22.2二次函数与一元二次方程（2）
●基础训练
1.已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图所示,请根据图象回答下列问题:
(1) a=_______,c=______.
(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________.
(3)该函数有最______值,当x=______时,y最值=________.
(4)当x_____时,y随x的增大而减小.
当x_____时,y随x的增大而增大.
(5)抛物线与x轴交点坐标A_______,B________;
与y轴交点C 的坐标为_______;
=_________,=________.
(6)当y>0时,x的取值范围是_________;当y<0时,x的取值范围是_________.
(7)方程ax2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax2-5x+c=0的两根分别为_____,____.
(8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0.
2.已知下表:
x
0
1
2
ax2
1
ax2+bx+c
3
3
(1)求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；
(2)请你根据上面的结果判断:
①是否存在实数x,使二次三项式ax2+bx+c的值为0?若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.
②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图,由图象确定,当x取什么实数时,ax2+ bx+c>0?
3.请画出适当的函数图象,求方程x2=x+3的解.
4.若二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0).
(1)求这个二次函数的关系式;
(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x轴只有一个交点,那么应该怎样平移?向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?
5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.
速度V(km/h)
48
64
80
96
112
…
刹车距离s(m)
22.5
36
52.5
72
94.5
…
(1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数, 在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;
(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么?
(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式;
(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.
●能力提升
6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x 轴上,点C 在直线y=x-2上.
(1)求矩形各顶点坐标;
(2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式;
(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部,并说明理由.
7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=.
(1)求这条抛物线的关系式.
(2)证明:这条抛物线与x轴的两个交点中,必存在点C,使得对x轴上任意点D都有AC+BC≤AD+BD.
8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;
(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m处出手.问:球出手时,他跳离地面多高?
9.某工厂生产A产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元, 已知P=x2+5x+1000,Q=-+45.
(1)该厂生产并售出x吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式;
(2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格又是多少元?
10.已知抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k的取值范围.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2= 17, 且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.
(1)求C点的坐标;
(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过A、B、E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.
(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等?若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明理由.
●综合探究
12.已知抛物线L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的顶点P的坐标是,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.
(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:
伴随抛物线的关系式_________________
伴随直线的关系式___________________
(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:
(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;
(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.
13已知抛物线y=mx2-(m+5)x+5.
(1)求证:它的图象与x轴必有交点,且过x轴上一定点;
(2)这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0
答案：
1.(1)a=1;c=4 (2)直线x=, (3)小; ;
(4) (5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; ; (6)x<1或x>4;1(7)正号;x1=1;x2=4 (8)>;>
2.(1)由表知,当x=0时,ax2+bx+c=3;当x=1时,ax2=1;当x=2时,ax2+bx+c=3.
∴,∴,
∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2.
(2)①在x2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0,
∴不存在实数x能使ax2+bx+c=0.
②函数y=x2-2x+3的图象示意图如答图所示,
观察图象得出,无论x取什么实数总有ax2+bx+c>0.
3.:在同一坐标系中如答图所示,
画出函数y=x2的图象,画出函数y=x+3 的图象,
这两个图象的交点为A,B,交点A,B的横坐标和2
就是方程x2=x+3的解.
4.:(1)∵y=x2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得
∴,,
∴y=.
(2)∵y==
∴顶点坐标为(-3,2),
∴欲使函数的图象与x轴只有一个交点,应向下平移2个单位.
5.:(1)函数的图象如答图所示.
(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数.
(3)设所求函数关系式为:s=av2+bv+c,
把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av2+bv+c,
得, 解得.
∴
(4)当v=80时,
∵s=52.5, ∴
当v=112时,
∵s=94.5,∴
经检验,所得结论是正确的.
6.:(1)如答图所示.
∵y=x-2,AD=BC=2,设C点坐标为(m,2),
把C(m,2)代入y=x-2,
2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1,
∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).
(2)∵y=x-2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).
设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c,
∴, 解得
∴y=.
(3)抛物线顶点在矩形ABCD内部.
∵y=, ∴顶点为.
∵, ∴顶点 在矩形ABCD内部.
7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax2+bx+c,
∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x=.
∴, 解得
∴y=.
(2)证明:令y=0,得=0, ∴
∵A(0,3),取A点关于x轴的对称点E,∴E (0,-3).
设直线BE的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,
∴k=,∴y=x-3 .
由 x-3=0,得x= .
故C为,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合,
在x轴上任取一点D,在△BED中,BE< BD+DE.
又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC若D与C重合,则AC+BC=AD+BD. ∴AC+BC≤AD+BD.
8:(1)图中各点字母表示如答图所示.
∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5.
∴点D坐标为(1.5,3.05).
∵抛物线顶点坐标(0,3.5),
∴设所求抛物线的关系式为y=ax2+3.5,
把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5,
∴a=-0. 2,∴y=-0.2x2+3.5
(2)∵OA=2.5,∴设C点坐标为(2.5,m),
∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5,
得m=- 0.2×2.52+3.5=2.25.
∴该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).
9:(1)∵P=x2+5x+1000,Q=-+45.
∴W=Qx-P=(-+45)-(x2+5x+1000)= .
(2)∵W==-(x-150)2+2000.
∵-<0,∴W有最大值.
当x=150吨时,利润最多,最大利润2000元.
当x=150吨,Q=-+45=40(元).
10:∵y=2x2-kx-1,∴△=(-k)2-4×2×(-1)=k2+8>0,
∴无论k为何实数, 抛物线y=2x2-kx-1与x轴恒有两个交点.
设y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标分别为x1,x2,且规定x1<2,x2> 2,
∴x1-2<0,x2-2>0.
∴(x1-2)(x2-2)<0,∴x1x2-2(x1+x2)+4<0.
∵x1,x2亦是方程2x2-kx-1=0的两个根,
∴x1+x2=,x1·x2=-,
∴,∴k>.
∴k的取值范围为k>.
法二:∵抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,
∴此函数的图象大致位置如答图所示.
由图象知:当x=2时,y<0.
即y=2×22-2k-1<0,∴k>.∴k的取值范围为k>.
11:(1)线段OA,OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0 的两个根,
∴
又∵OA2+OB2=17,∴(OA+OB)2-2·OA·OB=17.③
把①,②代入③,得m2-4(m-3) =17,∴m2-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.
又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.
∴当m=5时,得方程:x2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4.
∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,
∴OC2=OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2)
(2)∵OA=1,OB=4,C,E两点关于x轴对称,
∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).
设经过A,B,E三点的抛物线的关系式为
y=ax2+bx+c,则 ,解之,得
∴所求抛物线关系式为y=.
(3)存在.∵点E是抛物线与圆的交点.
∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合条件.
∵圆心的坐标(,0 )在抛物线的对称轴上.
∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.
∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意.
∴可求得E′(3,-2).
∴抛物线上存在点P符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2)
12.(1)y=-2x2+1,y=-2x+1.
(2)y=x2-2x-3
(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c),
∴设它的解析式为y=m(x-0)2+c(m≠0).
∴设抛物线过P,
∴
解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax2+c.
设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).
∵P在此直线上,∴, ∴k=.
∴伴随直线关系式为y=x+c
(4)∵抛物线L与x轴有两交点,∴△1=b2-4ac>0,∴b2<4ac.
∵x2>x1>0,∴x1+ x2= ->0,x1x2=>0,∴ab<0,ac>0.
对于伴随抛物线y=-ax2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax2+c=0,得x=.
∴,∴CD=2.
又AB=x2-x1=.
由AB=CD,得 =2, 整理得b2=8ac,综合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,得a,b,c满足的条件为b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).
13.(1)证明:∵y=mx2-(m+5)x+5,∴△=[-(m+5)]2-4m×5=m2+10m+25-20m=(m- 5)2.
不论m取任何实数,(m-5)2≥0,即△≥0,故抛物线与x轴必有交点.
又∵x轴上点的纵坐标均为零,∴令y=0,代入y=mx2-(m+5)x+5,得
mx2-(m+5)x+ 5=0,(mx-5)(x-1)=0,
∴x=或x=1.故抛物线必过x轴上定点(1,0).
(2)解:如答图所示,∵L:y=x+k,把(1,0)代入上式,
得0=1+k,∴k=-1,∴y=x-1.
又∵抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0∵x1x2>0,∴x1=1, x2=5,∴A(1,0),B(5,0),
把B(5,0)代入y=mx2-(m+5)x+5,得0=25m-(m+5)×5+5.
∴m=1,∴y=x2-6x+5.
∵M点既在直线L:y=x-1上,又在线段AB的垂直平分线上,
∴M点的横坐标x1+=1+.
把x=3代入y=x-1,得y=2.
∴圆心M(3,2),∴半径r=MA=MB= ,
∴MA2=MB2=8.
又AB2=42= 16,∴MA2+MB2=AB2,
∴△ABM为直角三角形,且∠AMB=90°,
∴S弓形ACB=S扇形AMB- S△ABM=.
二次函数与一元二次方程
●基础练习
1.如果抛物线y=－2x2+mx－3的顶点在x轴正半轴上，则m=______.
2.二次函数y=－2x2+x－，当x=______时，y有最______值，为______.它的图象与x轴______交点(填“有”或“没有”).
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示.
①这个二次函数的表达式是y=______；②当x=______时，y=3；③根据图象回答：当x______时，y>0.
图1 图2
4.某一元二次方程的两个根分别为x1=－2，x2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可)
5.不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x2－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x2－6x+m=0的解的情况是______(填“有解”或“无解”).
6.某一抛物线开口向下，且与x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”).
7.如图2，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m).
8.若抛物线y=x2－(2k+1)x+k2+2，与x轴有两个交点，则整数k的最小值是______.
9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1所示，由抛物线的特征你能得到含有a、b、c三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可).
10.等腰梯形的周长为60 cm，底角为60°，当梯形腰x=______时，梯形面积最大，等于______.
11.找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上.
(1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是______.
(2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______.
(3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应的图象是______.
(4)在220 V电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______.
12.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个.若这种商品的
零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价______元，最大利润为______元.
13.关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ）
①当c=0时，函数的图象经过原点; ②当b=0时，函数的图象关于y轴对称;
③函数的图象最高点的纵坐标是;
④当c>0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
14.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c－8=0的根的情况是
A.有两个不相等的正实数根 ; B.有两个异号实数根;
C.有两个相等的实数根 ; D.没有实数根.
15.抛物线y=kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )
A.k>－; B.k≥－且k≠0; C.k≥－; D.k>－且k≠0
16.如图6所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为( )
A. m B.6 m C.15 m D. m
图4 图5 图6
17.二次函数y=x2－4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为( )
A.1 B.3 C.4 D.6
18.无论m为任何实数，二次函数y=x2+(2－m)x+m的图象总过的点是( )
A.(－1，0); B.(1，0) C.(－1，3) ; D.(1，3)
19.为了备战2008奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c(如图5所示)，则下列结论正确的是( )
①a<－ ②－0 ④0A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
20.把一个小球以20 m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t－5t2.当h=20 m时，小球的运动时间为（ ）
A.20 s B.2 s C.(2+2) s D.(2－2) s
21.如果抛物线y=－x2+2(m－1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴正半轴上，B点在x轴的负半轴上，则m的取值范围应是( )
A.m>1 B.m>－1 C.m<－1 D.m<1
22.如图7，一次函数y=－2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数y=x2+bx+c的图象过点c且与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC∶CB=1∶2，那么，这个二次函数的顶点坐标为( )
A.(－，) B.(－，) C.(，) D.(，－)
23.某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为( )
A.y=25x+15 B.y=2.5x+1.5 C.y=2.5x+15 D.y=25x+1.5
24.如图8，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=－x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A.6 m B.12 m C.8 m D.10 m
图7 图8 图9
25.某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图9，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是( )
A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m
26.求下列二次函数的图像与x轴的交点坐标,并作草图验证.
(1)y=x2+x+1; (2)y=4x2-8x+4; (3)y=-3x2-6x-3; (4)y=-3x2-x+4
27.一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图像有什么关系? 试把方程的根在图像上表示出来.
28.利用二次函数的图像求下列一元二次方程的根.
(1)4x2-8x+1=0; (2)x2-2x-5=0;
(3)2x2-6x+3=0; (3)x2-x-1=0.
29.已知二次函数y=-x2+4x-3,其图像与y轴交于点B,与x轴交于A, C 两点. 求△ABC的周长和面积.
●能力提升
30.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x.
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
31.已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象的对称轴是x=2，且最高点在直线y=x+1上，求这个二次函数的表达式.
32.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？
33.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度;
(1)列表表示I与v的关系.
(2)当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？
34.如图7，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.
35.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).
(1)根据图象你可获得哪些关于该公司的具体信息？(至少写出三条)
(2)还能提出其他相关的问题吗？若不能，说明理由；若能，进行解答，并与同伴交流.
36.把一个数m分解为两数之和，何时它们的乘积最大？你能得出一个一般性的结论吗？
●综合探究
37.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天.如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元.
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式;
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式.
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？
38.图中a是棱长为a的小正方体，图b、图c由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层……，第n层，第n层的小正方形的个数记为S，解答下列问题：
(1)按照要求填表：
n
1
2
3
4
…
S
1
3
6
…
(2)写出当n=10时，S=______;
(3)根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点;
(4)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式；若不在，说明理由.
参考答案
1.2 2. 大 － 没有
3.①x2－2x ②3或－1 ③<0或>2 4. y=x2－3x－10
5. m>? 无解 6.y=－x2+x－1 最大
7.y=－x2+2x+1 16.5
8. 2 9.b2－4ac>0(不唯一)
10 . 15 cm cm2
11.(1)A (2)D (3)C (4)B
12. 5 625
13.B 14.C 15.B 16.D 17.B 18.D 19.B
20.B 21.B 22.A 23.C 24.D
25.B〔提示：设水流的解析式为y=a(x－h)2+k,
∴A(0，10)，M(1，).
∴y=a(x－1)2+，10=a+.
∴a=－.
∴y=－(x－1)2+.
令y=0得x=－1或x=3得B(3，0),
即B点离墙的距离OB是3 m
26.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0);(3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),(,0),草图略.
27.该方程的根是该函数的图像与直线y=1的交点的横坐标.
28.(1)x1≈1.9,x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4;(3)x1≈2.7,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0 .6
29.令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0,-3).
解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3.
故A、C两点的坐标为(1,0),(3,0).
所以AC=3-1=2,AB=,BC=, OB=│-3│=3.
C△ABC=AB+BC+AC=.
S△ABC=AC·OB=×2×3=3.
30．(1)y=－2x2+180x－2800.
(2)y=－2x2+180x－2800
=－2(x2－90x)－2800
=－2(x－45)2+1250.
当x=45时，y最大=1250.
∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.
31．∵二次函数的对称轴x=2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y=x+1上.
∴y=×2+1=2.
∴y=(m2－2)x2－4mx+n的图象顶点坐标为(2，2).
∴－=2.∴－=2.
解得m=－1或m=2.
∵最高点在直线上，∴a<0,
∴m=－1.
∴y=－x2+4x+n顶点为(2，2).
∴2=－4+8+n.∴n=－2.
则y=－x2+4x+2.
32(1)依题意得
鸡场面积y=－
∵y=－x2+x=(x2－50x)
=－(x－25)2+,
∴当x=25时，y最大=,
即鸡场的长度为25 m时，其面积最大为m2.
(2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为m.
∴y=·x=－x2+x
=－(x2－50x) =－(x－25)2+,
当x=25时，y最大=,
即鸡场的长度为25 m时，鸡场面积为 m2.
结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m.
33(1)如下表
v
…
－2
－1
－
0
1
2
3
…
I
…
8
2
0
2
8
18
…
(2)I=2·(2v)2=4×2v2 .
当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的4倍.
34(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.
由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).
∴抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为
h+1.8+0.25=(h+2.05) m,
∴h+2.05=－0.2×(－2.5)2+3.5,
∴h=0.2(m).
35 (1)信息：
①1、2月份亏损最多达2万元.
②前4月份亏盈吃平.
③前5月份盈利2.5万元.
④1~2月份呈亏损增加趋势.
⑤2月份以后开始回升.(盈利)
⑥4月份以后纯获利
……
(2)问题：6月份利润总和是多少万元？由图可知，抛物线的表达式为
y=(x－2)2－2,
当x=6时，y=6(万元)(问题不唯一).
36．设m=a+b y=a·b,
∴y=a(m－a)=－a2+ma=－(a－)2+,
当a=时，y最大值为.
结论：当两个数的和一定，这两个数为它们和的一半时，两个数的积最大.
37．(1)由题意知：p=30+x,
(2)由题意知
活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,
死蟹的销售额为200x元.
∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x2+900x+30000.
(3)设总利润为
L=Q－30000－400x=－10x2+500x
=－10(x2－50x) =－10(x－25)2+6250.
当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元.
38．(1)10 (2)55 (3)(略).
(4)经猜想，所描各点均在某二次函数的图象上.
设函数的解析式为S=an2+bn+c.
由题意知
∴S=
22.2二次函数与一元二次方程
学习目标：
1.探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．
2.掌握一元二次方程(组)的图象解法．
重点、难点
1.重点：探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．
2.难点：掌握一元二次方程(组)的图象解法．
导学过程：阅读教材P16 — 19 , 完成课前预习
【课前预习】
1：准备知识
一元二次方程根的情况：
（2）一次函数与一元一次方程的关系：
2：探究1
以40米/秒的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h米与飞行时间t秒之间具有关系。考虑以下问题：
球的飞行高度能否达到15米？如能，需要多少飞行时间？
球的飞行高度能否达到20米？如能，需要多少飞行时间？
球的飞行高度能否达到20.5米？为什么？
球从飞出到落地需要用多少时间？
探究2给出三个二次函数：（1）；（2）；
（3）．它们的图象分别为
观察图象与x轴的交点个数，分别是 个、 个、 个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？
另外，能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？
3：结论
一般的，从二次函数的图象可知，
如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0,那么当x= 时，函数的值是0，因此x= 就是方程的一个根。
二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况： 实数根，有 的实数根，有 的实数根。
【课堂活动】
活动1：预习反馈
活动2：典型例题
例1．画出函数的图象，根据图象回答下列问题．
（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？
（3）x取什么值时，函数值y>0？x取什么值时，函数值y<0？
例2．（1）已知抛物线，当k= 时，抛物线与x轴相交于两点．
（2）已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a= ．
（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且，则k的值是 ．
例3．利用函数的图象，求下列方程(组)的解：
(1) ； （2）
活动3：随堂训练
1．已知二次函数的图象如图，
则方程的解是 ，
不等式的解集是 ，
不等式的解集是 ．
2．抛物线与y轴的交点坐标为 ，与x轴的交点坐标为 ．
3．已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两个交点间的距离为 ．
4．不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，则m的取值范围为
活动4：课堂小结
【课后巩固】
1．已知二次函数，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．
（1）方程的解是什么？
（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？
2．已知二次函数，
求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；
（2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积；
（3）x为何值时，y＞0．
3．已知二次函数，
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？
4．你能否画出适当的函数图象，求方程的解？
22.2 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.
3.根据函数的图象与X轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围.
教学过程
一、情境导入
小唐画y=x2-6x+c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确字母c的值是多少吗.
二、合作探究
探究点：二次函数与一元二次方程
【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断
例1下列函数的图象与x只有一个交点的是（ ）
A. B.
C. D.
解析：选项A中==16，
＞0，选项B中=＜0，选项C中=＜0，选项C中=,所以选项D 函数图象与x只有一个交点，故选D.
【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴
例2如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为 .
解析：∵点（1，0）与（3，0）是一对对称点，其对称中心是（2，0），∴对称轴的方程是x=2．
方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．
【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值(范围)
例3若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A．0 B．0或2
C．2或-2 D．0，2或-2
解析：若m≠0根据二次函数与x轴只有一个交点，则一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m=0原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点．（m+2）2-4m（m+1）=0，解得m=2或-2，当m=0时原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点，所以当m=0，2或-2时，图象与x轴只有一个交点.
方法总结：二次函数y=ax2+bx+c，当b2-4ac＞0时，图象与x轴有两个交点，当b2-4ac＝0时，图象与x轴有一个交点，当b2-4ac＜0时，图象与x轴没有交点.
例4二次函数的图象如图，对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A. t≥－1 B. －1≤t＜3
C. －1≤t＜8 D. 3＜t＜8
解析：方程变形为，而方程在－1＜x＜4的范围内有解，所以我们只需求出x=－1和x=4时的函数值即可.二次函数的对称轴为直线x=1，∴，b=－2，∵，∴.∵方程(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有解，∴令x=－1，可求得t=(－1)2－2×(－1)=3，
令x=4，可求得t=，而函数，∴当x=1时，二次函数有最小值－1，故选C.
方法总结：对于二次函数，若顶点坐标为(h，k)，当自变量的取值范围为x1≤x≤x2时，函数有最大值和最小值，但是要考虑h是否在x1与x2之间.(1)若h在x1与x2之间，a＞0时，k为最小值，y2为最大值；a＜0时，k为最大值，y2为最小值.(2)若h不在x1与x2之间，a＞0时，y1为最小值，y2为最大值；a＜0时，y2为最小值，y1为最大值.
【类型四】利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解
例5小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（ ）
A．无解 B．x=1
C．x=-4 D．x=-1或x=4
解析：∵二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴交于（﹣1,0）和（4,0），即当x=﹣1或4时， x2+ax+b = y=0，∴关于x的方程x2+ax+b=0的解为x1=﹣1，x2=4，故选择D.
方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图像与一元二次方程的解的关系导致无法求解．.
【类型五】利用抛物确定相应一元二次方程的解的情况
例6（2014辽宁盘锦）如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（ ）
A．0或2 B．0或1
C．1或2 D．0，1或2
解析：分三种情况：点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0．故方程x2+bx+c=1的解的个数是0或2．
方法总结：在一元二次方程中，当＞0时，有两个不相等的实数根；当＝0时，有两个相等的实数根；当＜0时，没有实数根．
【类型七】探究抛物线与x轴没有公共点的条件
例9已知二次函数（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
解析：（1）用根的判别式，即可判断；（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质即可．
证明：（1）法一：因为，
所以，方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根．
所以，不论m为何值，函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象与x轴没有公共点．
法二：因为a＝1＞0，所以该函数的图象开口向上．
又因为y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3≥3，
所以该函数的图象在x轴的上方．
所以，不论m为何值，函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象与x轴没有公共点．
（2）解：y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3．
把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝(x－m)2的图象，它的顶点坐标是（m，0），因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点．
所以，把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
方法总结：抛物线与x轴的交点的个数由二次三项式的判别式确定，①当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点；②当△＝0时，抛物线与x轴有一个交点；③当△＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2.抛物线的平移，要先将解析式化成顶点式，再平移，平移的规律是：“上加下减，左加右减”．
四、板书设计
教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况.体会知识间的相互转化和相互联系.
课件12张PPT。课件34张PPT。一、情景引入二、合作探究三、课堂小结四、课后作业探究点一 二次函数与一元二次方程提出
问题知识
要点典例
精析巩固
训练
第1课时 二次函数与一元二次方程
一、情景导入 小唐画y=x2-6x+c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确字母c的值是多少吗？问题：求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标.解：∵A、B在x轴上，∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？
x2-3x+2=0二、合作探究探究点一 二次函数与一元二次方程结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标.因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的.即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ）x1，0x2，0xzxxkw问题：抛物线与x轴的公共点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？Oxy与x轴的公共点个数一元二次方程根的个数2个2个不等根b2-4ac＞01个2个等根0个0个b2-4ac＜0b2-4ac=0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根 1、b2-4ac＞0 2、 b2-4ac =0 3、 b2-4ac ＜0 1、下列各抛物线与x轴是否有公共点，如果有，求出公共点的坐标.
（1）y=6x2-2x+1
（2）y=-15x2+14x+8
（3）y=x2-4x+4关键:令y=0时,看b2-4ac.2、判断下列各抛物线与坐标轴的交点个数.
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=2x2-6x3、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则a= ；顶点在x轴上b2-4ac=0与x轴有两个交点方程有两个不等实根9a<99或0 4、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有
一个公共点，则a的范围是 .5、关于x的方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物
线y=x2-x-n的顶点在 象限.第一zxxkw例1、已知抛物线y=x2+2x+m+1与x轴只有一个公共点，求m的值.
例2：求证:不论k取何值时，抛物线y=x2-kx-2+k与x轴总有两个不同的交点.
想一想函数y＝x2－2x－1的图像如图所示，你能看出方程x2－2x－1＝0的解吗？探究点二 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根算一算利用计算器进行探索 x ≈ ?0.4缩小它的范围x ≈ ? 0.41x ≈ ? 0.414继续缩小它的范围……做一做 你能用同样的方法求方程的另一个根吗？试试看！
我们也可以用取中间值逼近的方法去求它的近似根．∴2＜x＜ 3∴2 ＜ x ＜ 2.5做一做 你能用同样的方法求方程的另一个根吗？试试看！ 我们也可以用取中间值逼近的方法去求它的近似根．∴2＜x＜ 3∴2 ＜ x ＜ 2.5∴2.25 ＜ x ＜ 2.5∴2＜ x ＜ 2.5继续逼近．∴2.375 ＜x＜2.5∴2.375 ＜x＜2.4375∴x≈2.4继续逼近.23+2.5+2.252.375∴2＜x＜3∴2＜x＜2.5∴2.25＜x＜2.5∴2.375＜x＜2.5用线段表示逼近的过程．___2.4375+2.5+2.375_∴2.375＜x＜2.4375∴x≈2.4用线段表示逼近的过程．拓展延伸方法1：利用函数y＝x2 ＋2x－13求得方程x2 ＋2x－13＝0的近似根．利用函数图像求方程x2 ＋2x－10＝3的近似根．例（2014·南京改编）已知二次函数y＝ax2 ＋ bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示：
（1）当y＜5时，x的取值范围是 ；
（2）方程的两个根（ ）
A．－1和0，0和1之间． B．0和1，1和2之间．
C．1和2，2和3之间 ． D． 2和3，3和4之间 ．例3：抛物线y=-x2-x+12如图所示oyxA(-4,0)B(3,0)y=-x2-x+12x 时，y>0.x 时，
y＜0.-4 论x取何值时,函数y的值都是非负数.
求:m的取值范围.zxxkw 例5： 已知:抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y>0？
（3）将抛物线作怎样的一次
平移,才能使它与坐标轴仅有
两个交点,并写出此时抛物线
的解析式.xyoABDC-15-2.5y= (x+1)(x-5)= (x-2)2-xyoABDC-15-2.5 例5： 已知:抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y>0？
（3）将抛物线作怎样的一次
平移,才能使它与坐标轴仅有
两个交点,并写出此时抛物线
的解析式.y= (x+1)(x-5)= (x-2)2-xyoABDC-15-2.5 5、 已知:抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y>0？
（3）将抛物线作怎样的一次
平移,才能使它与坐标轴仅有
两个交点,并写出此时抛物线
的解析式.y= (x+1)(x-5)= (x-2)2-xyoABDC-15-2.5 例5： 已知:抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y>0？
（3）将抛物线作怎样的一次
平移,才能使它与坐标轴仅有
两个交点,并写出此时抛物线
的解析式.y= (x+1)(x-5)= (x-2)2-zxxkw 见《学练优》第39页课堂达标训练第1、2、3、4、5、6、7、8、9题首页1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系.体现了数形结合的思想.zxxkwzxxkw三、课堂小结见《学练优》本课时课后巩固提升学.科.网四、课外作业课件19张PPT。26.2 用函数观点看一 元二次方程问题以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,
球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球
的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系.考虑以下问题:
(1)球的飞行高度能否达到15m?如能,
需要多少飞行时间?
(2)球的飞行高度能否达到20m?如能,
需要多少飞行时间?
(3) 球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?
(4)球从飞出到落地要用多少时间?(1)球的飞行高度能否达到15m?如能,
需要多少飞行时间?解: (1)解方程当球飞行1s和3s时,它的高度为15m.为什么在两个时间
球的高度为15m呢?(2)球的飞行高度能否达到20m?如能,
需要多少飞行时间?解: (2)解方程当球飞行2s时,它的高度为20m.为什么只在一个时间
内球的高度为20m呢?(3) 球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?解: (3)解方程解: (4)解方程(4)球从飞出到落地要用多少时间?当球飞行0s和4s时,它的高度为0m,
即0s时球从地面飞出, 4s时球落回地面.为什么在两个时间
球的高度为0m呢?归纳:问题2: 下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有,求出交点坐标.
(1) y = 2x2+x-3
(2) y = 4x2 - 4x +1
(3) y = x2 – x+ 1有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac > 0只有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
(1)有两个交点
(2)有一个交点
(3)没有交点二次函数与一元二次方程b2 – 4ac > 0b2 – 4ac= 0b2 – 4ac< 0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2 – 4ac≥0归纳:观察解:归纳:(1) 没有公共点 没有实数根(2)有一个公共点 有两个相等的实数根(3)有两个公共点 有两个不等的实数根例解:方法: (1)先作出图象;
(2)写出交点的坐标;
(3)得出方程的解.练习CA6.某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,
下半部是矩形,制造窗框的材料长(图中所有黑线
的长度和)为10米.当x等于多少米时,窗户的透光
面积最大? 最大面积是多少?第2课时 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的不等关系
●基础练习
1.已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图所示,请根据图象回答下列问题:
(1) a=_______,c=______.
(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________.
(3)该函数有最______值,当x=______时,y最值=________.
(4)当x_____时,y随x的增大而减小.
当x_____时,y随x的增大而增大.
(5)抛物线与x轴交点坐标A_______,B________;
与y轴交点C 的坐标为_______;
=_________,=________.
(6)当y>0时,x的取值范围是_________;当y<0时,x的取值范围是_________.
(7)方程ax2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax2-5x+c=0的两根分别为_____,____.
(8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0.
2.已知下表:
x
0
1
2
ax2
1
ax2+bx+c
3
3
(1)求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；
(2)请你根据上面的结果判断:
①是否存在实数x,使二次三项式ax2+bx+c的值为0?若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.
②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图,由图象确定,当x取什么实数时,ax2+ bx+c>0?
3.请画出适当的函数图象,求方程x2=x+3的解.
4.若二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0).
(1)求这个二次函数的关系式;
(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x轴只有一个交点,那么应该怎样平移?向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?
5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.
速度V(km/h)
48
64
80
96
112
…
刹车距离s(m)
22.5
36
52.5
72
94.5
…
(1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数, 在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;
(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么?
(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式;
(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.
●能力提升
6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x 轴上,点C 在直线y=x-2上.
(1)求矩形各顶点坐标;
(2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式;
(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部,并说明理由.
7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=.
(1)求这条抛物线的关系式.
(2)证明:这条抛物线与x轴的两个交点中,必存在点C,使得对x轴上任意点D都有AC+BC≤AD+BD.
8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;
(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m处出手.问:球出手时,他跳离地面多高?
9.某工厂生产A产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元, 已知P=x2+5x+1000,Q=-+45.
(1)该厂生产并售出x吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式;
(2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格又是多少元?
10.已知抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k的取值范围.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2= 17, 且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.
(1)求C点的坐标;
(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过A、B、E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.
(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等?若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明理由.
●综合探究
12.已知抛物线L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的顶点P的坐标是,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.
(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:
伴随抛物线的关系式_________________
伴随直线的关系式___________________
(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:
(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;
(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.
13已知抛物线y=mx2-(m+5)x+5.
(1)求证:它的图象与x轴必有交点,且过x轴上一定点;
(2)这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0答案：
1.(1)a=1;c=4 (2)直线x=, (3)小; ;
(4) (5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; ; (6)x<1或x>4;1(7)正号;x1=1;x2=4 (8)>;>
2.(1)由表知,当x=0时,ax2+bx+c=3;当x=1时,ax2=1;当x=2时,ax2+bx+c=3.
∴,∴,
∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2.
(2)①在x2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0,
∴不存在实数x能使ax2+bx+c=0.
②函数y=x2-2x+3的图象示意图如答图所示,
观察图象得出,无论x取什么实数总有ax2+bx+c>0.
3.:在同一坐标系中如答图所示,
画出函数y=x2的图象,画出函数y=x+3 的图象,
这两个图象的交点为A,B,交点A,B的横坐标和2
就是方程x2=x+3的解.
4.:(1)∵y=x2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得
∴,,
∴y=.
(2)∵y==
∴顶点坐标为(-3,2),
∴欲使函数的图象与x轴只有一个交点,应向下平移2个单位.
5.:(1)函数的图象如答图所示.
(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数.
(3)设所求函数关系式为:s=av2+bv+c,
把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av2+bv+c,
得, 解得.
∴
(4)当v=80时,
∵s=52.5, ∴
当v=112时,
∵s=94.5,∴
经检验,所得结论是正确的.
6.:(1)如答图所示.
∵y=x-2,AD=BC=2,设C点坐标为(m,2),
把C(m,2)代入y=x-2,
2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1,
∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).
(2)∵y=x-2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).
设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c,
∴, 解得
∴y=.
(3)抛物线顶点在矩形ABCD内部.
∵y=, ∴顶点为.
∵, ∴顶点 在矩形ABCD内部.
7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax2+bx+c,
∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x=.
∴, 解得
∴y=.
(2)证明:令y=0,得=0, ∴
∵A(0,3),取A点关于x轴的对称点E,∴E (0,-3).
设直线BE的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,
∴k=,∴y=x-3 .
由 x-3=0,得x= .
故C为,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合,
在x轴上任取一点D,在△BED中,BE< BD+DE.
又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC若D与C重合,则AC+BC=AD+BD. ∴AC+BC≤AD+BD.
8:(1)图中各点字母表示如答图所示.
∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5.
∴点D坐标为(1.5,3.05).
∵抛物线顶点坐标(0,3.5),
∴设所求抛物线的关系式为y=ax2+3.5,
把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5,
∴a=-0. 2,∴y=-0.2x2+3.5
(2)∵OA=2.5,∴设C点坐标为(2.5,m),
∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5,
得m=- 0.2×2.52+3.5=2.25.
∴该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).
9:(1)∵P=x2+5x+1000,Q=-+45.
∴W=Qx-P=(-+45)-(x2+5x+1000)= .
(2)∵W==-(x-150)2+2000.
∵-<0,∴W有最大值.
当x=150吨时,利润最多,最大利润2000元.
当x=150吨,Q=-+45=40(元).
10:∵y=2x2-kx-1,∴△=(-k)2-4×2×(-1)=k2+8>0,
∴无论k为何实数, 抛物线y=2x2-kx-1与x轴恒有两个交点.
设y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标分别为x1,x2,且规定x1<2,x2> 2,
∴x1-2<0,x2-2>0.
∴(x1-2)(x2-2)<0,∴x1x2-2(x1+x2)+4<0.
∵x1,x2亦是方程2x2-kx-1=0的两个根,
∴x1+x2=,x1·x2=-,
∴,∴k>.
∴k的取值范围为k>.
法二:∵抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,
∴此函数的图象大致位置如答图所示.
由图象知:当x=2时,y<0.
即y=2×22-2k-1<0,∴k>.∴k的取值范围为k>.
11:(1)线段OA,OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0 的两个根,
∴
又∵OA2+OB2=17,∴(OA+OB)2-2·OA·OB=17.③
把①,②代入③,得m2-4(m-3) =17,∴m2-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.
又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.
∴当m=5时,得方程:x2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4.
∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,
∴OC2=OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2)
(2)∵OA=1,OB=4,C,E两点关于x轴对称,
∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).
设经过A,B,E三点的抛物线的关系式为
y=ax2+bx+c,则 ,解之,得
∴所求抛物线关系式为y=.
(3)存在.∵点E是抛物线与圆的交点.
∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合条件.
∵圆心的坐标(,0 )在抛物线的对称轴上.
∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.
∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意.
∴可求得E′(3,-2).
∴抛物线上存在点P符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2)
12.(1)y=-2x2+1,y=-2x+1.
(2)y=x2-2x-3
(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c),
∴设它的解析式为y=m(x-0)2+c(m≠0).
∴设抛物线过P,
∴
解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax2+c.
设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).
∵P在此直线上,∴, ∴k=.
∴伴随直线关系式为y=x+c
(4)∵抛物线L与x轴有两交点,∴△1=b2-4ac>0,∴b2<4ac.
∵x2>x1>0,∴x1+ x2= ->0,x1x2=>0,∴ab<0,ac>0.
对于伴随抛物线y=-ax2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax2+c=0,得x=.
∴,∴CD=2.
又AB=x2-x1=.
由AB=CD,得 =2, 整理得b2=8ac,综合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,得a,b,c满足的条件为b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).
13.(1)证明:∵y=mx2-(m+5)x+5,∴△=[-(m+5)]2-4m×5=m2+10m+25-20m=(m- 5)2.
不论m取任何实数,(m-5)2≥0,即△≥0,故抛物线与x轴必有交点.
又∵x轴上点的纵坐标均为零,∴令y=0,代入y=mx2-(m+5)x+5,得
mx2-(m+5)x+ 5=0,(mx-5)(x-1)=0,
∴x=或x=1.故抛物线必过x轴上定点(1,0).
(2)解:如答图所示,∵L:y=x+k,把(1,0)代入上式,
得0=1+k,∴k=-1,∴y=x-1.
又∵抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0∵x1x2>0,∴x1=1, x2=5,∴A(1,0),B(5,0),
把B(5,0)代入y=mx2-(m+5)x+5,得0=25m-(m+5)×5+5.
∴m=1,∴y=x2-6x+5.
∵M点既在直线L:y=x-1上,又在线段AB的垂直平分线上,
∴M点的横坐标x1+=1+.
把x=3代入y=x-1,得y=2.
∴圆心M(3,2),∴半径r=MA=MB= ,
∴MA2=MB2=8.
又AB2=42= 16,∴MA2+MB2=AB2,
∴△ABM为直角三角形,且∠AMB=90°,
∴S弓形ACB=S扇形AMB- S△ABM=.
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
教材分析
之前学生已经学过一次函数、反比例函数的图像和性质，以及会建立二次函数的模型和理解二次函数的图像相关概念和性质基础之上进行的。是前面知识的应用和拓展，又为今后学习二次函数的应用及一元二次方程与二次函数之间的关系作预备。充分体现了数形结合的思想，因此本课无论在知识上还是培养学生动手能力上都起了很大的作用。
课标要求
熟练应用二次函数的图像和性质解决问题
学情分析
学可能有些学生对二次函数还不理解，甚至还不会描点法画出函数图像，看图能力差，不能类比一次函数的一些观察图像的方法来学习二次函数的图像。不能从图中获取相关的信息。学生基础掌握太不好了，必须每个人都看到，督促到。
教学目标
知识目标： 二次函数的图像和性质，待定系数法求二次函数的解析式
能力目标： ：通过画图象独立去探索交流图象的性质培养分析解决问题的能力
情意目标：在学习中体会知识之间的联系，体会知识的发生发展过程和知识间的联系，形成体系。
教学重点：掌握二次函数图像与解析式间的关系及性质
教学难点：理解二次函数解析式的意义和性质
教学手段
通过导学案帮助学生理解消化二次函数的基础知识
教学方法
问答法、练习法、讨论法
学法
培养
画图分析
教
学
过
程
教
学
过
程
教
学
过
程
教
学
过
程
环节1
二次函数解析式常用的有三种形式：
（开口方向、大小、对称轴、顶点坐标、增减性、极值）
（1）一般式：_______ ________ (a≠0)
（2）顶点式：_______________ (a≠0)
对应训练：
1、抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
2、函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
3、对于二次函数对称轴 ，顶点坐标 ．
4、已知抛物线的顶点在坐标轴上，则的值为
双休日作业出过让学生回忆。
5、（1）二次函数的对称轴是 ．
（2）二次函数的图象的顶点是 ，当x 时，y随x的增大而减小．
（3）抛物线的顶点横坐标是-2，则= ．
6、对于二次函数，当x= 时，y有最小值．
这两题都在考查顶点横坐标公式。
7、抛物线的开口方向向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ，当x= 时，y有最 值是 ．
8、已知二次函数的最小值为1，求m的值．本题考查顶点坐标纵坐标公式。
9、利用配方法，把下列函数写成+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1） （2）
10、确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．作图可作草图。
主要目标：掌握二次函数的图像和性质
重难点及解决策略： 能根据题目的特点选择恰当的方法，并且能够熟练地准确解决。策略就是在对答案之后，能够反思自己的解题过程，要大手帮助小手。
教学设计：
二、二次函数的位置：（平移：规律： ，对称： ）
1、把函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式为 ．
2、函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得新图象的函数关系式为 ．
3、将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），则的值为_______________．
4、把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，则
b=________,c= ．
5、函数，则与其关于x轴对称的抛物线的解析式 ，
与其关于y轴对称的抛物线的解析式 .
环节2: 明确二次函数图像位置之间的关系
主要目标：巩固
重难点及解决策略：掌握每种方法的特点，引导学生总结规律
教学设计：
环节3：
主要目标：
教学设计：
环节4:小测
主要目标：了解学情
重难点及解决策略：形式比较复杂的方程需要变形之后再因式分解。
教学设计：
环节5:课堂小结及课后反馈
主要目标：解疑
重难点及解决策略：交流共同质疑解疑
教学设计：
板书设计
根与系数关系
复习 新授 练习
作业设计
反思：通过本节课发现学生的忘性太大了，对于顶点式中顶点横纵坐标都有的学生能认，可对于特殊形式的顶点式学生反而认不出来，说不准顶点坐标。
第2课时 二次函数中的不等关系
学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
2.利用二次函数图象解形如+bx+c＞0的不等式.
3.能运用二次函数及其图象、性质解决实际问题.
教学过程
一、情境导入
如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，你能通过观察图象得到关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集吗？请你直接写出来.
二、合作探究
探究点：二次函数中的不等关系
【类型一】利用抛物线解一元二次不等式
例1抛物线y=+bx+c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式+bx+c＞0的解集是（ ）
A.x＜2 B.x＞-3
C.-3＜x＜1 D.x＜-3或x＞1
解析：观察图象，可知当﹣3＜x＜2时，抛物线在x轴上方，此时y＞0，即+bx+c＞0，∴关于x的不等式+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜2. 答案为C.
方法总结：抛物线在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式＜0的解集，所以利用二次函数的图象，可以直观地求得一元二次不等式＞0或＜0的解集.
例2二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0 时的取值范围是（ ）
A. ＜ B. ＞3
C. ＜＜3 D. ＜或＞3
解析：由二次函数图象可知，当－1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方，y＜0．故选C．
例3如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
解析：观察图像可知抛物线对称轴为x=2,且与x轴交于(5,0)依据对称性可求出抛物线与x轴另一交点坐标为(-1,0). 二次函数的部分图象的开口向下，所以不等式的解集是.故选择D.
方法总结： 数形结合.不等式ax2＋bx＋c＞ 0 （或ax2＋bx＋c＜ 0 ）的解集就是二次函数y＝ax2+bx+c的图象在 x 轴上（下）方的点所对应的 x的取值范围，不等式如果带有等号，其解集也相应带有等号．a>0时, y>0取两边，y<0取中间.
例4已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的关系式；
（2）根据图象，写出不等式的解集．
解析：用待定系数法将已知两点的坐标代入二次函数关系式，即可求出b，c的值，然后通过解一元二次方程求抛物线与x轴的另一个交点坐标，由图象法求得不等式的解集．
解：（1）由题意得
，解得，
故所求关系式为．
（2）令，得，解得，，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3,0）
∴由图象可知不等式的解集是－1＜x＜3．
【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围
例5二次函数的图像如图所示，则函数值时，x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
解析：根据图象可知当y=0时，对应x的值为，当y＞0时，函数的图像在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜-1，由右边一段图象可知x＞3.因此，或.故答案是D.
方法总结：利用数形结合思想来求解。当y=0时，对应x的值为，当y＞0时，看抛物线在x轴上方的部分，x的取值范围是或；当y＜0时，看抛物线在x轴下方的部分，x的取值范围是。
例6设二次函数，当时，总有，当时，总有，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
解析：由题意可知抛物线必过点(1，0)，故1＋b＋c＝0，从而b＝－1－c．∵当时，总有∴32＋3(－1－c)＋c≤0，2c≥6，解得c≥3因此选B．
方法总结：解决此类问题要运用数形结合的方法，要注意二次函数的系数与其图象的形状、对称轴、特殊点的关系，结合二次函数的增减性，是列不等式解决问题的重要保证．
四、板书设计
教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学会利用图象的直观性和性质来解决问题，体会数形结合思想.
22.2 二次函数与一元二次方程（2）
教学目标：
1．知识与能力：
复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解.
2．方法与过程：
让学生体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax2＝bx＋c的解.
3．情感、态度与价值观：
提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想.
教学重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点.
教学难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点.
教学方法：
学生学法
教学过程：
一、复习巩固
1．如何运用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c的解?
2．完成以下两道题：
(1)画出函数y＝x2＋x－1的图象，求方程x2＋x－1＝0的解.(精确到0.1)
(2)画出函数y＝2x2－3x－2的图象，求方程2x2－3x－2＝0的解.
二、探索问题
已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m).
(1)求这两个函数的关系式；
(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标.
解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2＝mx＋1上，所以有4m＝3m＋1，解得m＝1
所以y1＝x＋1，P(3，4). 因为点P(3，4)在抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8上，所以有
4＝18－24＋k＋8 解得 k＝2 所以y1＝2x2－8x＋10
(2)依题意，得 解这个方程组，得，
所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5).
五、小结： 如何用画函数图象的方法求方程的解?
六、作业：
课件13张PPT。课件22张PPT。
第2课时 二次函数y=ax2+bx+c
（a≠0）中的不等关系