5.2 导数运算及切线方程求法 学案
文档属性
| 名称 | 5.2 导数运算及切线方程求法 学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-15 14:38:23 | ||
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文档简介
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导数运算及切线方程求法（含解析）
知识点：
1、平均变化率：一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为：
2、求导数的方法：求导数值的一般步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：。
3、基本初等函数的导数公式
4、导数运算法则
(1)；
拓展：；
记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差；
(2)；
特别：，为常数；
记忆：两函数积的导数等于“前导后不导＋后导前不导”；
(3).
记忆：两函数商的导数等于“分母平分，分子导分母不导－分母导分子不导”.
5、复合函数的导数
对于两个函数和，若通过变量可以表示成的函数，则称这个函数为函数和的复合函数，记作．
复合函数的导数与函数 的导数间的关系是
Eg若，设，，
则.
题型分类专练
一、导数概念
1．若可导函数 的图象过原点，且满足 ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
2．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为（ ）
A．f′(x0)＝ B．f′(x0)＝
C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) D．f′(x0)＝
3．已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角是 ．
二、导数四则运算
5．已知函数（是的导函数），则（ ）
A． B． C． D．
6．以下函数求导正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
7．函数 的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．求下列函数的导数：
（1）； （2） ； （3）．
三、切线方程求法（过切点）
9．曲线在点处的切线的斜率（ ）
A．5 B．4 C．-1 D．-2
10．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
11．曲线在处的切线方程为 .
四、切线方程求法（知斜率）
12．曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A． B． C．1 D．2
13． 设函数在处的切线与直线平行，则（ ）
A． B．2 C． D．1
14．已知曲线 在点 处切线的斜率为8，则 （ ）
A．9 B．6 C．-9 D．-6
15．曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点的坐标为（ ）
A．(1, 0) B．(2, 8)
C．(1, 0)和(-1, -4) D．(2, 8)和(-1, -4)
16．已知曲线 在点P处的切线平行于直线 ，那么点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
17．已知直线与曲线相切，则的值为 .
五、切线方程求法（过定点）
18．若经过点P(2，8)作曲线 的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
19．曲线 在 处的切线 过原点，则 的方程是（ ）
A． B． C． D．
20．若曲线 的一条切线经过点 ，则此切线的斜率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
21．过点作曲线的切线，所得切线斜率为（ ）
A．－3 B．0或3 C．－3或24 D．0
22．若曲线在处的切线经过点，则实数 ．
六、切线方程求法（公切线）
23．已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】 的图象过原点， ，
故答案为：B
【分析】利用函数图象过原点结合代入法，从而结合导数与极限的关系式，进而求出导函数的值。
2．【答案】A
【解析】【解答】B中f′(x0)＝ ，右边的式子表示函数值的变化量的极限，趋近于0；C中f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，右边的式子表示函数值的变化量；D中f′(x0)＝ ，右边的式子表示函数的平均变化率．
故答案为：A
【分析】根据题意由导数的定义即可求出f’(x)=由此判断出选项A正确。
3．【答案】B,C,D
4．【答案】
【解析】【解答】因为
= ，
所以 ，
则曲线 在点 处的切线斜率为 ，即 ，
又
所以所求切线的倾斜角 为 ．
故答案为：
【分析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义即可求得答案。
5．【答案】D
【解析】【解答】，，
，，
故答案为：D.
【分析】利用导数的运算进行求解，即可得出答案。
6．【答案】A,C
【解析】【解答】对A， ，A符合题意
对B， ，B不符合题意
对C，
所以C符合题意
对D， ，D不符合题意
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则结合复合函数求导的运算法则，进而找出函数求导正确的选项。
7．【答案】B
【解析】【解答】 ，
。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则和复合函数导数求解公式，进而求出函数 的导数 。
8．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的加法运算法则得出导函数。
（2）利用已知条件结合导数的乘法运算法则得出导函数。
（3）利用已知条件结合导数的乘法运算法则和复合函数的导数运算法则，进而得出导函数。
9．【答案】C
10．【答案】A
【解析】【解答】解：因为所以，所以 ，代入点斜式得y-1=3(x-1)，
即3x-y-2=0 ，所以切线方程是3x-y-2=0.
故答案为：A.
【分析】先求导，将x=1代入求得切线方程的斜率，利用点斜式即可求得.
11．【答案】
【解析】【解答】解：由题意知：，所以，
所以直线的斜率，又因为切点为，
所以切线方程为：.
故答案为：.
【分析】利用导数求出处的直线斜率，然后利用直线的点斜式知识即可求解.
12．【答案】C
【解析】【解答】解：因为,
所以,解得a=1,
故答案为：C.
【分析】直接对函数 求导，再根据函数f(x)在（0,1)处的切线与y=2x平行即可求解.
13．【答案】D
【解析】解：由函数，可得，所以，
又因为函数在处的切线与直线平行，可得，
解得.
故答案为：D.
【分析】求得，得到，结合题意，列出方程，即可求解.
14．【答案】D
【解析】【解答】 ，由导数的几何意义知在点 处的切线的斜率为 ，解得 。
故答案为：D
【分析】利用导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再结合已知条件曲线 在点 处切线的斜率为8，从而求出实数a的值。
15．【答案】C
【解析】【解答】依题意,令 ，解得
故 点的坐标为(1, 0)和(-1, -4)，
故答案为：C
【分析】根据题意求出函数的导函数再把数值代入计算出结果即可求出点P的坐标。
16．【答案】B,C
【解析】【解答】设 ，
则
，
令 ，即 ，解得 ，
又 ，
所以P点坐标为 或 ．
故答案为：BC．
【分析】首先根据题意求出函数的导数，再由直线平行的性质计算出x的值由此得出点P的坐标即可。
17．【答案】3
【解析】【解答】解：因为 ，可得，
设切点坐标为，则切线斜率为，
由题意可得，解得，
即 的值为 3.
故答案为：3.
【分析】求导，切点坐标为，可知切线斜率为，结合题意列式求解即可.
18．【答案】D
【解析】【解答】解：①易知P点在曲线上，当P点为切点时，y=3x2，k=12，12x-y-16=0 .
②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0) ，由定义可求得切线的斜率为 .
∵A在曲线上，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
解得x0=-1或x0=2(舍去)，
∴ y0=-1，k=3，
此时切线方程为y+1=3(x+1)，
即3x-y+2=0 .
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x-y-16=0或3x-y+2=0 .
故选：D
【分析】因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可.
19．【答案】A
【解析】【解答】解：曲线 ， ，切点为 ，
所以切线 的斜率 ，
又直线 过原点，所以 ，
得 ， ．所以 ，故切线 的方程为 即 ．
故答案为：A．
【分析】根据题意首先对函数求导再结合导函数与切线斜率的关系即可求出直线的斜率，再由点斜式求出直线的方程即可。
20．【答案】C
【解析】【解答】由题意，可设切点坐标为 ，由 ，则 ，切线斜率 ，由点斜式可得切线方程为 ，又切线过点 ，所以 ，整理得 ，解得 或 ，所以切线斜 或 .
故答案为：C.
【分析】将此幂函数求导后假设切点坐标，根据导数的定义和切线经过的点的坐标建立等量关系，从而可得到该切点坐标，从而得到切线的斜率.
21．【答案】C
【解析】【解答】由已知可得，点不在曲线上，设切点为
因为，根据导数的几何意义可得，切线斜率，
又切线过点，所以，
所以，整理可得.
又，所以有，
即，解得或.
当时，；当时，.
所以切线斜率为－3或24.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出曲线的切线的斜率与切点横坐标的关系式，再结合两点求斜率公式和代入法，进而得出切点的横坐标，从而得出切线的斜率。
22．【答案】
【解析】【解答】因为，则，
即切线斜率为，切点为，则切线方程为，
由题意可得：，解得.
故答案为： .
【分析】根据导数的几何意义求切线方程为，进而代入 点运算求解即可.
23．【答案】A
24．【答案】1-ln2
【解析】【解答】对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，由点 在切线上得 ，由点 在切线上得 ，这两条直线表示同一条直线，所以 ，解得 。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，结合直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，从而求出b的值。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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导数运算及切线方程求法（含解析）
知识点：
1、平均变化率：一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为：
2、求导数的方法：求导数值的一般步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：。
3、基本初等函数的导数公式
4、导数运算法则
(1)；
拓展：；
记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差；
(2)；
特别：，为常数；
记忆：两函数积的导数等于“前导后不导＋后导前不导”；
(3).
记忆：两函数商的导数等于“分母平分，分子导分母不导－分母导分子不导”.
5、复合函数的导数
对于两个函数和，若通过变量可以表示成的函数，则称这个函数为函数和的复合函数，记作．
复合函数的导数与函数 的导数间的关系是
Eg若，设，，
则.
题型分类专练
一、导数概念
1．若可导函数 的图象过原点，且满足 ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
2．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为（ ）
A．f′(x0)＝ B．f′(x0)＝
C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) D．f′(x0)＝
3．已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角是 ．
二、导数四则运算
5．已知函数（是的导函数），则（ ）
A． B． C． D．
6．以下函数求导正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
7．函数 的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．求下列函数的导数：
（1）； （2） ； （3）．
三、切线方程求法（过切点）
9．曲线在点处的切线的斜率（ ）
A．5 B．4 C．-1 D．-2
10．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
11．曲线在处的切线方程为 .
四、切线方程求法（知斜率）
12．曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A． B． C．1 D．2
13． 设函数在处的切线与直线平行，则（ ）
A． B．2 C． D．1
14．已知曲线 在点 处切线的斜率为8，则 （ ）
A．9 B．6 C．-9 D．-6
15．曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点的坐标为（ ）
A．(1, 0) B．(2, 8)
C．(1, 0)和(-1, -4) D．(2, 8)和(-1, -4)
16．已知曲线 在点P处的切线平行于直线 ，那么点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
17．已知直线与曲线相切，则的值为 .
五、切线方程求法（过定点）
18．若经过点P(2，8)作曲线 的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
19．曲线 在 处的切线 过原点，则 的方程是（ ）
A． B． C． D．
20．若曲线 的一条切线经过点 ，则此切线的斜率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
21．过点作曲线的切线，所得切线斜率为（ ）
A．－3 B．0或3 C．－3或24 D．0
22．若曲线在处的切线经过点，则实数 ．
六、切线方程求法（公切线）
23．已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】 的图象过原点， ，
故答案为：B
【分析】利用函数图象过原点结合代入法，从而结合导数与极限的关系式，进而求出导函数的值。
2．【答案】A
【解析】【解答】B中f′(x0)＝ ，右边的式子表示函数值的变化量的极限，趋近于0；C中f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，右边的式子表示函数值的变化量；D中f′(x0)＝ ，右边的式子表示函数的平均变化率．
故答案为：A
【分析】根据题意由导数的定义即可求出f’(x)=由此判断出选项A正确。
3．【答案】B,C,D
4．【答案】
【解析】【解答】因为
= ，
所以 ，
则曲线 在点 处的切线斜率为 ，即 ，
又
所以所求切线的倾斜角 为 ．
故答案为：
【分析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义即可求得答案。
5．【答案】D
【解析】【解答】，，
，，
故答案为：D.
【分析】利用导数的运算进行求解，即可得出答案。
6．【答案】A,C
【解析】【解答】对A， ，A符合题意
对B， ，B不符合题意
对C，
所以C符合题意
对D， ，D不符合题意
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则结合复合函数求导的运算法则，进而找出函数求导正确的选项。
7．【答案】B
【解析】【解答】 ，
。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则和复合函数导数求解公式，进而求出函数 的导数 。
8．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的加法运算法则得出导函数。
（2）利用已知条件结合导数的乘法运算法则得出导函数。
（3）利用已知条件结合导数的乘法运算法则和复合函数的导数运算法则，进而得出导函数。
9．【答案】C
10．【答案】A
【解析】【解答】解：因为所以，所以 ，代入点斜式得y-1=3(x-1)，
即3x-y-2=0 ，所以切线方程是3x-y-2=0.
故答案为：A.
【分析】先求导，将x=1代入求得切线方程的斜率，利用点斜式即可求得.
11．【答案】
【解析】【解答】解：由题意知：，所以，
所以直线的斜率，又因为切点为，
所以切线方程为：.
故答案为：.
【分析】利用导数求出处的直线斜率，然后利用直线的点斜式知识即可求解.
12．【答案】C
【解析】【解答】解：因为,
所以,解得a=1,
故答案为：C.
【分析】直接对函数 求导，再根据函数f(x)在（0,1)处的切线与y=2x平行即可求解.
13．【答案】D
【解析】解：由函数，可得，所以，
又因为函数在处的切线与直线平行，可得，
解得.
故答案为：D.
【分析】求得，得到，结合题意，列出方程，即可求解.
14．【答案】D
【解析】【解答】 ，由导数的几何意义知在点 处的切线的斜率为 ，解得 。
故答案为：D
【分析】利用导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再结合已知条件曲线 在点 处切线的斜率为8，从而求出实数a的值。
15．【答案】C
【解析】【解答】依题意,令 ，解得
故 点的坐标为(1, 0)和(-1, -4)，
故答案为：C
【分析】根据题意求出函数的导函数再把数值代入计算出结果即可求出点P的坐标。
16．【答案】B,C
【解析】【解答】设 ，
则
，
令 ，即 ，解得 ，
又 ，
所以P点坐标为 或 ．
故答案为：BC．
【分析】首先根据题意求出函数的导数，再由直线平行的性质计算出x的值由此得出点P的坐标即可。
17．【答案】3
【解析】【解答】解：因为 ，可得，
设切点坐标为，则切线斜率为，
由题意可得，解得，
即 的值为 3.
故答案为：3.
【分析】求导，切点坐标为，可知切线斜率为，结合题意列式求解即可.
18．【答案】D
【解析】【解答】解：①易知P点在曲线上，当P点为切点时，y=3x2，k=12，12x-y-16=0 .
②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0) ，由定义可求得切线的斜率为 .
∵A在曲线上，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
解得x0=-1或x0=2(舍去)，
∴ y0=-1，k=3，
此时切线方程为y+1=3(x+1)，
即3x-y+2=0 .
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x-y-16=0或3x-y+2=0 .
故选：D
【分析】因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可.
19．【答案】A
【解析】【解答】解：曲线 ， ，切点为 ，
所以切线 的斜率 ，
又直线 过原点，所以 ，
得 ， ．所以 ，故切线 的方程为 即 ．
故答案为：A．
【分析】根据题意首先对函数求导再结合导函数与切线斜率的关系即可求出直线的斜率，再由点斜式求出直线的方程即可。
20．【答案】C
【解析】【解答】由题意，可设切点坐标为 ，由 ，则 ，切线斜率 ，由点斜式可得切线方程为 ，又切线过点 ，所以 ，整理得 ，解得 或 ，所以切线斜 或 .
故答案为：C.
【分析】将此幂函数求导后假设切点坐标，根据导数的定义和切线经过的点的坐标建立等量关系，从而可得到该切点坐标，从而得到切线的斜率.
21．【答案】C
【解析】【解答】由已知可得，点不在曲线上，设切点为
因为，根据导数的几何意义可得，切线斜率，
又切线过点，所以，
所以，整理可得.
又，所以有，
即，解得或.
当时，；当时，.
所以切线斜率为－3或24.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出曲线的切线的斜率与切点横坐标的关系式，再结合两点求斜率公式和代入法，进而得出切点的横坐标，从而得出切线的斜率。
22．【答案】
【解析】【解答】因为，则，
即切线斜率为，切点为，则切线方程为，
由题意可得：，解得.
故答案为： .
【分析】根据导数的几何意义求切线方程为，进而代入 点运算求解即可.
23．【答案】A
24．【答案】1-ln2
【解析】【解答】对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，由点 在切线上得 ，由点 在切线上得 ，这两条直线表示同一条直线，所以 ，解得 。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，结合直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，从而求出b的值。
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