因式分解全章导学案

因式分解
学习目标：1、了解因式分解的意义。2、初步了解因式分解在解决其他数学总是中的桥梁作用，如解方程、简化计算等方面都常用因式分解。3、理解因式分解是多项式乘法的逆变形。
学习重点: 因式分解的概念。
学习难点: 理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
一、复习回顾:
问题一 整式乘法有几种形式 问题二 乘法公式有哪些
(1)单项式乘以单项式 (1)平方差公式:：
(2)单项式乘以多项式：a(m+n)= (2)完全平方公式：
(3)多项式乘以多项式： (a+b)(m+n)=
二、自主学习:
1、计算：（1） （2）（m+4）（m－4）=__________；
（3）（y－3）2=__________； （4）3x（x－1）=__________；
（5）m（a+b+c）=__________； （6）a（a+1）（a－1）=__________。
2、若a=101,b=99,则=___________；若a=99,b=-1,则=_______； 若x=-3,则=
小结：一般地，把一个含字母的 表示成若干个多项式的 的形式，称把这个多项式因式分解。
思考：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形有什么不同
因式分解与整式的乘法有什么区别和联系？
三、合作探究:
四、课堂检测
1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1) -3x+1=x(x-3)+1 ； (3) 2m(m-n)=2-2mn；
(4) 4-4x+1= ； (5) 3+6a=3a（a+2）；
（6）
(7) ； (8) bc=3b·6ac。
3、下列说法不正确的是( )
A. 是的一个因式 B. 是的一个因式
C.的因式是和 D. 的一个因式是
4、计算：(1) +87×13 (2)
5、若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n=
提取公因式（1）
【学习目标】：通过本节课学习,能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式。【学习重点】：掌握用提公因式法把多项式分解因式。
【学习难点】：如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．
自主学习：
什么叫公因式？
什么叫提公因式法？
如果一个多项式的各项含有_________，那么就可以把这个_________提出来，从而将多项式化成两个或几个_________形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
把下列多项式写成整式的乘积的形式
x2+x=_________ （2）am+bm+cm=__________
二、合作探究：<一>、基础知识探究：
①多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？
②请将下列多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由.
mn+mb= 4x2－x= xy2－yz－y=
总结：用提公因式法分解因式的技巧：
各项有“公”先提“公”，首项有负常提负，某项提出莫漏1， 括号里面分到“底”。
<二>、例1：下列从左到右的变形是否是因式分解？
（1）2x2+4=2（x2+2） （2）2t2－3t+1=（2t3－3t2+t）；
（3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2； （4）m（x+y）=mx+my；
（5）x2－2xy+y2=（x－y）2．
2、请同学们指出下列各多项式中各项的公因式：
ax+ay+a 3mx-6mx2 4a2+10ah
4x2－8x6 x2y + xy2
12xyz-9x2y2 16a3b2－4a3b2－8ab4
总结：找最大公因式的方法：
①公因式的系数取各项系数的 ；
②公因式字母取各项 的字母；
③公因式字母的指数取相同字母的最 次幂．
概括为“三定”：（1）定系数；（2）定字母；（3）定指数
例2：把9x2–6xy+3xz 分解因式.
例3：下面的解法有误吗？如有错误请更正。
把 8a3b2 –12ab3c +ab分解因式.
解： 8a3b2 –12ab3c +ab
=ab 8a2 b-ab 12b2 c+ab 1=ab(8a2b- 12b2c)
三、当堂检测：1、将下列多项式分解因式
①8a3b2+12ab2c ②–3m3+9m2-12mn ③3x3-6xy+x ④-4a3+16a2-18
2、将下列多项式分解因式
①a2b–2ab2+ab ②–48mn–24m2n3
用简便的方法计算：①0.84×12+12×0.6－0.44×12．
② 992+99
三、反思小结：
利用提公因式法因式分解，关键是找准 ．在找最大公因式时应注意： （1） （2） （3）

提取公因式（2）
学习目标：
1、使学生理解什么样的式子是几个多项式的公因式。
2、会找出几个多项式的公因式。
3、会用提公因式法分解因式。
学习重点：如何找出几个多项式的公因式。
学习难点：多项式公因式的取方法及提公因式法分解因式的应用。
一、自主学习：
1、下列各式中的公因式是什么？
(1) a(x+y)+b(x+y) (2) x(a+3)-y(a+3)
(3) 6m(p-3)+5n(p-3) (4) x(m-n)-2y(m-n)
(5) x(a+b)+y(a+b)-z(a+b)
2、判断：下列各式哪些成立？
你能得到什么结论？
二、合作探究：
例1：把a（x－3）+2b（x－3）分解因式
思考：提公因式时，公因式可以是多项式吗？
例2：把下列各式分解因式:
（1）a（x－y）+b（y－x）; （2）6（m－n）－12（n－m）
课堂检测：
在下列各横线上填上“+”或“-”,使等式成立.
(1); (2); (3).
2、分解因式：
2、分解下列因式：
3、分解下列因式：
4、设,求代数式的值。
四、正确找出多项式各项公因式的关键是什么？
系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即相同字母的最低次幂。
多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式。
公式法1
学习目标：
掌握用平方差公式分解因式； 2、理解多项式中如果有公因式要先提公因式，了解实数范围内与有理数范围内分解因式的区别。
学习重点：掌握平方差公式的特点及运用此公式分解因式\
难点：把多项式转换到能用平方差公式分解因式的模式，综合运用多种方法因式分
一、思考回顾：
1、填空①25x2 ＝ (_____)2 ②36a4 ＝ (_____)2
③0.49b2 ＝ (_____)2 ④64x2y2 ＝ (_____)2
⑤ ＝ (_____)2
口算：(x+5)(x-5)= (3x+y)(3x-y)=
(1+3a)(1-3a)= (a+b)(a-b)= a2-b2=
二、自主学习：
1、把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2 倒过来，就得到 ，把它作为公式，可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做 。
2、把下列各式因式分解：
（1）25－16x2
三、合作探究：
1、运用平方差公式分解因式。
例1、下列多项式中，能运用平方差公式进行分解因式的是：
x2+2x+3 B、-x2-y2 C、-169+a4 D、9x2-7y
例2、把下列各式分解因式。
（1）； （2）(a+b)2-1； （3）(ax+b)2-4c2
2、分解因式方法的综合运用。
例3、分解因式：a3-ab2
例4：计算：5752×12-4252×12= 。
课堂检测：
1、.
2、因式分解(x-1)2-9的结果是（ ）
A、(x+8)(x+1) B、(x+2)(x-4) C、(x-2)(x+4) D、(x-10)(x+8)
3、多项式a2+b2，a2-b2，-a2+b2，-a2-b2中能用平方差公式分解因式的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4、如果多项式4a4-(b-c)2=M(2a2-b+c)，则M表示的多项式是（ ）
A、2a2b+c B、2a2-b-c C、2a2+b-c D、2a2+b+c
5、下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A、x2-xy B、x2+xy C、x2-y2 D、x2+y2
6、m2+n2是下列多项式（ ）中的一个因式
A、m2(m-n)+n2(n-m) B、m4-n4
C、m4+n4 D、(m+n)2·(m-n)2
7、下列分解因式错误的是（ ）
A、-a2+b2=(b+a)(b-a) B、9x2-4=(3x+4)(3x-4)
C、x4-16=(x2+4)(x+2)(x-2) D、x2-(x-y)2=y(2x-y)
下列多项式中:
①; ②; ③; ④;
⑤,能用平方差公式进行因式分解的有( )个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9、分解因式：x2-9= ; 2m2-8n2= ;
__________; ________________;
______; ___ _____ .
11、请你写一个能先提公因式再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果。
公式法2
教学目标：
1、使学生掌握完全平方式、完全平方公式的特点。
2、会用完全平方公式分解因式。
3、在引导学生逆用乘法公式的过程中培养学生逆向思维的意识和能力。
学习重难点：
1、重点：会用公式法进行因式分解。
2、难点：熟练应用公式法进行因式分解。
一、回顾旧知：
1、(a+b)2== (a-b)2= 用文字表示为： 。
2、完全平方式有何特点？下列各式是完全平方式吗？请说明理由。
(a+b)2＋2(a+b) ＋1
二、自主学习：
1、形如 或 的式子叫做完全平方式。由因式分解与整式乘法的关系可以看出,如果把 反过来，,那么就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2、把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49; （2）－x2－4y2+4xy.
三、合作探究：
例1：在下列式子中填上适当的数，使等式成立。
1、x2-12x+( )=(x-6)2 2、x2-4x+( )=(x- )2
3、x2+8x+( )=(x+ )2
例2：若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，求a的值。
例3：把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2; （2）（m+n）2－6（m +n）+9.
四、课堂检测：
把下列各式分解因式：
（1）x2－12xy+36y2 （2）16a4+24a2b2+9b4
（3）－2xy－x2－y2 （4）4－12（x－y）+9（x－y）2
五、能力挑战：
1.、计算: 7652×17－2352 ×17
2.、 20042+2004能被2005整除吗
六、课堂总结：
这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.这样的多项式有两个特点：
（1）要求多项式有三项；
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负。
注意：若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式。
PAGE
10