点连接起来不是一条直线。 　 　
25．正比例的图象不一定是一条直线。 　 　
26．正方体的一个面的面积和它的表面积成　 　比例．
27．如果ab÷5＝17，则a与b成正比例。 　 　
28．每本书的单价一定，本数和总价成正比例．　 　．
四．应用题（共1小题）
29．书房的面积是16m2，刚好用了32块地砖，卧室的面积是20m2，用同样的地砖，需要多少块？
（讲义）3.3正比例（知识精讲+典题精练）-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（冀教版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．【答案】B
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。
【解答】解：A项：边长＝周长÷4（一定），比值一定，在同一个正方形中，正方形的周长和边长成正比例关系；
B项：一箱苹果的总个数﹣吃掉的个数＝剩下的个数，比值和积都不一定，吃掉的个数和剩下的个数不成比例；
C项：长方体的体积÷高＝底面积（一定），比值一定，高和体积成正比例关系；
D项：总价÷单价＝数量（一定），比值一定，单价和总钱数成正比例关系。
故选：B。
【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，再做出判断。
2．【答案】B
【分析】根据正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系就是正比例关系，由此可知，正比例的图象是过原点的一条射线，据此解答。
【解答】解；根据正比例图象的特点可知，图B符合正比例图象的特点，所以图B是正比例图象。
故选：B。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义以及正比例图象的特点。
3．【答案】C
【分析】根据圆的面积公式，S＝πr2，知道圆的半径的平方和圆的面积成正比例，由此即可得出答案．
【解答】解：因为，S＝πr2，
所以，π（一定），
即，半径扩大4倍，面积扩大16倍；
故选：C。
【点评】解答此题的关键是，先根据圆的面积公式，判断圆的面积与半径的关系，再根据正比例的意义，即可得出答案．
4．【答案】A
【分析】根据正反比例的意义，分析数量关系，找出一定的量，然后看那两个变量是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系．
【解答】解：飞机飞行的时间与航程是两种相关联的量，航程随时间的变化而变化．飞机飞行的速度一定，也就是飞行的航程与时间的比值一定，所以飞机飞行的时间与航程成正比例关系．
故选：A。
【点评】此题考查正比例和反比例的意义．
5．【答案】A
【分析】根据总价＝单价×数量的数量关系进行分析．要想知道总价与什么成正比例，就要找到一定的量和变化的量，根据正比例的意义，总价与变量相比才能成正比例．
【解答】解：买同样的书，也就是书的单价一定．可得：
总价：数量＝单价（一定）
可以看出，总价和数量是两种相关联的量，总价随数量的变化而变化．单价一定，也就是总价与数量相对应数的比值一定．所以花钱的总价与数量（书的本数）成正比例关系．
故选：A。
【点评】此题重点考查正比例和反比例的意义．
6．【答案】C
【分析】由图可知：斑马和长颈鹿的奔跑的路程和时间的商一定，也就是速度一定，可以判断图象是正比例图象；从图像上可以看出，20分钟时，长颈鹿奔跑了16km，斑马奔跑了24km，两者相减，可得出它们的路程差；根据图像数据，分别计算出20分钟时斑马和长颈鹿的速度，再求速度比；从图像上可以看出，15分钟时，长颈鹿奔跑的路程是12km。
【解答】解：选项A中，斑马和长颈鹿的奔跑的路程和时间的商一定，奔跑的路程和时间成正比例。原题说法正确。
选项B中，20分钟时，长颈鹿奔跑了16km，斑马奔跑了24km，两者相差8km。原题说法正确。
选项C中，斑马的速度：24÷20＝1.2（km/分）
长颈鹿的速度：16÷20＝0.8（km/分）
1.2：0.8＝3：2
原题说法错误。
选项D中，从图像上看出，在15分钟时，长颈鹿跑了12km。原题说法正确。
故选：C。
【点评】本题考查了对成正比例关系图象的认识。根据图象找出有用的信息进行计算是解答本题的关键。
7．【答案】B
【分析】成正比例关系的图像是一条经过原点的直线，据此判断。
【解答】解：选项A和选项C中的图像都不是直线，选项D虽然是直线，但图像没有经过原点，所以它们都不是成正比例关系的图像；选项B中的图像是一条过原点的直线，表示成正比例关系。
故选：B。
【点评】本题考查了成正比例关系的图像的认识，需明确成正比例关系的图像是一条经过原点的直线。
8．【答案】C
【分析】判断x与y是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果不是比值一定或比值不一定，就不成正比例．
【解答】解：A．x+y＝10，x与y的和一定，不符合正比例的意义；
B．y﹣x＝10，x与y的差一定，不符合正比例的意义；
C．由y＝10x得，所以x、y比值一定，x与y成正比例，符合题意；
故选：C．
【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，再做出判断．
9．【答案】见试题解答内容
【分析】从图象中找到路程为125千米的点，看它对应的耗油量。
【解答】解：路程125千米，从图像上看耗油量是10升。
故选：B。
【点评】此题重点考查从折线统计图中读取信息进行分析。
二．填空题（共9小题）
10．【答案】（1）120，150；（2）路程，时间，时间；（3）速度，成。
【分析】根据路程÷时间＝速度＝30（一定），所以路程和时间是两个相关联的量，路程是随着时间的变化而变化的。这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两个量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例的关系。
【解答】解：（1）4×30﹣120（km）
5×30＝150（km）
时间/时 1 2 3 4 5
路程/km 30 60 90 120 150
（2）路程和时间是两种相关联的量，路程随着时间的变化而变化。
（3）从表中可以看出，轮船行驶的速度一定，轮船行驶的路程和时间成正比例。
故答案为：120，150；路程，时间，时间；速度，成。
【点评】此题主要考查对正比例的意义的运用：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，但两种量的相对应的比值一定，这两种量成正比例。
11．【答案】（1）正；正；（2）1：2。
【分析】（1）由图象可以得到零件的个数与天数的比例关系；
（2）由天数为1天时对应的个数为5和10，即可解答题目。
【解答】解：（1）由图象可以判断，加工A型零件的个数和天数成正比例，加工B型零件的个数和天数成正比例。
（2）5：10＝1：2
答：每个工人生产A型零件和B型零件的工作效率比是1：2。
故答案为：正；正；1：2。
【点评】本题考查正比例的认识，熟练掌握正比例的意义是解题的关键。
12．【答案】（1）正。
（2）16，4。
（3）96。
【分析】（1）图像是一条直线，所以总价和支数成正比例关系。
（2）从图像中可以看出，每支笔的单价为8元，根据总价＝单价×数量、数量＝总价÷单价解答。
（3）根据总价＝单价×数量解答。
【解答】解：（1）图中总价是随着支数的变化而变化，这两种量成正比例。
（2）8×2＝16（元）
32÷8＝4（支）
答：售出2支笔的总价是16元，售出4支笔的总价是32元。
（3）8×12＝96（元）
答：售出了12支笔，总价是96元。
故答案为：正；16，4；96。
【点评】本题考查了根据比例图像解决问题，能根据图像分析数量关系是关键。
13．【答案】见试题解答内容
【分析】根据路程、时间和速度的关系，求出路程和时间的比的比值即速度，如果速度一定，也就是比值一定，路程和时间就成正比例．
【解答】解：路程：时间＝速度（一定），也就是比值一定，路程和时间就成正比例．
故答案为：速度，正．
【点评】解决关键是先求出路程和时间的比的比值，再根据比值一定，判断路程和时间成正比例．
14．【答案】②。
【分析】从三幅图中找出几组对应的x与y，并求出它们的商；根据如果商一定就成正比例，据此计算即可解答题目。
【解答】解：A：4÷2＝2，16÷4＝4，则两种量的比值是不一定的，所以不成正比例的关系；
B：4÷1＝4，8÷2＝4，则图中的两种量的比值是一定的，都是4，所以成正比例的关系；
C：2÷6，4÷4＝1，则两种量的比值是不一定的，所以不成正比例的关系。
故答案为：②。
【点评】本题是一道关于正比例方面的题目，可依据判断正比例的方法以及正比例的意义求解。
15．【答案】200；4；正。
【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。
【解答】解：
时间/小时 2 4
路程/千米 200 400
这辆汽车行驶的路程和时间成正比例。
故答案为：200；4；正。
【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，还是对应的其它量一定，再做出判断。
16．【答案】（1）船费，人数，人数；（2）5，每人所付的船费；（3）所付船费，船费，人数，正。
【分析】（1）上表中，表格中的船费和人数是两种相关联的量，船费随着人数的变化而变化；
（2）求船费与人数数量中相对应的两个数的比值，用船费：人数＝每人所付的船费，所以这个比值表示每人所付的船费；
（3）因为船费：人数＝每人所付的船费，每人所付船费一定，所以船费和人数成正比例关系；据此解答。
【解答】解：（1）表格中的船费和人数是两种相关联的量，船费随着人数的变化而变化；
（2）5：1＝10：2
答：船费与人数数量中相对应的两个数的比值是5，这个比值实际上表示每人所付的船费；
（3）因为每人的所付船费一定，所以船费和人数成正比例关系。
故答案为：船费，人数，人数；5，每人所付的船费；所付船费，船费，人数，正。
【点评】此题主要考查正比例的意义以及总价、数量和单价之间的关系，正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。
17．【答案】（1）1，80，5，200；（2）在；（3）80。
【分析】（1）图中直观显示，点A表示汽车1时行驶了80km；行驶400km需要5时；2.5时行驶了200km。
（2）从图上可知汽车1时行驶了80km，点中10表示10时，求出汽车10时行驶的路程，与800比较即可。
（3）根据速度＝路程÷时间可求得。
【解答】解：（1）80×2.5＝200（km）
点A表示汽车1时行驶了80km；行驶400km需要5时；2.5时行驶了200km。
（2）80×10＝800（km）
答：点（10，800）在这条直线上。
（3）160÷2＝80（千米/时）
答：这辆汽车的速度是80千米/时。
故答案为：1，80，5，200；在；80。
【点评】此题考查了正比例关系的图象的应用，利用数形结合的思想解决问题是常用的一种数学思想方法。
18．【答案】20，12.8
【分析】（1）如果x与y成正比例，由正比例的意义可得4：16＝5：m，把m看作未知数，根据比例的基本性质进行解比例即可；
（2）如果x和y成反比例，由反比例的意义可得5×m＝4×16，把m看作未知数，根据等式的性质进行解方程即可。
【解答】解：根据题意可得：
（1）4：16＝5：m
4m＝16×5
4m＝80
4m÷4＝80÷4
m＝20
所以，如果x与y成正比例，“m”是20；
（2）5×m＝4×16
5m＝64
5m÷5＝64÷5
m＝12.8
所以，如果x和y成反比例，“m”是12.8。
故答案为：20，12.8
【点评】本题主要考查正反比例的意义，然后根据题意列出比例或方程再进一步解答即可．
三．判断题（共10小题）
19．【答案】见试题解答内容
【分析】要想判定x和y成不成正比例关系，必须根据式子，进行推导．再根据正比例的意义，分析数量关系，找出一定的量，看看x和y是不是比值一定．
【解答】解：因为 yx（x≠0），
所以 y：x（一定），
可以看出，y和x是两个相关联的变化的量，它们相对应的数的比值是，是一定的，所以y和x成正比例关系．
故答案为：√．
【点评】此题重点考查正比例的意义．
20．【答案】√
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：长方体的体积＝底面积×高，高＝长方体的体积÷底面积。长方体的高一定，所以它的体积和底面积成正比例关系，原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
21．【答案】×
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：如果一个量变大，另一个量也变大，但比值不一定，所以这两量不成正比例，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题考查了判断两个相关联的量之间成什么比例的方法。
22．【答案】见试题解答内容
【分析】订阅《少年文艺》的份数与总钱数是两种相关联的量，总钱数÷份数＝每份的钱数，每份的钱数，即单价一定，也就是这两种量的比值一定，所以成正比例，不成反比例．
【解答】解：总钱数÷份数＝每份的钱数，
每份的钱数，即单价一定，也就是这两种量的比值一定，所以成正比例；
故答案为：×．
【点评】此题考查辨识成正比例的量，只要两种相关联的量比值一定，就成正比例．
23．【答案】√
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：因为花生的总质量：袋数＝每袋的质量（一定），是比值一定，所以花生的总质量和袋数成正比例，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
24．【答案】×
【分析】成正比例的两个量的比值一定，所以是一条直线。
【解答】解：成正比例的两个量的比值一定，所以是一条直线。
故答案为；×。
【点评】本题考查了学生对成正比例的两个量的关系的理解。
25．【答案】×
【分析】两种相关联的量中相对应的两个数的商一定，就成正比例关系，正比例的图象是一条过原点的直线。
【解答】解：两种相关联的量中相对应的两个数的商一定，就成正比例关系，正比例的图象是一条过原点的直线。所以原题干错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查的是正比例的意义，熟知正比例函数的图象是经过原点的一条直线是解答此题的关键。
26．【答案】见试题解答内容
【分析】判定两种相关联的量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定就成正比例；如果是乘积一定就成反比例．
【解答】解：正方体的表面积÷一个面的面积＝6（一定），是比值一定，所以正方体的一个面的面积和它的表面积成正比例；
故答案为：正．
【点评】此题属于根据正、反比例的意义，判断两种相关联的量是成正比例还是成反比例，就看两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出解答．
27．【答案】×
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此分析。
【解答】解：如果ab÷5＝17，ab＝17×5＝85（一定），是两个量的乘积一定，则a与b成反比例；原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
28．【答案】见试题解答内容
【分析】判断本数和总价是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是比值不一定，就不成正比例．
【解答】解：总价÷本数＝每本书的单价（一定），是比值一定，本数和总价就成正比例．
故判断为：正确．
【点评】此题属于辨识成正比例的量，就看这两种量是否是对应的比值一定，再做出判断．
四．应用题（共1小题）
29．【答案】40块。
【分析】根据题意知道，地砖的面积一定，房子的面积÷地砖的块数＝地砖的面积（一定），所以房子的面积与方砖的块数成正比例，由此列出比例解答即可。
【解答】解：设用同样的地砖，需要X块。
16：32＝20：X
16X＝640
X＝40
答：用同样的地砖，需要40块。
【点评】关键是判断出房子的面积与方砖的块数成正比例，由此解决问题。