第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
◆基础练习
1．抛物线共有的性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴都是轴 C．都有最高点 D．顶点都是原点
2．已知＜，点、、都在函数的图象上，则（ ）
A． ＜＜ B．＜＜ C． ＜＜ D．＜ ＜
3．抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .
4.把抛物线向下平移3个单位得到抛物线 .
5.将抛物线的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是 ．
◆能力拓展
6.已知正方形的对角线长xcm,面积为.请写出y与x之间的函数关系式,并画出其图象.
7. 如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位AB时,宽20,水位上升3就达到警戒线CD,这时水面宽度为10.
(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式;
(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到达拱桥顶?
◆创新学习
8.如图，直线经过点A（4，0）和点B（0，4），且与二次函数的图象在第一象限内相交于点P，若△AOP的面积为，求二次函数的解析式。
参考答案
1．B 2．C 3．向下 轴 （0，1） 4．
5． 6．
7．（1）设所求抛物线的解析式为，设D，则B，所以解得 故
（2）因为，所以小时，即再持续5小时到达拱桥顶。
8．因为直线与两坐标轴分别交于点A（4，0），B（0，4），
所以直线的函数表达式为，设点P的坐标为，
因为△AOP的面积为，所以，所以。
因为点P再直线上，所以，得 ，
所以P.因为点P在抛物线上，
所以，得，
所以二次函数的解析式为．
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
学习目标
1．知道二次函数与的联系．
2.掌握二次函数的性质，并会应用；
教学重点
类比一次函数的平移和二次函数 的性质学习，要构建一个知识体系
教学难点
类比一次函数的平移和二次函数 的性质学习，要构建一个知识体系
教学方法
导学训练
学生自主活动材料
【学习过程】
一、依标独学：1、直线可以看做是由直线 得到的。
2、练习：若一个一次函数的图象是由平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。
解：
3、由此你能推测二次函数与的图象之间又有何关系吗？
猜想： 。
二、围标群学
（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数，，的图象．
2．可以发现，把抛物线向______平移______个单位，就得到抛物线；把抛物线向_______平移______个单位，就得到抛物线.
3．抛物线，，的形状_____________．开口大小相同。
三、扣标展示：（一）抛物线特点：
1.当时，开口向 ；当时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；
3. 对称轴是 。
（二）抛物线与形状相同，位置不同，是由 平移得到的。（填上下或左右）二次函数图象的平移规律：上 下 。
（三）的正负决定开口的 ；决定开口的 ，即不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。
教学反思：
自我评价专栏(分优良中差四个等级)
自主学习： 合作与交流： 书写： 综合：
22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
一、复习
函数y＝—x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x＝_______时，有最______值是______，当x>0时，y随x的增大而
二、新知识探索
在10分钟内画二次函数y＝x2+1和y＝x2-1以及y＝x2的图象，和你的同学交流一下这个图象的形状。
x
y＝x2
y＝x2+1
y＝x2-1
观察图象可得二次函数y＝x2+1的性质：y＝x2-1的性质：及他们与y＝x2的关系
开口方向：对称轴：增减性：最值：平移关系：
y＝x2
y＝x2+1
y＝x2-1
练习：
1、抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线____________；
2、抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线______________．
3、把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，
就得到抛物线______；
把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，
就得到抛物线_______________
三、课堂检测：
1．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．
2． 抛物线y＝2 (x＋3)2的开口_________；顶点坐标为_____________；对称轴是______；当x＞－3时，y_________；当x＝－3时，y有_______值是________．
3．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则m＝_____，n＝_______．
二、在同一直角坐标系下画二次函数 y=（x-3）2，y=（x+3）2和y=x2图象。
x
y＝x2
y=（x-3）2
y=（x+3）2
观察图象可得二次函数y=（x+3）2的性质：y=（x-3）2的性质：及他们与y＝x2的关系
开口方向：
开口大小：
对称轴：
增减性：
最值：
平移关系：
练习：1．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状__________________．
2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．
3．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．
把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．
4．将抛物线y＝－(x－1)x2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．
22.1.3 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数的图象和性质
学习目标
1.会用描点法画出的图象.
2.掌握形如的二次函数图象的特性质，并会应用.
3.理解二次函数与之间的联系.
教学过程
一、情境导入
在边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长x（cm）的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？
二、合作探究
探究点一： 二次函数的图象与性质
【类型一】的图象与性质的识别
例1若二次函数y=a+2的图象经过点（-2，10），则下列说法错误的是（ ）
A.a＝2
B.当x＜0，y随x的增大而增大
C.顶点坐标为（2，0）
D.图象有最低点
解析：把x=-2，y=10代入数y=a+2可得10=4a+2，所以a=2，抛物线开口向上，有最低点，当x＜0，y随x的增大而增大，所以A、B、D均正确，而顶点坐标为（0，2），而不是（2，0）.故选C
方法总结:抛物线y=a+k（a≠0）的顶点为（0，k），对称轴为y轴。
【类型二】二次函数增减性判断
例2（2014广西河池）已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y=x2－1上，下列说法中正确的是（ ）
A.若y1=y2，则x1=x2
B.若x1=－x2，则y1=－y2
C.若0＜x1＜x2，则y1＞y2
D.若x1＜x2＜0，则y1＞y2
解析：如图所示，选项A：若y1=y2，则x1=-x2，所以选项A是错误的；选项B：若x1=-x2，则y1=y2，所以选项B是错误的；选项C：若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2，所以选项C是错误的；选项D：若x1＜x2＜0，则在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，所以选项D是正确的．
方法总结:讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线。
【类型三】识别的图象与一次函数图象
例3在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）
解析：当a＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，当a＜0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，由此排除选项A，C，D，故选B.
【类型四】确定与的关系
例4抛物线y=ax2+c与y=-5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0,3),求抛物线的表达式，它是由抛物线y=-5x2怎样得到的？
解：抛物线y=ax2+c与y=-5x2的形状、大小相同，开口方向也相同，
∴a=-5.
又∵其顶点坐标为（0，3）.
∴c=3.
∴y=-5x2+3.它是由抛物线y=5x2向上平移3个单位得到的.
方法总结: 对于与的开口大小、方向均相同，只是顶点不同，两者可相互平移得到。
探究点二：二次函数的应用
【类型一】的图象与几何图形的综合
例5如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a＜0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 ．
解析：二次函数y=ax2+c与y轴的交点为（0，c），因此OA＝c，根据正方形对角线互相垂直平分且相等，不难求得B（－，）、C（，），因为C（，）在函数y=ax2+c上，将点C坐标代入关系式即可求出ac的值．
解：∵y=ax2+c与y轴的交点为（0，c），四边形ABOC为正方形，∴C点坐标为（，）
∵二次函数y=ax2+c经过点C，∴＝a+c，即ac＝－2
方法总结: 对于二次函数的图象来说，向上平移个单位，就在后面加c，向下平移个单位就在后面减c.
【类型二】二次函数的实际应用
四、板书设计
教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象与性质，体会与的联系与区别.
22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
教学目标：
1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
重点难点：
会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。
正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。
教学过程：
一、提出问题
1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。
2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?
二、分析问题，解决问题
问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?
(画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较)
问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?
教学要点
1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。
2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象．
3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。
解：(1)列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
18
8
2
0
2
8
18
…
y＝x2＋1
…
19
9
3
l
3
9
19
…
(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。
（图象略）
问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?
教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值
之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。
教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。
问题4：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?
由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。
问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?
让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。
问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?
完成填空：
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．
以上就是函数y＝2x2＋1的性质。
三、做一做
问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?
教学要点
1．在学生画函数图象的同时，教师巡视指导；
2．让学生发表意见，归纳为：函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数y＝2x2－2的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向下平移两个单位得到的。
问题8：你能说出函数y＝2x2－2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗?
教学要点
1．让学生口答，函数y＝2x2－2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，－2)；
2．分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x＜0时，函数
值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得
最小值，最小值y＝－2。
问题9：在同一直角坐标系中。函数y＝－x2＋2图象与函数y＝－x2的图象有什么关系?
要求学生能够画出函数y＝－x2与函数y＝－x2＋2的草图，由草图观察得出结论：函数y＝－1/3x2＋2的图象与函数y＝－x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝－x2＋2的图象可以看成将函数y＝－x2的图象向上平移两个单位得到的。
问题10：你能说出函数y＝－x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
[函数y＝－x2＋2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，2)]
问题11：这个函数图象有哪些性质?
让学生观察函数y＝－x2＋2的图象得出性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取得最大值，最大值y＝2。
四、练习： P9 练习1、2、3。
五、小结
1．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系?
2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质?
六、作业：1．P19习题26．2 1．(1)
2．选用课时作业优化设计．
第一课时作业优化设计
1．分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。
(1)y＝－2x2与y＝－2x2－2；
(2)y＝3x2＋1与y＝3x2－1。
2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，
y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。
你能说出抛物线y＝x2＋k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗?
3．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝x2得到抛
物线y＝x2＋2和y＝x2－2?
4．试说出函数y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2的图象所具有的共同性质。
课件13张PPT。课件14张PPT。一、情景引入二、合作探究三、课堂小结四、课后作业探究点一 二次函数y=ax2+k的图象及平移探究点二 二次函数y=ax2+k的性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质 二次函数y=ax2的图象是什么形状呢？什么确定y=ax2的性质？通常怎样画一个函数的图象？我们来画最简单的二次函数y=x2的图象。还记得如何用
描点法画一个
函数的图象吗？9410149一、情景导入y=x2例1 在同一直角坐标系中，画出二函数 的图象．解：先列表：105212510830－1038y = x2＋1y = x2－1二、合作探究探究点一 二次函数y=ax2+k的图象及平移（2）抛物线 与抛物线 有什么关系？开口方向都向上，对称轴为y轴， y = x2＋1的顶点坐标是（0，1）， y = x2－1的顶点坐标是（0，－1）y = x2＋1y = x2－1如右图所示（1）抛物线 的开口方向、对称轴、顶点各是什么？ (1)把抛物线y=x2向上移平移1个单位，就得到抛物线y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得到抛物线y=x2-1。
（2）它们的位置是由+1、-1决定的。 见《学练优》第29页 课堂达标训练第2、6、7、8题首页把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移3．4个单位呢？探究点二 二次函数y=ax2+k的性质 抛物线y = ax2+k的特点：
a＞0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
a＜0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 __________________
顶点坐标是 __________。向上低向下高y轴(即直线x=0)(0,k)例2：在同一个直角坐标系中，画出函数y=-x2和y=-x2+1的图像，并根据图像回答下了问题：（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 其图像与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是（3）试说出抛物线y= x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标 见《学练优》第29页 第1、3、4、5题一般地抛物线y=ax2+k有如下性质：二次函数y=ax2+k（a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），是由抛物线y=ax2的图像向上（ k＞0）或向下（ k＜0）平移 个单位得到的。当a＞0时，抛物线y=ax2+ k的开口向上, 在对称轴的左边，即x＜0时，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边，即x＞0时，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，此时，函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值= k
三、课堂小结当a＜0时，抛物线y=ax2+ k的开口向下, 在对称轴的左边，即x＜0时，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边，即x＞0时，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，此时，函数y取得最大值，即当x=0时，y最大值= k
见《学练优》本课时课后巩固提升学.科.网四、课外作业课件14张PPT。二次函数y=ax2+k图象复习 二次函数y=ax2的图象是什么形状呢？什么确定y=ax2的性质？通常怎样画一个函数的图象？我们来画最简单的二次函数y=x2的图象。还记得如何用
描点法画一个
函数的图象吗？9410149y=x2例2 在同一直角坐标系中，画出二函数 的图象．解：先列表：105212510830－1038y = x2＋1y = x2－1（2）抛物线 与抛物线 有什么关系？开口方向都向上，对称轴为y轴， y = x2＋1的顶点坐标是（0，1）， y = x2－1的顶点坐标是（0，－1）y = x2＋1y = x2－1如右图所示（1）抛物线 的开口方向、对称轴、顶点各是什么？ (1)把抛物线y=x2向上移平移1个单位，就得到抛物线y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得到抛物线y=x2-1。
（2）它们的位置是由+1、-1决定的。把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移3．4个单位呢？抛物线y = ax2+k的特点：
a＞0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
a＜0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 __________________
顶点坐标是 __________。向上低向下高y轴(即直线x=0)(0,k)例：在同一个直角坐标系中，画出函数y=-x2和y=-x2+1的图像，并根据图像回答下了问题：（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 其图像与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是（3）试说出抛物线y= x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标一般地抛物线y=ax2+k有如下性质：二次函数y=ax2+k（a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），是由抛物线y=ax2的图像向上（ k＞0）或向下（ k＜0）平移 个单位得到的。当a＞0时，抛物线y=ax2+ k的开口向上, 在对称轴的左边，即x＜0时，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边，即x＞0时，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，此时，函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值= k
当a＜0时，抛物线y=ax2+ k的开口向下, 在对称轴的左边，即x＜0时，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边，即x＞0时，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，此时，函数y取得最大值，即当x=0时，y最大值= k
1、 把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条
抛物线？向下平移3.4个单位呢？思考 y=x2和y=-x2的图像有什么关系?知识回顾1、画抛物线y=ax2+k的图像
有几步？2、抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？
怎样决定的？k决定什么？它的对称轴
是什么？顶点坐标怎样表示？再 见第2课时 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
◆基础练习
1.抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．轴上 D．轴上
2．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象为（ ）
3．把抛物线向左平移2个单位得到抛物线 ；若将它向下平移2个单位,得到抛物线 .
4. 已知抛物线,当x 时, y随x的增大而增大;当x 时,y随x的增大而减小.
5. 若点P和Q（1，）都在抛物线上，则线段PQ的长为 。
◆能力拓展
6.已知抛物线与轴的交点的横坐标分别是、2，且与轴的交点的纵坐标是，求该抛物线的解析式。
7．某年7月某地区遭受严重的自然灾害，空军某部队奉命赴灾区空投物资，已知空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线顶点为机舱舱口A。如图所示。如果空投物资离开A处后下落的垂直高度AB=160米，它到A处的水平距离BC=200米，那么要使飞机在垂直高度AO=1000米的高度进行空投，物资恰好准确地落在居民点P处，飞机到P处的水平距离OP应为多少米？
◆创新学习
8．已知抛物线的顶点为C,直线与抛物线交于A、B两点.
试求.
参考答案
1．C 2．C 3． 4．＜－2 ＞－2
5． PQ＝2 6．
7．由题意得A（0，1000），C（200，840）．
设抛物线的表达式为，
把C（200，840）代入，得，
解得，
所以．
当时，，
解得（舍去），
所以飞机应在距P处的水平距离OP应为500米的上空空投物资．
8．根据题意可知抛物线的顶点C的坐标为(2,0),
由 ｛ 解得｛ ｛.
所以A(6,16) ,B(0,4). 画出草图.
过A作AD⊥x轴,垂足为D,
则 = - -
= (OB+AD)·OD -OC ·OB - CD·AD
= (4+16)×6 - ×2×4 - ×4×16 = 24.
第2课时 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
学习目标
会画二次函数的图象；2.知道二次函数与的联系．3.掌握二次函数的性质，并会应用；
教学重点
二次函数 的性质
教学难点
二次函数 的性质
教学方法
导学训练
学生自主活动材料
【学习过程】
一、依标独学：
1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、围标群学
画出二次函数，的图象；
归纳：（1）的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。
图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。
可以看作由向 平移 个单位形成的。
（2）的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。
可以看作由向 平移 个单位形成的。
三、扣标展示
（一）抛物线特点：
1.当时，开口向 ；当时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。
（二）抛物线与形状相同，位置不同，是由 平移得到的。（填上下或左右）
结合学案和课本可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。
（三）的正负决定开口的 ；决定开口的 ，即不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。
教学反思：
自我评价专栏(分优良中差四个等级)
自主学习： 合作与交流： 书写： 综合：
第2课时 二次函数的图象和性质
学习目标
1.会用描点法画出的图象.
2.掌握形如的二次函数图象的性质，并会应用.
3.理解二次函数与之间的联系.
教学过程
一、情境导入
涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，设于路基下修筑于路面以下的排水孔道（过水通道），通过这种结构可以让水从公路的下面流过.如图是建立直角坐标系，你能得到函数图象解析式吗？
二、合作探究
探究点：二次函数的图象和性质
【类型一】的图象与性质的识别
例1已知抛物线的顶点坐标是(-2,0),且图象经过点(-4,2),求的值.
解:∵抛物线的顶点坐标为(-2,0)
∴
又∵抛物线经过点(-4,2)
∴
∴
【类型二】二次函数增减性的判断
例2对于二次函数，下列结论正确的是（ ）
A.y随x的增大而增大
B.当x＞0时，y随x的增大而增大
C.当x＞－1时，y随x的增大而增大
D.当x＞1时，y随x的增大而增大
解析：由于a=9＞0，抛物线开口向上，而h=1，所以当x＞1时，y随x的增大而增大.故选D.
【类型三】确定与的关系
例3 能否向左或向右平移函数y=的图象，使得到的新的图象过点（-9，-8）？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由.
解：大：能，
设平移后的函数为，
将x=-9，y=-8代入得，
所以h=－5或h=-13，
所以平移后的函数为
或.
即抛物线的顶点为（-5，0）或（-13，0），
所以向左平移5或13个单位.
方法总结: 根据抛物线平移的规律，向右平移1个单位后，a不变，括号内变“减去1”；若向左平移1个单位，括号内应“加上1”，即“左加右减”．
【类型四】的图象与几何图形的综合
例4把函数y=的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y=x分别相交于A、B两点（点A在点B的左边），求△ABC的面积.
分析：利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式，确定C点坐标，再解由所得到二次函数解析式与y=x组成的方程组，确定A、B两点坐标，最后求△ABC的面积.
解：平移后的函数为，顶点C的坐标为（4，0），
解方程组得或，
因为点A在点B的左边
所以A（2，2），B（8，8）
所以
方法总结：两个函数交点的纵横坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的.
四、板书设计
教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法方法.
22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
教学目标：
1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
重点难点：
重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。
难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的难点。
教学过程：
一、提出问题
1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?
(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)
2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?
(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3)
3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?
二、试一试
你能填写下表吗?
y=2x2 向右平移
的图象 1个单位
y=2(x－1)2
向上平移
1个单位
y=2(x－1)2＋1的图象
开口方向
向上
对称轴
y轴
顶 点
(0，0)
问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗?
问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?
对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；
函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。
当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。
三、做一做
问题4：在图26．2．3中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗?
教学要点
1．在学生画函数图象时，教师巡视指导；
2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。
问题5：你能说出函数y=－(x－1)2＋2的图象与函数y=－x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
(函数y＝－(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)
四、课堂练习： P13练习1、2、3、4。
对于练习第4题，教师必须提示：将－3x2－6x＋8配方，化为练习第3题中的形式，即
y=－3x2－6x＋8 =－3(x2＋2x)＋8 =－3(x2＋2x＋1－1)＋8 =－3(x＋1)2＋11
五、小结
1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑?
2．谈谈你的学习体会。
六、作业：
1．巳知函数y＝－x2、y＝－x2－1和y＝－(x＋1)2－1
(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－x2得到抛物线y＝－x2－1和抛物线y＝(x＋1)2－1；
(4)试讨论函数y＝－(x＋1)2－1的性质。
2．已知函数y＝6x2、y＝6(x－3)2＋3和y＝6(x＋3)2－3。
(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝6x2得到抛物线y＝6(x－3)2＋3和抛物线y＝6(x＋3)2－3；
(4)试讨沦函数y＝6(x＋3)2－3的性质；
3．不画图象，直接说出函数y＝－2x2－5x＋7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
4．函数y＝2(x－1)2＋k的图象与函数y＝2x2的图象有什么关系?
课件20张PPT。一、情景引入二、合作探究三、课堂小结四、课后作业探究点一 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质探究点二 二次函数y=a(x-h)2+k的平移
第2课时 二次函数y=a（x-h)2的图象和性质一、情景导入例1：画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．－2－8－4.5－200－2－8－4.5－2二、合作探究探究点一 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 可以看出，抛物线 的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记住x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 的开口向_________，对称轴是________________，顶点是_________________．下x = 1( 1 , 0 )抛物线 与抛物线 有什么关系？可以发现，把抛物线 向左平移1个单位，就得到抛物线 ；把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线 ．演示抛物线 y = a ( x-h)2 的特点：
a＞0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
a＜0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 _____________，
顶点坐标是 __________。向上低向下高直线 x = h( h,0 )练习1探究1问题1复习问题2探究2练习2练习2向上直线x=-3( -3 , 0 )直线x=1直线x=3向下向下( 1 , 0 )( 3, 0) 见《学练优》第29页课堂达标训练第1、2、3、4、5题首页例2：画出函数 和 的图象，
并说明这两个图象之间的区别和联系。探究点二 二次函数y=a（x-h）2的平移y顶点从(0,0)移到了(0,–2)，即x=0时，y取最大值–2顶点从(0,0)移到了(0, 2)，即x=0时，y取最大值2y顶点从(0,0)移到了(2,0)，即x=2时， y取最大值0顶点从(0,0)移到了(–2,0)，即x= –2时，y取最大值0y=2x2y=2(x–1)2向上y轴(0,0)向上直线x=1(1,0)二次函数y=a(x±h)2的图象和性质. a＞0时，开口_____, 最 ____ 点是顶点;
a＜0时，开口_____, 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 ， 顶点坐标是 。y=ax2y=a(x+h)2的图象y=a(x-h)2当向左平移h时向下向上高直线x=-h(-h，0)低y=a(x+h)2当向右平移h时y=ax2y=ax2指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.开口 对称轴 顶点坐标向上直线x=3(3,0)向下直线x= –1(–1,0)向下直线x=0
(Y轴)(0,–1)向上直线x=2(2, 0)向上(0,0)向下(0,-3)直线x=0
(Y轴)直线x=0
(Y轴) 见《学练优》第29页课堂达标训练第6、7、8题抛物线y＝a(x+h)2的性质（1）对称轴是直线x＝_________（2）顶点坐标是___________(3)当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而_______；在对称轴的右侧y随x的增大而________。（4）当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而_________;在对称轴的右侧y随x的增大而___________-h(-h、0)减小增大增大减小三、课堂小结y = ax2y = ax2 + k y = a(x – h )2上下平移左右平移见《学练优》本课时课后巩固提升学.科.网四、课外作业第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
◆基础练习
1. 抛物线的顶点坐标是 （ ）
A、（2，8） B、（8，2） C、（—8，2） D、（—8，—2）
2. 抛物线的顶点坐标为P(1,3),且开口向下,则函数y随自变量x的增大而减小,那么x的取值范围为( )
A. x＜3 B. x＜3 C.x＞1 D.x＜1
3.二次函数的图象向右平移1个单位,再向上平移3个单位,所得到抛物线的解析式为 。
4. 写出一个经过点（1，－1）的函数的表达式 。
5.已知抛物线的部分图象如图所示,则图象再次与x 轴相交时的坐标是 .
◆能力拓展
6.已知点A(1, )在抛物线上.
(1)求A点的坐标;
(2)在x轴上是否存在点P,使得△OAP是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
7. 某农场种植一种蔬菜，销售员张华根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图所示，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份的关系。观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？
答题要求：（1）请提供四条信息；（2）不必求函数解析式。
◆创新学习
8．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,生产第一档次(即最低档次)的产品一天生产76件,每件利润10元,每提高一个档次,利润每件增加2元.
(1)当每件利润为16元时,此产品质量在第几档次?
(2)由于生产工序不同,此产品每提高一个档次,一天产量减少4件.若生产第档次产品一天的总利润为y元(其中为正整数,且1≤≤10),求出y关于的函数关系式;若生产某挡次产品一天的总利润为1080元,该工厂生产的是第几档次的产品?
参考答案
1．B 2．C 3． 4．等（答案不唯一） 5．（7，0）
6．(1)把A(1,)代入得 ∴A (1,1)
(2)存在.这样的点P有四个,即
7．此题答案不唯一，以下答案仅供参考：
（1）2月份每千克销售价是3.5元；
（2）7月份每千克销售价是0.5元；
（3）1月到7月的销售价逐月下降；
（4）7月到12月的销售价逐月上升；
（5）2月与7月的销售差价是每千克3元；
（6）7月份销售价最低，1月份销售价最高；等．
8．(1)当每件利润是16元时,此产品的质量档次是在第四档次.
(2) 根据题意可得
整理,得.
当利润是1080元时,即解得
因为>10,不符合题意,舍去.因此取,
答: 当生产产品的质量档次是在第5档次时,一天的总利润为1080元．
第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
课 题
课 型
新授课
执笔人
周老师
审核人
倪飞
级部审核
王秀峰
讲学时间
第 周第 讲学稿
教师寄语
今日事，今日毕。不要把今天的事拖到明天。
学习目标
会用二次函数的性质解决问题
教学重点
会用二次函数的性质解决问题
教学难点
会用二次函数的性质解决问题
教学方法
导学训练
学生自主活动材料
【学习过程】
一、依标独学：
1.抛物线开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x＝ 时，y有最 值为 。当 时，随的增大而增大.
2. 抛物线是由如何平移得到的？答：
。
二、围标群学
1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？
分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。
2.仔细阅读课本例4：
分析：由题意可知：池中心是 ，水管是 ，点 是喷头，线段 的长度是1米，线段 的长度是3米。
由已知条件可设抛物线的解析式为 。抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定 个点的坐标即可，这个点是 。
求水管的长就是通过求点 的 坐标。
四、达标测评
1..抛物线开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x＝ 时，y有最 值为 。
2、.函数的图象可由函数的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到。
3、若把函数的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。
五、课后反思：
教学反思：
自我评价专栏(分优良中差四个等级)
自主学习： 合作与交流： 书写： 综合：
第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
教材分析
之前学生已经学过一次函数、反比例函数的图像和性质，以及会建立二次函数的模型和理解二次函数的图像相关概念和性质基础之上进行的。是前面知识的应用和拓展，又为今后学习二次函数的应用及一元二次方程与二次函数之间的关系作预备。充分体现了数形结合的思想，因此本课无论在知识上还是培养学生动手能力上都起了很大的作用。学生已经会了上一节的二次函数图像及性质。
课标要求
会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。
学情分析
可能有些学生对二次函数还不理解，甚至还不会描点法画出函数图像，看图能力差，不能类比一次函数的一些观察图像的方法来学习二次函数的图像。不能从图中获取相关的信息。由于放假的原因，学生对上下平移和左右平移的知识有很多淡忘，所以完成本节知识在理解方面会有难点。
教学目标
知识目标：让学生经历二次函数y＝a(x－h)2+k性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系
能力目标：通过画图象独立去探索交流图象的性质培养分析解决问题的能力。能说出二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。
情意目标：在学习中体会知识之间的联系，体会知识的发生发展过程和知识体系。
教学重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2+k的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的性质。能说出顶点坐标。
教学难点：理解二次函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2关系。
教学手段
导学案
教学方法
问答法、练习法、讨论法
教
学
过
程
1、创设情境：:（组织方法）
复习两个上下平移及左右平移的二次数学图像，对照图像说出开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、性质。
详见导学案。
解决哪些教学目标：
在学习中体会知识之间的联系，体会知识的发生发展过程和知识体系。
学生可能出现的困难：
忘记或混淆上下平移和左右平移。
2、新授（1）：
（课件辅助）
直接提问上下和左右平移的例子，由特殊到一般，提问常规问题。
课件体现了两种平移方式。
3、练习：
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:
学生总结顶点坐标和对称轴之间的关系。
2.二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?
正反两个角度来说明图像的平移与解析式之间的关系。
3.对于二次函数y=3(x+1)2+4 ,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?
要激发学生猜测、验证热情，让学生感受证明必要性。在证明过程中让学生体会证明严谨性。
4.新授（2）例4：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
此题不适合本节课来解决，应单独做为一个专题。
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.
解决哪些教学目标：
让学生经历二次函数y＝a(x－h)2+k性质探究的过程。
让学生经历二次函数y＝a(x－h)2+k性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2+k的性质，
理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系
在学习中体会知识之间的联系，体会知识的发生发展过程和知识体系。
通过画图象独立去探索交流图象的性质培养分析解决问题的能力
让学生经历二次函数y＝a(x－h)2+k性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2+k的性质，
理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系
学生可能出现的困难：
列表时沿着上节课的列表方法取点描点，把点描错了，使的
顶点还在y轴上或者
原点上
。
找错顶点的位置，说错顶点坐标和对称轴
有部分同学还是不理解。
课堂小结：
1．在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)2+k的图象与函数y＝a(x－h)2+k的图象有什么联系和区别?
2．你能说出函数y＝a(x－h)2图象的性质吗?
3．谈谈本节课的收获和体会
六、作业
板书设计：
二次函数的图像与性质
创设情境： 练习：
画图
反思：可能有些学生对二次函数还不理解，甚至还不会描点法画出函数图像，看图能力差，不能类比一次函数的一些观察图像的方法来学习二次函数的图像。不能从图中获取相关的信息。由于放假的原因，学生对上下平移和左右平移的知识有很多淡忘，所以完成本节知识在理解方面有难点。
第3课时 二次函数的图象和性质
学习目标
1.会用描点法画出的图象.
2.掌握形如的二次函数图象的性质，并会应用.
3.理解二次函数与之间的联系.
教学过程
一、情境导入
对于二次函数y＝(x—1)2＋2的图象，你能说出它的顶点坐标、对称轴、开口方向吗？你能再说出一个和这个函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向一致的二次函数吗？
二、合作探究
探究点一：二次函数的图象和性质
【类型一】二次函数的图象
例1求二次函数y=x2- 2x-1的顶点坐标、对称轴及其最值.
解析：把二次函数y=x2- 2x-1转化为y=a（x－h）2＋k（a≠0）形式，就会很快求出二次函数y=x2- 2x-1的顶点坐标及对称轴.
解：
∴ 顶点坐标为（1，-2），对称轴是直线x=1.
当x=1，时，y最小值=-2
方法总结: 把二次函数y=ax2＋bx+c（a≠0）化成y=a（x－h）2＋k（a≠0）形式常用的方法是配方法和公式法.
【类型二】二次函数的性质
例2（2014山东聊城）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．②③④
解析：∵－=－1，∴b=2a，即b-2a =0，∴①正确；∵当x=-2时点在x轴的上方，即4a－2b+c>0，②不正确；∵4a+2b+c=0，∴c=-4a-2b，∵b=2a，∴a-b+c=a-b-4a-2b=-3a-3b=-9a，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点（-3，y1）到对称轴x=-1的距离小于点（，y2）到对称轴的距离，即y1>y2，∴④正确．综上所述，选B．
方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线的对称轴是x=-；当x=2时，二次函数的函数值为y=4a+2b+c；函数的图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方时，y<0．
【类型三】利用平移确定的解析式
例3（2014·贵州铜仁）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝ 向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝－1，故选择A ．
探究点二：二次函数的应用
【类型一】的图象与几何图形的综合
例7（2014吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x= -2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）.若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为 .（ 用含a的式子表示）.
解析：如图，∵对称轴为直线x=-2，抛物线经过原点、x轴负半轴交于点B，∴OB=4，∵由抛物线的对称性知AB=AO，∴四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB=△ABC的周长+OB=a+4．故答案是：a+4．
方法总结：二次函数的图象抛物线具有对称性，它是关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用.
【类型二】二次函数的实际应用
四、板书设计
教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法方法.
22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
教学目标：
1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
重点难点：
重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。
难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的难点。
教学过程：
一、提出问题
1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?
(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)
2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?
(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3)
3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?
二、试一试
你能填写下表吗?
y=2x2 向右平移
的图象 1个单位
y=2(x－1)2
向上平移
1个单位
y=2(x－1)2＋1的图象
开口方向
向上
对称轴
y轴
顶 点
(0，0)
问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗?
问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?
对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；
函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。
当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。
三、做一做
问题4：在图26．2．3中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗?
教学要点
1．在学生画函数图象时，教师巡视指导；
2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。
问题5：你能说出函数y=－(x－1)2＋2的图象与函数y=－x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
(函数y＝－(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)
四、课堂练习： P13练习1、2、3、4。
对于练习第4题，教师必须提示：将－3x2－6x＋8配方，化为练习第3题中的形式，即
y=－3x2－6x＋8 =－3(x2＋2x)＋8 =－3(x2＋2x＋1－1)＋8 =－3(x＋1)2＋11
五、小结
1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑?
2．谈谈你的学习体会。
六、作业：
1．巳知函数y＝－x2、y＝－x2－1和y＝－(x＋1)2－1
(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－x2得到抛物线y＝－x2－1和抛物线y＝(x＋1)2－1；
(4)试讨论函数y＝－(x＋1)2－1的性质。
2．已知函数y＝6x2、y＝6(x－3)2＋3和y＝6(x＋3)2－3。
(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝6x2得到抛物线y＝6(x－3)2＋3和抛物线y＝6(x＋3)2－3；
(4)试讨沦函数y＝6(x＋3)2－3的性质；
3．不画图象，直接说出函数y＝－2x2－5x＋7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
4．函数y＝2(x－1)2＋k的图象与函数y＝2x2的图象有什么关系?
课件11张PPT。课件13张PPT。一、情景引入二、合作探究三、课堂小结四、课后作业探究点一 二次函数y=a（x-h）2+k的图象、性质及平移
第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:
1)y=ax2
2)y=ax2+c
3)y=a(x-h)2
一、情景导入首页将抛物线y=ax2沿y轴方向平移c个单位,得抛物线 y =ax2+c
将抛物线y=ax2沿x轴方向平移h个单位,得抛物线
y=a(x-h)23 .请说出二次函数y=2(x-3)2与抛物线y=2(x+3)2如何由y=2x2 平移而来2 .请说出二次函数y=ax2+c与y=ax2的平移关系。
y=a(x-h)2与y=ax2的平移关系首页
画出二次函数y=2x2, y=2(x-1)2, y=2(x-
1)2+1的图象，并说一说三个图象的关系？ 二、合作探究探究点一 二次函数y=a（x-h）2+k的图象、性质及平移首页5y=2(x-1)2+1y=2(x-1)2 y=2x2首页5y=2(x-1)2+1y=2x2 +1y=2x2首页
联系:
将函数 y=2x2的图象向右平移1个 单位, 就得到
y=2(x-1)2的图象;
在向上平移2个单位, 得到函数 y=2(x-1)2+1的图象.
相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同.
(2)都是轴对称图形.
(3)顶点都是最低点.
(4) 在对称轴左侧,都随 x 的增大而减小,在对称轴右侧,都随 x 的增大而增大.
(5)它们的增长速度相同.
不同点: (1)对称轴不同. (2)顶点不同. (3)最小值不相同.首页|a|越大开口越小.二次函数y=a(x-h)2+k的图象特征首页例1：求二次函数y=x2- 2x-1的顶点坐标、
对称轴及其最值.
首页例2：（2014·聊城中考）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是 （ ）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④解析：∵－ =－1，∴b=2a，即b-2a =0，∴①正确；∵当x=-2时点在x轴的上方，即4a－2b+c>0，②不正确；∵4a+2b+c=0，∴c=-4a-2b，∵b=2a，∴a-b+c=a-b-4a-2b=-3a-3b=-9a，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点（-3，y1）到对称轴的距离小于点（ ，y2）到对称轴的距离，即y1>y2，∴④正确．综上所述，选B．首页 见《学练优》第33页课堂达标训练第1、2、3、4、5、6、7、8题首页顶点y=a(x-h)2+k（h，k）对称轴直线 x=h最值 当a>0时
当a<0时x=h时，y有最小值kx=h时，y有最大值k三、课堂小结首页见《学练优》本课时课后巩固提升学.科.网四、课外作业首页课件15张PPT。二次函数的
图象和性质26.2.3在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和 y=3(x-1)2的图象． 观察图象,回答问题(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? (2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？ 我思考，我进步在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象. 二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看． 对称轴仍是平行于y轴的直
线(x=1);增减性与y=3x2类似. 顶点是(1,2).二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x2,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向上,当
X=1时有最小
值:且最小值=2.先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?X=1对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y=3x2类似. 顶点是(1,-2).二次函数y=3(x-1)2-2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
下平移2个单位后得到的.二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 开口向上,
当x=1时y有
最小值:且
最小值= -2.想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x2,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．X=1我思考，我进步 在同一坐标系中作出二次函数
y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x2和
y=-3(x-1)2的图象 二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x2,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小? 对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y= -3x2类似. 顶点分别是
(1,2)和(1,-2).二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2+2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物
线y=-3x2,y=-3(x-1)2有什
么关系? 它的开口方向,对
称轴和顶点坐标分别是什
么?开口向下,
当x=1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值=-2).想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x2,y=-3(x+1)2yX=1对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=-1);增减性与y= -3x2类似. 顶点分别是
(-1,2)和(-1,-2)..二次函数y=-3(x+1)2+2与
y=-3(x+1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向左平移1个
单位,再沿直线x=-1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x2,y=-3(x+1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向下,
当x=-1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值= - 2).先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质. x=1二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系一般地,由y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象:y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:
３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢? 2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?
2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).
(2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴.
(3)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.2.填写下表:中考语录 中考是人生的第一个十字路口，车辆很多，但要勇敢地穿过去。
