22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
◆基础扫描
1. 函数的图象顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知二次函数的图象如图1所示,则下列关于，，间的关系判断正确的是（ ）
A．＜0 B. ＜0 C. D.
图1 图2 图3
3.二次函数,当x= 时,y有最 值为 .
4. 如图2所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是 ．
5. 已知二次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则当满足的条件是 时，；当满足的条件是 时，．
0
1
2
3
0
2
0
◆能力拓展
6. 如图3,二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC.
（1）求C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值。
7.某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
X(元)
15
20
30
…
y(件)
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数.
(1)求出日销售量y(件)是销售价x(元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元? 此时每日的销售利润是多少元?
◆创新学习
8．如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C 2．D 3． 大 4 4．－1
5．0或2 0＜＜2
6．(1)C(0,5)
(2)
7．(1)设此一次函数关系式为,
则{,解得
故一次函数的关系式为.
(2)设所获利润为元,
则
所以产品的销售价应定为25元,此时每日的销售利润为225元．
8．（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为．
把A、B两点坐标代入上式，得
解之，得
故抛物线解析式为，顶点为
（2）∵点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合.
，
∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．
∵OA是的对角线，
∴．
因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），
所以，自变量的取值范围是1＜＜6．
①根据题意，当S = 24时，即．
化简，得 解之，得
故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．
点E1（3，－4）满足OE = AE，所以是菱形；
点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以不是菱形．
②当OA⊥EF，且OA = EF时，是正方形，
此时点E的坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，
故不存在这样的点E，使为正方形．
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
课 题
课型
新授课
执笔人
审核人
级部审核
讲学时间
第 周第 讲学稿
教师寄语
今日事，今日毕。不要把今天的事拖到明天。
学习目标
教学重点
的顶点坐标公式
教学难点
的顶点坐标公式
教学方法
导学训练
学生自主活动材料
【学习过程】
一、依标独学：
1.抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当= 时有最 值是 ；当 时，随的增大而增大；当 时，随的增大而减小。
2. 二次函数解析式中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。
二、围标群学：
（一）、问题：（1）你能说出函数 的图像的对称轴和顶点坐标吗？
（2）你有办法解决问题（1）吗？
解：的顶点坐标是 ，对称轴是 .
（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.
（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：
① ②
（5）归纳：二次函数的一般式可以用配方法转化成顶点式： ，因此抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是 ，
（二）、用描点法画出的图像.
（1）顶点坐标为 ；
（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）
…
…
…
（3）描点，并连线：
（4）观察：①图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；
② 时，随的增大而增大； 时随的增大而减小。
③该抛物线与轴交于点 。
④该抛物线与轴有 个交点.
三三、扣标展示
求出顶点的横坐标后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。
四、达标测评：
教学反思：
自我评价专栏(分优良中差四个等级)
22.1.4 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数的图象和性质
学习目标
1.会画二次函数的图象。
2.熟记二次函数的顶点坐标与对称轴公式.
3.配方法求二次函数的顶点坐标与对称轴.
教学过程
一、情境导入
火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h=-5t2+150t+10表示．经过多长时间，火箭达到它的最高点？
二、合作探究
探究点一：二次函数的图象和性质
【类型一】二次函数图象的位置与系数符号互判
例1（2014四川德阳）已知0≤x≤，那么函数的最大值是（ ）
A．﹣10.5 B．2
C．﹣2.5 D．﹣6
解析：，∵自变量取值范围0≤x≤，∴图象都在对称轴的左侧，且y随x的增大而增大。∴当x=时，y有最大值，最大值为：
，故选择C。
方法总结：二次函数求最值最常用的方法是配方法和公式法，需要注意的时，当自变量限制范围时，如果对称轴取值不在范围内，则可以根据二次函数图象的增减性在取值范围内求最值。
例2如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图像经过点（－1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴．
第（1）问：给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0．其中正确的结论的序号是 ；
第（2）问：给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1．其中正确的结论的序号是 ．
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛物线的顶点在第四象限，得＞0，又a＞0，所以b＜0；由抛物线与x轴交点的横坐标是1，得a＋b＋c＝0．因此，第（1）问中正确的结论是①，④．
在第（1）问的基础上，由a＞0、b＜0、c＜0，可得abc＞0；由＜1、a＞0，可得2a＋b＞0；由点（－1，2）在抛物线上，可知a－b＋c＝2，又a＋b＋c＝0，两式相加得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1；由a＋c＝1，c＜0，可得a＞1．因此，第（2）问中正确的结论是②，③，④．
方法总结: 观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0．②根据评为新的顶点所在象限可以确定b的符号．顶点在第一、四象限，＞0，由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，＜0，由此得a、b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号．
【类型二】二次函数的性质
例3（2014福建三明）已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，
由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴为，即b≤1，故选择D .
方法总结:由二次项系数为负，可知抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，可得对称轴应小于等于1，通过解不等式可求得b的取值范围.
例4（2014广西南宁）如图，已知二次函数，当－1＜＜时，随的增大而增大,则实数的取值范围是（ ）
A．＞1 B．－1＜≤1
C．＞0 D． －1＜＜2
解析：抛物线的对称轴为，因为函数开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以a≤1，∵－1＜＜，∴－1
方法总结：抛物线的增减性： 当a＞0，当开口向上时，对称轴左降右升； 当a＜0，开口向下时，对称轴左升右降.
【类型三】二次函数与一次函数的图象的综合识别
例4（2014贵州遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是（ ）
解析：∵A图和D图中直线y=ax+b过一、三、四象限，∴ a＞0,b＜0,∴抛物线y=ax2+bx的开口向上，对称轴x=－＞0，∴选项A错，选项D正确;B图和C图中直线y=ax+b过二、三、四象限，∴ a＜0,b＜0,∴抛物线的开口向下，且对称轴x=－＜0,∴选项B错，选项C错. 故选择 D.
方法总结：多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象（如一次函数，反比例函数），再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论.
【类型四】抛物线的平移
例5（2014浙江丽水）在同一平面直角坐标系内，将函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是（ ）
A． B．
C． D．
解析：二次函数配方得=
，将抛物线向右平移2个单位所得抛物线的解析式为
=，将抛物线向下平移1个单位所得抛物线的解析式为
=，此时的二次函数图象的顶点为（1，-6），故选择C..
方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y = a x2 (a≠0)向上平移k（k>0）个单位所得的函数关系式为y=ax2＋k,向下平移k(k>0)个单位所得函数关系式为y=ax2-k；向左平移h（h>0）个单位所得函数关系式为y=a(x＋h) 2;向右平移h（h>0）个单位所得函数关系式为y=a(x-h) 2;这一规律可简记为“上加下减，左加右减”.
【类型五】二次函数图象与几何图形综合应用
例5如图，已知二次函数的图象经过A(2，0)、B(0，-6)两点.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积.
解：(1)把A(2，0)、B(0，-6)代入
得: 解得
∴这个二次函数的解析式为.
(2) ∵该抛物线对称轴为直线
∴点C的坐标为(4，0)
∴AC=OC－OA=4－2=2
∴
四、板书设计
教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法方法.
课件13张PPT。课件15张PPT。一、情景引入二、合作探究三、课堂小结四、课后作业探究点一 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质提出
问题知识
要点典例
精析巩固
训练
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的
图象和性质
首页向上向下(h ,k)(h ,k)x=hx=h当xy随着x的增大而减小。
当x>h时，
y随着x的增大而增大。 当xy随着x的增大而增大。
当x>h时，
y随着x的增大而减小。 x=h时,y最小=kx=h时,y最大=k抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的。 x:左加右减
y:上加下减顶点式一、情景导入首页课前练习1. ①若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4
个单位所得抛物线的解析式是____________。②将抛 物线y=2(x+2)2-1 先向____平移____个单
位，再向____平移____个单位可得到抛物线
y=2(x -1)2+3 。2.抛物线的顶点为(3,5) ,且经过点（1，-3），则此
抛物线的解析式为______________。3.二次函数y=a(x-m)2+2m,无论m为何实数,图象的
顶点必在( )上
A.直线y=-2x上 B.x轴上
C.y轴上 D.直线y=2x上y=-2(x-3)2+5右3上4y=-(x+2)2-4D首页课前练习(0,0)y轴0(0,-5)y轴-5(-2,0)直线x=-20(-2,-4)直线x=-2-4(4,3)直线x=43??????首页 我们知道，像y=a(x-h)2+k这样的函数容易确定相应抛物线的顶点（h，k），那么你能确定二次函数 的顶点吗？如何画该抛物线的图象？7.553.533.557.5怎样平移抛物线
y= x2 得到该抛物线？二、合作探究探究点一 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质首页思考：如何将y=ax2+bx+c配成顶点式？首页一般地，我们可用配方求抛物线y=ax2+bx+c的
顶点坐标和对称轴。因此，抛物线y=ax2+bx+c 的
顶点坐标是：
对称轴是：直线首页解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴为 ，即b≤1，故选择D .例：（2014·福建三明）已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1首页 见《学练优》第35页课堂达标训练第1、2、3、4、5、6题首页小结求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标和对称轴有两种方法：1.配方法2.公式法顶点：对称轴：首页(0,0)(0,c)y轴y轴0c(h,0)直线x=h0(h,k)直线x=hk三、课堂小结首页能力训练1.二次函数y=-2x2-x+1的顶点位于第 象限
2.已知二次函数y=2x2-8x+1，当x= ，函数有最小值为
3.若函数y=-0.5x2+2x+m有最大值为5，则m___
4.将抛物线y=2x2-4x+5向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得 首页0.5m首页6.周长为48m的篱笆，一面利用旧墙围（足够长）成如图所示的矩形栅栏，写出栅栏面积y与墙宽x的函数关系式，并求宽x为何值时，栅栏的面积最大？最大面积是多少？
能力训练首页见《学练优》本课时课后巩固提升学.科.网四、课外作业首页课件21张PPT。22.1.4二次函数y=ax2+bx+c
图象和性质（一） 学习目标 1、会用公式法和配方法求二次函数一般
式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴； 2、熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点
坐标公式； 3、会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c
的图象 。 一般地，抛物线y=a(x-h) +k与y=ax 的 相同， 不同22形状位置 y=ax2y=a(x-h) +k2上加下减左加右减知识回顾：抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口 ，
当a﹤0时，开口 ，向上向下 2.对称轴是 ；3.顶点坐标是 。直线X=h(h,k)知识回顾：直线x=–3直线x=1直线x=2直线x=3向上向上向下向下（－3，5）（1，－2）（3，7 ）（2，－6）知识回顾：zxxk如何画出 的图象呢? 我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数 也 能化成这样的形式吗？创设情境，导入新课：函数y=ax2+bx+c的图象 用配方法。探究新知： 怎样把函数 转化成
y=a(x-h）2+k的形式?直接画函数 的图象 提取二次项系数配方整理化简:去掉中括号解：配方 y= — (x―6) +3212你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数；( 2 )“配”：括号内配成完全平方；（3）“化”：化成顶点式。老师提示:
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式探究新知：根据顶点式 确定开口方向,对称轴,顶点坐标.列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.∵a= >0,
∴开口向上;
对称轴:直线x=6;
顶点坐标:(6,3).直接画函数 的图象 直接画函数 的图象 描点、连线，画出函数 图像.（6,3）问题：
1.怎样平移抛物线
可以得到抛物线
？
2.看图像说说抛物线
的增减性。
二次函数 y= —x －6x +21图象的
画法：(1)“化” ：化成顶点式 ；(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶
点坐标；(3)“画”：列表、描点、连线。212归纳：探 究 你能用上面的方法讨论二次函数y＝－2x2－4x＋1的图像和性质吗？求次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标． 函数y=ax2+bx+c的顶点是配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号
这个结果通常称为求顶点坐标公式.问题：归纳总结：一般地，我们可以用配方法将 配方成﹙1﹚二次函数 ( a≠0)的图象是一条 ；
﹙2﹚对称轴是直线 ； 顶点坐标是 ( )
抛物线x=方法归纳二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.位置与开口方向２. 对称轴与顶点坐标３. 最值与增减性抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的值最小（大）？（4）（3）（2）（1）练习解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上解: a = －1 < 0抛物线开口向下（2）解: a = －2 < 0抛物线开口向下（3）解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上（4）第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
一、选择题
1.函数y=x2+2x+1写成y=a(x－h)2+k的形式是
A.y=(x－1)2+2 B.y=(x－1)2+
C.y=(x－1)2－3 D.y=(x+2)2－1
2.抛物线y=－2x2－x+1的顶点在第_____象限
A.一 B.二 C.三 D.四
3.不论m取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都
A.在y=x直线上 B.在直线y=－x上
C.在x轴上 D.在y轴上
4.任给一些不同的实数n，得到不同的抛物线y=2x2+n，如当n=0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中
A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，－1) D.(1，1)
图3
6.下列说法错误的是
A.二次函数y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0
B.二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大
C.在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的图象开口最大，y=－x2的图象开口最小
D.不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
7.已知二次函数y=x2+(2k+1)x+k2－1的最小值是0，则k的值是
A. B.－ C. D.－
8.小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y1)，(，y2)， (－3，y3)，则你认为y1，y2，y3的大小关系应为
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1
二、填空题
9.抛物线y=(x+3)2的顶点坐标是______.
10.将抛物线y=3x2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.
11.函数y=x－2－3x2有最_____值为_____.
12.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______.
13.二次函数y=mx2+2x+m－4m2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.
三、解答题
14.根据已知条件确定二次函数的表达式
（1）图象的顶点为（2，3），且经过点（3，6）；
（2）图象经过点（1，0），（3，0）和（0，9）；
（3）图象经过点（1，0），（0，-3），且对称轴是直线x=2。
15.(8分)请写出一个二次函数，此二次函数具备顶点在x轴上，且过点(0，1)两个条件，并说明你的理由.
16.(10分)把抛物线y=－3(x－1)2向上平移k个单位，所得的抛物线与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，若x12+x22=，请你求出k的值.
17.(10分)如图6是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式.
图6
18.(12分)有这样一道题：“已知二次函数y=ax2+bx+c图象过P(1，－4)，且有c=－3a，……求证这个二次函数的图象必过定点A(－1，0).”题中“……”部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.
(1)你能根据题中信息求这个二次函数表达式吗？若能，请求出；若不能，请说明理由.
(2)请你根据已有信息，在原题“……”处添上一个适当的条件，把原题补充完整.
参考答案
一、1——8 DBBDD CDD
二、9.(－3，0) ；10.(0，3)；11.大 －；12.y=2x2+8x+11；13.(－4，－4)；
三、14.解：（1）依题可设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+3
又∵图象过点（3，6） ∴6=a(3-2)2+3 ∴a=3 ∴y=3(x-2)2+3
(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，依题有
a+b+c=0 a=3
9a+3b+c=0 解得 b=-12
0+0+c=9 c=9 ∴所求二次函数的表达式为y=3x2-12x+9
(3)依题可设二次函数的表达式为y=a(x-2)2+h
∵图象经过点（1，0），（0，-3）
∴ a(1-2)2+h=0 解得 a=-1
a(0-2)2+h=-3 h=1 ∴y=-(x-2)2+1
15.y=x2+2x+1(不唯一).
∵=0,
∴抛物线顶点的纵坐标为0.
当x=0，y=1时符合要求.
16.解：把抛物线y=－3(x－1)2向上平移k个单位，所得的抛物线为y=－3(x－1)2+k.
当y=0即－3x2+6x－3+k=0时，
∵x1+x2=2，x1·x2=
∴x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=4+
解得k=.
17.解：正确.
抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图.(仅举两例)
18.解：(1)依题意，能求出.
∴
y=x2－2x－3.
(2)添加条件：对称轴x=1(不唯一).
学习目标
会用一般式、顶点式，两根式，求二次函数的解析式，
体会待定系数法思想的精髓
学习重点
会用一般式、顶点式，两根式，求二次函数的解析式，
学习难点
体会待定系数法思想的精髓
学习过程
一、【合作复习】
1.二次函数的一般形式为 .
顶点坐标（ ），对称轴为 最大（小）值为
2、二次函数的顶点式为
顶点坐标（ ），对称轴为 最大（小）值为
二、【自主学习】
阅读课本12—13页，体会用会待定系数法求二次函数的解析式的思路
例1．已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)；求它的关系式．
三、【合作交流】
例2．已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1)，
求这个二次函数的解析式
例3.抛物线与轴交与点（1,0）、（-3,0），求这个抛物线的解析式
四、【课堂练习】
1.已知一条抛物线的开口大小与相同但方向相反，且顶点坐标是（2,3），则该抛物线的关系式是 .
2、已知一条抛物线是由平移得到，并且与轴的交点坐标是（-1,0）、（2,0），则该抛物线的关系式是 .
3.已知一条抛物线与的形状相同，开口方向相同，对称轴相同，且与轴的交点坐标是（0,-3），则该抛物线的关系式是 .
4、根据下列条件求二次函数的解析式：
（1）函数图像经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-2）
( 2 ) 函数图像的顶点坐标是（2，4）且经过点（0，1）
（3）函数图像的对称轴是直线x=3,且图像经过点（1，0）和（5，0）
五、【课堂作业】
1.二次函数的顶点是（2，-1），该抛物线可设为 .
2.二次函数与轴交与点（0，-10），则可知C= .
3.抛物线的顶点坐标为（-2,3），且经过点（-1,7），求此抛物线的解析式.
4.已知抛物线的图象过点（0,0）、（12,0），最低点的纵坐标为-3，求该抛物线的解析式.
六、【中考体验】
1.已知二次函数的图象经过点A（-1,12）、B（2，-3）,求这个二次函数的解析式
2.二次函数的图象如图所示，请将A、B、C、D点的坐标填在图中.
请用不同方法求出该函数的关系式.
(1)选择点 的坐标，用顶点式求关系式如下：
(2)选择点 的坐标，用 式求关系式如下：
第2课时 用待定系数法求二次函数解析式
学习目标
1.通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法.
2.会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用.
教学过程
一、情境导入
某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米,此时喷水水平距离为米,你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？
二、合作探究
探究点一：用待定系数法求二次函数解析式
【类型一】用一般式确定二次函数解析式
例1已知二次函数的图象经过点和．求这个二次函数的关系式．
分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax+bx+c (a≠0)．
解：设这个二次函数的关系式为y=ax+bx+c (a≠0)
依题意得：
解这个方程组得：
∴这个二次函数的关系式为y=2x+3x－4．
方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设为一般式y＝ax2＋bx＋c，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；
【类型二】用顶点式确定二次函数解析式
例2已知二次函数的图象图象顶点是（-2，3），且过（-1，5），求这个二次函数的关系式．
设二次函数关系式为：y = a( x – h)2 + k，
图象顶点是（-2，3）
h=-2，k=3，
依题意得：5=a( -1 + 2)2+3，解得：a=2
y = 2( x +2)2 + 3=
方法总结：若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴方程x = h，极值为当x = h时，y极值=k来求出相应的系数；
【类型三】根据平移确定二次函数解析式
例3将抛物线y=2x2-4x+1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数关系式.
分析：要求出抛物线平移的函数关系式，需要将函数y=2x2-4x+1化成顶点式，然后根据顶点坐标的变换求抛物线平移后的关系式.
解： y=2x2-4x+1=2(x2-2x+1)-1=2(x-1)2-1,该抛物线的顶点坐标是(1,-1),将其向左平移3个单位，向下平移2个单位后,抛物线的形状,开口方向不变,这时顶点坐标为(1-3,-1-2),即(-2,-3),所以平移后抛物线的关系式为y=2(x+2)2-3.即y=2x2+8x+5.
方法总结：抛物线y=a(x-h)2+k的图象向左平移m(m>0)个单位,向上平移n(n>0)个单位后的关系式为y=a(x-h+m)2+k+n;向右平移m(m>0)个单位,向下平移n(n>0)个单位后的关系式为y=a(x-h-m)2+k-n.
【类型四】根据轴对称确定二次函数解析式
例4 已知二次函数y=2x2-12x+5，求该函数图象关于x轴对称的图象的关系式.
分析：关于x轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数.
解：y=2x2-12x+5=2(x-3)2-13,顶点坐标为(3,-13),其图象关于x轴对称的顶点坐标为(3,13),所以对称后的图象的关系式为y=-2(x-3)2+13.
方法总结：y=a(x-h)2+k的图象关于x轴对称得到的图象的关系式为y=-a(x-h)2-k..
【类型五】用待定系数法求二次函数解析式的实际应用
例5 （2014湖北咸宁）科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：
温度t/℃
-4
-2
0
1
4
植物高度
增长量l/mm
41
49
49
46
25
科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ℃．
解析：设l与t之间的函数关系是为 ，把 （-2,49）、（0,49）、（1,46）分别代入得： ，解得.
∴，即，∴当t= -1时，l的最大值为50. 即当温度为-1℃时，最适合这种植物生长.故答案为 -1.
方法总结：求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件（一般来讲，最直接的条件是点的坐标），最后代入求解．当解析式中的待定系数只有一个时，代入已知条件后会得到一个一元一次方程；当解析式中的待定系数为两个或两个以上时，代入独立条件后会得到方程组．正因如此，正确求解方程（组）的能力成为运用待定系数法求解析式的前提和基础．
例6（2014江苏徐州）某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y＝ax2+bx－75，其图象如图所示.
（1）销售单价为多少元时，这种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该商品每天的销售利润不低于16元？
解析：（1）要求销售单价和销售的最大利润，只要能求出关系式，即确定关系式中的a和b，此时，可从图象中获得抛物线经过点(5，0)，(7，16)，于是利用待定系数法构造方程组求得，进而运用配方法求最值.（2）由图象，结合抛物线的对称性，即可确定销售单价的范围.
解：（1）由图象可知，抛物线经过点(5，0)，(7，16)，于是有解得即y＝－x2+20x－75＝－(x－10)2+25，∴当x＝10时，y最大值＝25，∴销售单价为10元时，这种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元.
（2）∵x＝10为抛物线的对称轴，且(7，16)在抛物线上，∴由抛物线的对称性，点(13，16)也在该抛物线上，∴当7≤x≤13时，销售利润不低于16.
方法总结：求解时一定要注意从图象中捕捉信息，及时地将问题转化，并注意体会数形结合、待定系数、方程等数学思想方法的运用，避免运算或因符号等带来的错误.
四、板书设计
教学反思
教学过程中，强调用待定系数法求二次函数的解析式时，要根据具体条件合理设出其解析式，然后求解，这样可以简化计算。
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
教学目标
1．通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求二次函数表达式的方法；
2．能灵活的根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化；
3．从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣．
教学重点
会用待定系数法求二次函数的表达式．
教学难点
会选用适当方法求二次函数的表达式．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
知识回顾
1．二次函数关系式有哪几种表达方式？
2．还记得我们是怎样求一次函数和反比例函数的表达式吗？
回忆旧知,回答问题．
1．一般式：．
顶点式：．
2．待定系数法．
回忆旧知，明确方法，用类比的方式来研究二次函数表达式的求法．
活动一
由一般式确定二次函数的表达式．
例1 已知二次函数的图像经过点,求的值．
例2 已知二次函数的图像经过点和,求的值．
例3 已知二次函数的图像经过点和，求这个二次函数的表达式．
1．先学生自己做．
2．讨论交流．
3．学生讲解，教师点拨．
参考答案：
例1 ．
例2 ．
例3 函数表达式为．
通过例题讲解，学生交流，学生讲解等方法让学生熟悉二次函数表达式的求法．
方法总结
对比三个例题的区别和联系，你能总结用一般式确定二次函数表达式的方法吗？
积极思考，归纳总结．
求二次函数的表达式，关键是求出待定系数的值，由已知条件列出关于的方程或方程组，并求出就可以写出二次函数的表达式．
总结方法，让学生明确解题方法及规范解题过程．
活动二
由顶点式确定二次函数的表达式．
例4 已知抛物线的顶点为，与y轴交点为，求抛物线的表达式．
积极思考，讨论交流，尝试解决问题．
参考答案：
方法一：设抛物线的表达式为，函数图像经过点，得．解得．
所求的抛物线表达式为．
方法二：由抛物线的顶点为，与y轴交点为，得 解得．
所求的抛物线表达式为．
学生可能还会有不同于以上解法的其他解法，教师可给予鼓励．
1．使学生能够灵活的选择二次函数的表达式来求函数关系式．
2．通过对比，让学生感受到适当选择函数表达式求解的便捷之处．
方法总结：
你能总结用顶点式求函数表达式的优点及方法吗？
积极思考，归纳总结．
当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式，将h，k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的值．
总结方法，让学生明确解题方法及规范解题过程．
课堂练习
根据下列已知条件，选择合适的方法求二次函数的解析式：
1．已知二次函数的图像经过点和，求这个二次函数的表达式．
2．已知二次函数的图像经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1，求这个二次函数的表达式．
拓展延伸：如图所示，已知抛物线的对称轴是过（3，0）的直线，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）、（0，4），求这个抛物线的表达式．
部分学生板演，其余学生独立完成．
参考答案：
1．函数表达式为．
2．函数表达式为．
拓展延伸：抛物线表达式为．
在掌握了两类求二次函数关系式的方法和技巧的基础上，通过本组题的练习进一步提升学生根据不同条件，求二次函数关系式的能力．
课堂小结
你学到哪些二次函数表达式的求法？
师生共同总结：
1．已知图像上三点的坐标或给定x与y的三对对应值，通常选择一般式．
2．已知图像的顶点坐标，对称轴和最值，通常选择顶点式．确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式．
让学生谈自己的感受，说出自己已掌握和领会的，或是还困惑的，促进学生反思与提高．
课后作业
课本习题第1、2、3题．
课件11张PPT。课件11张PPT。 用待定系数法确定二次
函数表达式 2．还记得我们是怎样求一次函数和反比例函数的表达式吗？1．二次函数关系式有哪几种表达方式？用待定系数法求解．一般式： y＝ax2 ＋ bx＋c (a≠0) 顶点式：y ＝ a(x ＋ h)2 ＋ k (a≠0) 知识回顾活动一： 例1 已知二次函数y＝ax2 的图像经过点(－2,8),
求a的值． 由一般式y＝ax2 ＋ bx＋c 确定二次函数的表达式． 例2 已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图像经过点（－2，8）和（－1，5），求a、c的值． 对比三个例题的区别和联系，总结用一般式确定二次函数表达式的方法． 例3 已知二次函数y＝ax2 ＋ bx ＋c经过点
（－3，6）、（－2，－1）和（0，－3），求这个二次函数的表达式．活动二： 由顶点式y＝a(x ＋ h)2 ＋ k 确定二次函数的表达式． 例4 已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求抛物线的表达式． 你能总结用顶点式求函数表达式的优点及方法吗？ 2.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式
y ＝ a(x ＋ h)2 ＋ k，将h、k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的值．方法总结 1.求二次函数y＝ax2 ＋ bx＋c的表达式，关键是求出待定系数a，b，c的值，由已知条件列出关于a，b，c的方程或方程组，求出a，b，c，就可以写出二次函数的表达式．课堂练习 根据下列已知条件，选择合适的方法求二次函数的表达式：
1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图像经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
2．已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时，
y有最小值－1， 求这个二次函数的表达式．拓展延伸 如图所示，已知抛物线的对称轴是过（3，0）的直线，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A 、C的坐标分别是(8，0) 、(0，4)，求这个抛物线的表达式．分享收获 课堂小结，感悟收获你学到哪些二次函数表达式的求法？课件16张PPT。确定二次函数的表达式 二次函数的意义
确定二次函数的表达式
用描点法画出二次函数的图象
从图象上认识二次函数的性质
确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴
解决简单的实际问题复习内容定义：一般地，形如y=ax2+bx+c
(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.二次函数y=a(x-h)2+k
的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k确定由h和k确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c确定由a,b和c确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表： 二次函数有三种形式如下：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0）
（3）两根式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0）1.已知抛物线y=x2+4x+3它的开口向 ，对
称轴是直线 ，顶点坐标为 ，图
象与x轴的交点为 ，与y轴的交
点为 .练习 上x=-2 （-2，-1） (-3,0)，(-1,0) （0，3） (-1，4) 3.写出一个图象经过原点的二次函数的表达式 .评注:图象经过原点的二次函数的表达式是
y=ax2和y=ax2+bx(a≠0)y=x26.已知二次函数y=3(x－1)2+4，当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?组卷网 .5.抛物线y=－x2－2x＋m，若其顶点在轴上，则m=-1例1 把一根长100cm的铁丝分成两部分，然后分别围成两个正方形，这两个正方形的面积和最小是多少?
解：设围成的一个正方形边长是xcm，那么另一个
正方形的边长是 cm．根据题意，得
典型例题例2 1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多? 分析：如果每件衬衫降价x元，那么商场平均每天可多售出2x件，则平均每天可售出(20+2x)件，每件盈利(40-x)元．解：设每件衬衫降价x元，那么商场平均每天可多售出2x件．根据题意，得商场平均每天盈利
y=(20+2x)(40 -x)
=-2x2 +60x+800．解：设每件衬衫降价x元，那么商场平均每天可多售出 2x件．根据题意，得商场平均每天盈利
y=(20+2x)(40 -x)
=-2x2 +60x+800．
= (1)写出y1与x之间的关系式；
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大?
