3.1比的应用2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（苏教版）（含解析）

3.1比的应用（讲义）
1．比的应用
【知识点归纳】
按比例分配问题的解题方法：
（1）转化成份数乘法来解答．解题步骤：
a．先根据比求出总份数；
b．再求出各部分量占总量的几分之几；
c．求出各部分的数量．
（2）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：
a．求出总份数；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相应的具体数量．
2．按比例分配问题常用解题方法的应用：
（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；
（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．
一．选择题（共7小题）
1．六（1）班男、女生的人数比是4：3，则该班总人数不可能是（　　）人。
A．42 B．45 C．49
2．将一个正方体木块削成一个最大的圆柱，削成的圆柱与原来正方体体积的比是（　　）
A．2：3 B．π：1 C．157：200 D．π：4
3．一个三角形，它的三个内角度数的比是5：4：3，这个三角形是（　　）三角形．
A．直角 B．锐角 C．钝角
4．希望小学六年级男、女生人数的比是5：4，全级人数在30～40人之间，六年级有学生（　　）人。
A．32 B．34 C．36
5．六（1）班男生与女生的人数比是7：8，则女生人数是全班人数的（　　）
A． B． C．
6．中国农历中的“冬至”是一年中白昼最短，黑夜最长的一天。这一天某地的白昼与黑夜的时间比约是5：7，这一天白昼与黑夜相差（　　）小时。
A．2 B．3 C．4 D．5
7．无障碍设施的建设，体现城市“以人为本”的建设理念。无障碍出入口应设计轮椅坡道，坡道的坡度要符合无障碍设施的设计与要求。（坡度指每段坡道的垂直高度与水平长度的比）。一条轮椅坡道的坡度是1：16，垂直高度是4分米，这条轮椅坡道的水平长度是（　　）分米。
A．25厘米 B．25分米 C．64分米 D．64米
二．填空题（共7小题）
8．实验发现：乒乓球从高处自由落下，每次反弹高度和落下高度之比大约是2：5，如果从10m的高处落下，连续2次反弹后的高度大约是 　 　米。
9．六年级参加围棋小组的男、女生人数之比是7：5，参加围棋小组男生有49人，女生有 　 　人，六年级围棋小组一共有学生 　 　人。
10．在一个三角形中，三个内角度数的比是1：2：3，这个三角形中最大的角是 　 　．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
11．学校课后服务开展个性化社团活动，已知数独社团与魔方社团人数比为7：5，数独社团有42人，魔方社团有 　 　人。
12．有一个四位数，它的前两位组成的数与后两位组成的数的比是9：11，前两位组成的数加上6就和后两位组成的数相等，这个四位数是 　 　。
13．一个长方形的周长是32cm，长与宽的比是5：3，则这个长方形的面积是　 　cm2。
14．一瓶100克的糖水，糖与水的质量比是1：24，糖有 　 　克，将这瓶糖水搅拌均匀后平均分成两份，其中一份的含糖率是 　 　%。
三．判断题（共6小题）
15．女生人数与男生人数的比是2：3，则女生人数占全班人数的．　 　．
16．淘气和笑笑收集的邮票张数的比是8：5，淘气收集了40张邮票，则笑笑收集了35张邮票。 　 　
17．九月份用水量比八月份节约了，也就是九月份用水量是八月份的。 　 　
18．一个三角形三个内角度数之比是1：1：2，则该三角形是等腰直角三角形。 　 　
19．如果两个圆的半径比为3：2，则它们的周长比和面积比都为3：2。 　 　
20．在校园足球比赛中，甲乙两队比分为2：1，小明认为甲乙两队的进球情况可能是甲队进2个，乙队进1个，也可能是甲队进4个，乙队进2个。 　 　
四．应用题（共7小题）
21．一辆小汽车从甲地开往乙地，已走的路程与剩下路程的比是3：7，这时离中点还有120千米。甲地到乙地的路程有多少千米？
22．某修路队修一条路，已经修好的和没修好的比是2：3，若再修30千米，则正好修完这条路的一半，这条路一共有多少千米？
23．小明读一本书，已读的和未读的页数比是1：3。如果再读40页，刚好读了这本书的一半，这本书共有多少页？
24．甲、乙两城相距480km，两辆汽车同时从甲、乙两城相对开出，4小时后相遇，已知快车和慢车的速度比是7：5，快车每小时行驶多少千米？
25．常温下，浓度大于26.5%的盐水会出现盐结晶的现象。科学课上老师在准备“盐的结晶”实验时，配制了150克的盐水，其中盐和水的质量比是1：4，老师将盐水加热、沸腾（蒸发），当剩下的盐水重90克时，冷却至常温，这时盐水中会出现盐的结晶现象吗？请用数据说明。
26．贝贝读一本书，第一天读了36页，第二天读了全书的，这时已经读的页数与剩下页数比是3：2，这本书共有多少页？
27．中国24节气中，冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天，并且越往北白昼越短。这一天，郑州的白昼时长与黑夜时长的比约是3：5。冬至这一天郑州的白昼时长约是多少时？
3.1比的应用（讲义）-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（苏教版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【答案】B
【分析】男、女生的人数比是4：3，班级总人数应该是7的倍数，据此解答即可。
【解答】解：因为男、女生的人数比是4：3，班级总人数应该是7的倍数。
45÷7＝6......3
所以该班总人数不可能是45人。
故选：B。
【点评】根据因数和倍数的定义解答即可。
2．【答案】C
【分析】体积最大的圆柱体它的底面的直径和高都是正方体的棱长；设正方体的棱长是1，由此求出正方体和圆柱体的体积，再用圆柱的体积比正方体的体积即可。
【解答】解：设正方体的棱长是1
正方体的体积是1×1×1＝1
1÷2＝0.5
圆柱的体积是：
3.14×0.52×1
＝3.14×0.25×1
＝0.785
0.785：1＝157：200
答：削成的圆柱与原来正方体体积的比是157：200。
故选：C。
【点评】本题关键是找出圆柱体的底面直径和高与正方体的棱长之间的关系，然后设出数据，求出它们的体积，进而求解。
3．【答案】B
【分析】根据三角形的三角形内角和定理，三角形三个内角之和是180°，把180°平均分成（5+4+3）份，先根据除法求出1份的度数，再用乘法求出5份（最大角）的度数，然后再根据最大角的度数确定（按角分类）是这一个什么三角形．
【解答】解：180°÷（5+4+3）×5
＝180°÷12×5
＝15°×5
＝75°
这个三角形的最角是75°，即这个三角形三个角都是锐角
答：这个三角形是锐角三角形．
故选：B．
【点评】此题考查的知识点有三：三角形内角和定理、三角形的分类、按比例分配．
4．【答案】C
【分析】男生与女生的人数比是5：4，即男生有5份时，女生有4份，总人数也就有9份，人数一定是非零自然数，所以总人数一定是9的倍数。又因为全年级人数在30～40人之间，据此解答。
【解答】解：男生有5份时，女生有4份，总人数也就有9份，所以总人数一定是9的倍数。又因为全年级人数在30～40人之间，A、B、C三个选项中只有36是9的倍数，且在30～40之间，所以六年级有学生36人。
故选：C。
【点评】此题考查的目的是理解掌握比的意义及应用，关键是明确：六年级学生人数一定是9的倍数且在30～40人之间。
5．【答案】C
【分析】把全班男生人数看作7份，则女生人数为8份，用女生人数的份数除以全班人数的份数即可求解。
【解答】解：8÷（7+8）
故选：C。
【点评】本题考查了比的应用。
6．【答案】C
【分析】白昼和黑夜是24小时，24小时对应的份数是（5+7）份，据此求出1份数，用1份数乘份数差（7﹣5）即可得解。
【解答】解：24÷（5+7）×（7﹣5）
＝24÷12×2
＝2×2
＝4（小时）
答：这一天白昼与黑夜相差4小时。
故选：C。
【点评】本题考查了比的应用。
7．【答案】C
【分析】两数相除又叫两个数的比，垂直高度÷对应份数，求出一份数，一份数×水平长度的对应份数＝水平长度，据此列式计算。
【解答】解：4÷1×16＝64（分米）
答：这条轮椅坡道的水平长度是64分米。
故选：C。
【点评】关键是理解比的意义，将比的前后项看成份数。
二．填空题（共7小题）
8．【答案】1.6。
【分析】每次反弹高度和落下高度之比大约是2：5，即它弹起的高度是下落高度的，把下落的高度看作单位“1”，第一次下落高度是（10）米，再把第一次下落高度看作单位“1”，则皮球第二次反弹高度约是10，据此解答即可。
【解答】解：每次反弹高度和落下高度之比大约是2：5，即它弹起的高度是下落高度的，
10
＝4
＝1.6（米）
答：连续2次反弹后的高度大约是1.6米。
故答案为：1.6。
【点评】本题关键找准单位“1”，第二次弹起前的高度是10，进一步求出第二次弹起的高度。
9．【答案】见试题解答内容
【分析】由六年级参加围棋小组的男、女生人数之比是7：5，可知男生人数有7份，女生人数有5份，根据参加围棋小组的男生有49人，求出每份是多少，再乘女生人数对应的份数即可求出女生人数，女生人数和男生人数的和就是围棋小组共有人数。
【解答】解：49÷7＝7（人）
女生人数：7×5＝35（人）
围棋小组人数：35+49＝84（人）
答：女生有35人，六年级围棋小组一共有学生84人。
故答案为：35；84。
【点评】本题主要考查按比例分配问题，根据所给条件，求出每份的人数是解答本题的关键。
10．【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形内角和定理，三角形三个内角之和是180°，把180°平均分成（1+2+3）份，先用除法求出1份的度数，再用乘法求出3份的度数，即这个三角形最大角的度数，然后根据这个角的度数进行归类．
【解答】解：180°÷（1+2+3）×3
＝180°÷6×3
＝30°×3
＝90°
答：这个三角形中最大的角是直角．
故答案为：直角．
【点评】解答此题的关键是根据三角形内角和定理及按比例分配求出这个三角形中最大角的度数．
11．【答案】30。
【分析】用数独社团的人数除以数独社团的份数，求出一份数，用一份数乘魔方的份数求出魔方社团的人数。
【解答】解：42÷7×5
＝6×5
＝30（人）
答：魔方社团有30人。
故答案为：30。
【点评】本题考查了比的应用。
12．【答案】2733。
【分析】根据题意，把前两位数组成的数看作是9份，后两位数组成的数看作是11份，前两位数组成的数加上6和后两位数相等，也就是11份，所以每份是3，据此分别求出前两位数和后两位数即可。
【解答】解：把前两位数组成的数看作是9份，后两位数组成的数看作是11份。
11﹣9＝2份
6÷2＝3
9×3＝27
11×3＝33
所以这个四位数是2733。
故答案为：2733。
【点评】此题考查的是比的应用，解答此题的关键是找到数量之间的等量关系。
13．【答案】60。
【分析】根据题意可以知道，要想求出长方形的面积，必须先求出它的长和宽，然后依据长方形的面积＝长×宽进行计算即可；已知长方形的周长是32厘米，那么长与宽的和就是32÷2＝16（厘米），而长与宽的比是5：3，那么一共就有8份，然后用16除以8就是1份的长度，那么乘5就是长方形的长，乘3就是长方形的宽，然后进一步解答即可。
【解答】解：32÷2＝16（厘米）
5+3＝8
16÷8＝2（厘米）
2×5＝10（厘米）
2×3＝6（厘米）
10×6＝60（平方厘米）
答：这个长方形的面积是60平方厘米。
故答案为：60。
【点评】本题是一道求长方形面积的题目，解题的关键是掌握比的应用和长方形面积公式。
14．【答案】见试题解答内容
【分析】根据按比例分配的方法，把100克糖水平均分成（1+24）份，再求出1份是多少克；其中一份的含糖率和原糖水含糖率一样，原糖水含糖率＝糖的质量÷糖水的质量×100%。
【解答】解：1004（克）
4÷100×100%＝4%
答：糖有4克，将这瓶糖水搅拌均匀后平均分成两份，其中一份的含糖率是4%。
故答案为：4，4。
【点评】此题主要考查按比例分配应用题的特点以及解答规律，先求出总份数，用它作公分母，再分别求出各部分占总数的几分之几，然后根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。
三．判断题（共6小题）
15．【答案】见试题解答内容
【分析】把全班人数看作单位“1”，男生人数占全班人数的，女生人数占全班人数的，据此解答即可．
【解答】解：因为女生人数与男生人数的比是2：3，
则女生人数占全班人数的；
故答案为：×．
【点评】解决此题的关键是，找出单位“1”，再求出女生人数占总人数的几分之几．
16．【答案】×
【分析】把淘气收集的张数看作单位“1”，则笑笑收集的张数是淘气的，根据分数乘法的意义即可求出笑笑收集的张数，根据计算结果即可作出判断。
【解答】解：4025（张）
淘气和笑笑收集的邮票张数的比是8：5，淘气收集了40张邮票，则笑笑收集了25张邮票。
原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题是考查比的意义及应用。关键是把比转化成分数，求出笑笑收集的张数。
17．【答案】×
【分析】把八月份的用水量看作单位“1”，则九月份的用水量相当于（1），求九月份的用水量是八月份的几分之几，用九月份的用水量除以八月份的用水量。
【解答】解：（1）÷1
1
九月份用水量比八月份节约了，也就是九月份用水量是八月份的。
原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。
18．【答案】√
【分析】三角形的内角和是180度，已知一个三角形三个内角度数之比是1：1：2，利用按比例分配的方法，求出各角的度数，然后根据三角形按照角的大小分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，据此判断即可。
【解答】解：1+1+2＝4
18045（度）
18090（度）
所以这个三角形是等腰是直角三角形，本题说法是正确的。
故答案为：√。
【点评】此题考查的目的是理解掌握三角形按照角的大小分类、按照边的长短分类的情况及应用。
19．【答案】×
【分析】设大圆的半径为“3”，则小圆的半径为“2”，根据圆周长计算公式“C＝2πr”、圆面积计算公式“S＝πr ”分别求出这两个圆的周长比、面积并化成最简整数比，然后即可作判断。
【解答】解：（2π×3）：（2π×2）＝3：2
（π×3 ）：（π×2 ）
＝9π：4π
＝9：4
如果两个圆的半径比为3：2，则它们的周长比是3：2，面积比是9：4。
原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题考查的知识点：圆周长的计算、圆面积的计算、比的意义及化简。
20．【答案】×
【分析】甲乙两队比分为2：1说明甲队进球是2个，乙队进球是1个，如果甲队进4个，乙队进2个那么比分是4：2，据此解答。
【解答】解：一场足球比赛的比分为2：1，说明甲队进球是2个，乙队进球是1个，不可能是甲队进4个，乙队进2个，原题干说法错误。
答：原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题要明确比的意义。
四．应用题（共7小题）
21．【答案】600千米。
【分析】把已走的路程看作3份，剩下的路程看作7份，则已走的路程到中点的份数为（7﹣3）÷2＝2（份），根据量率对应，用离中点的距离除以对应的份数求出一份数，用一份数乘10份即可求解。
【解答】解：（7﹣3）÷2
＝4÷2
＝2
120÷2＝60（千米）
60×（3+7）
＝60×10
＝600（千米）
答：甲地到乙地的路程有600千米。
【点评】本题考查了比的应用。
22．【答案】300千米。
【分析】已经修的与未修的比是2：3，据此可知已修的占全长的，用全部修完的50%减去，就是再修的分率，正好与再修的30米形成相互对应的关系，由此用除法列式即可求出这条路全长。
【解答】解：30÷（50%）
＝30÷（50%）
＝30
＝300（千米）
答：这条路一共有300千米。
【点评】关键是把比转化为分数，找出30千米对应的分数，用除法列式解答即可。
23．【答案】160页。
【分析】已读的占这本书的1÷（1+3），也就是40就是这本书的，再用40除以，即可解答。
【解答】解：40÷[1÷（1+3）]
＝40
＝160（页）
答：这本书共有160页。
【点评】本题考查的是比的应用，理解和应用比的意义是解答关键。
24．【答案】70千米。
【分析】首先根据路程÷时间＝速度，用甲乙两城之间的距离除以两车相遇的时间，求出两车的速度之和；然后根据快车和慢车的速度比是7：5，可得快车的速度是两车速度之和的；最后根据分数乘法的意义，用两车的速度之和乘，求出快车每小时行多少千米即可。
【解答】解：480÷4
＝120
＝70（千米）
答：快车每小时行70千米。
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；解答此题的关键是求出两车的速度之和是多少。
25．【答案】盐水中会出现盐的结晶现象。
【分析】蒸发的只是水的重量，盐的重量是不变的，求出最后盐水的浓度，和26.5%进行比较，如果大于等于26.5%，则会出现盐结晶，否则不会出现盐结晶。
【解答】解：150÷（1+4）
＝150÷5
＝30（克）
30÷90≈33.3%
33.3%＞26.5%
答：盐水中会出现盐的结晶现象。
【点评】此题主要考查了比的应用以及浓度的基本概念的掌握和应用。
26．【答案】160页。
【分析】把这本书的页数看作单位“1”，第一天读了36页，第二天读了全书的，这时已读了全书的，36页占全书的（），根据分数除法的意义，用36页除以（）就是这本书的页数。
【解答】解：36÷（）
＝36÷（）
＝36
＝160（页）
答：这本书共有160页。
【点评】此题考查了比的应用。关键是把比转化成分数，进而求出36页所占的分率，然后根据分数除法的意义解答。
27．【答案】9小时。
【分析】把一天的时间看作单位“1”，其中白昼时长占。根据分数乘法的意义，用一天的时间（24小时）乘就是冬至这一天郑州的白昼时长。
【解答】解：24
＝24
＝9（小时）
答：冬至这一天郑州的白昼时长约9小时。
【点评】此题考查了比的应用。关键是把比转化成分数，再根据分数乘法的意义解答。也可把全天的时间平均分成（3+5）份，用除法求出1份的时间，再用乘法求出3份的时间。