天津市咸水沽第一中学2023年5月普通高考数学押题卷（五）解析版
数学试题
一 选择题：本大题共9小题，每小题5分，共计45分.每小题有且仅有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意列举法表示集合，再根据并集的运算求解即可.
【详解】解：由题，，，
则.
故选：D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
3. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出函数的定义域和奇偶性排除选项B和C，再利用导数研究单调性即可排除D得答案.
【详解】由题意可知：函数的定义域为，
又因为，
所以函数为上的奇函数，故排除选项B,C；
，令得，
当或时，，当时，，
在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，
排除D，
故选：A.
4. 在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已知成绩落在内的人数为16，则下列结论正确的是（ ）
A. 样本容量
B. 图中
C. 估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分
D. 若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是A等
【答案】C
【解析】
【分析】由频率分布直方图区间的概率确定样本总容量，由频率和为1求x，根据频率分布直方图估计均值，确定78分前所占比例从而判断各选项．
【详解】由频率分布直方图可得：，，，，的频率依次为.
对于A：∵成绩落在内的人数为16，则，
解得，故A错误；
对B：由频率可得，解得，故B错误；
对C：由选项B可得：成绩落在的频率为，
估计全体学生该学科成绩的平均分分，故C正确；
对D：设该学科成绩为A等的最低分数为，
∵，，的频率依次为，即，
可知，则，解得，
虽然，但是估计值，有可能出现没有学生考到分的情况（学生成绩均为正整数），
这种情况下成绩为78分的学生该学科成绩可以是A等，D错误；
故选：C.
5. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可
【详解】因为，
而，且，
所以.
又，
所以，
故选：A.
6. 已知，则（ ）
A. 25 B. 5 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
7. 中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体；对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（ ）
A. 24 B. 28 C. 32 D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用四棱锥、三棱柱的体积公式结合给定数据建立关系式，求出长方体的体积作答.
【详解】如图，令四棱锥的底面边长为a，高为h，三棱柱的高为b，
依题意，四棱锥的体积，即，三棱柱的体积，即有，
因此，于是长方体的体积，
所以该正四棱台的体积为.
故选：B
【点睛】关键点睛：求几何体的体积，将给定的几何体进行恰当的分割，转化为可求体积的几何体求解是关键.
8. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标，则双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标，求得，接着根据平行线斜率相等求出，最后求出焦距即可.
【详解】因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标，所以抛物线的准线方程为，从而抛物线的焦点坐标为，
因为双曲线的左顶点为，所以，解得，
所以双曲线的左顶点为，
又因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标，
所以，即，
所以，
双曲线的焦距为，
故选：D
【点睛】双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.
9. 将函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，有下述四个结论：
①
②函数在上单调递增
③点是函数图像的一个对称中心
④当时，函数的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象变换可得，结合正弦函数的性质逐项分析判断.
【详解】由题意可得：，故①错误；
因为，则，且在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故②正确；
因为，
所以点是函数图像的一个对称中心，故③正确；
因为，则，
所以当，即时，函数的最大值为，故④错误；
故选：B.
二 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分.
10. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数，利用该复数为纯虚数可求得实数的值.
【详解】为纯虚数，
则，解得.
故答案为：2.
11. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________
【答案】70
【解析】
【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可.
【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：.
∴通项公式，
令，解得.
∴展开式中含项的系数为.
故答案为：70.
12. 已知圆心为的圆与x轴相切，且与直线相交于A，B两点，若，则实数______．
【答案】3或；
【解析】
【分析】首先根据圆与x轴相切得到圆的半径等于，再根据垂径定理列出关于的方程，最后解方程即可.
【详解】因为圆心为的圆与x轴相切，
所以圆的半径为，
圆心到直线的距离，
根据垂径定理得到：，
所以，解得或，
故答案为：3或；
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
13. 对某实验项目进行测试，测试方法：①共进行3轮测试；②每轮测试2次，若至少合格1次，则本轮通过，否则不通过.已知测试1次合格的概率为，如果各次测试合格与否互不影响，则在一轮测试中，通过的概率为________；在3轮测试中，通过的次数X的期望是________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】根据给定条件利用独立事件概率的乘法公式求出两次都不合格的概率即可得通过的概率；再利用二项分布的期望公式计算作答.
【详解】依题意，一轮测试的2次都不合格的概率，所以在一轮测试中，通过的概率为；
在3轮测试中，通过的次数X的所有可能值为：0，1，2，3，
一轮测试就是一次试验，有通过与不通过两个结果，因此，，则，
所以通过的次数X的期望是.
故答案为：；
14. 在中，是边的中点，是线段的中点.设，试用表示为___________；若的面积为，则当___________时，取得最小值.
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】根据向量加减法的线性运算即可求解，由的面积求得的值，利用平面向量的线性运算与数量积运算求出，利用基本不等式求出它取最小值时、的值，再利用余弦定理求出的值．
【详解】是边的中点，是线段的中点，则，
所以
如图所示，中，，
所以的面积为，
所以；
所以
；
当且仅当时取等号，
所以的最小值为6；
所以此时，，，
所以，
所以．
故答案为：；2．
15. 设函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】对进行分类讨论，方程有三个不同的实数根以及函数的单调性即可求解；
【详解】①当时，，
在单调递增，在单调递增，在单调递减，
此时不满足方程有三个不同的实数根；
②当时，，
在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递增，
，
即，
解得：；
③当时，，
在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递增，
，
即，
解得：，
由①②③可知：；
实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主要考查了绝对值函数以及函数与方程的关系，难度较大，解决本题的关键在于分类讨论去掉绝对值符号，然后将方程的根转化为函数的交点，然后结合函数的性质解答.
三 解答题：本大题共5小题，共分.解答必需写出必要的文字说明 推理过程或计算步骤，只有结果的不给分.
16. 在中，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）
（2）5 （3）
【解析】
【分析】（1）根据倍角公式结合正弦定理分析运算；
（2）利用倍角公式和两角和差公式求，再利用余弦定理求的值；
（3）利用两角和差公式运算求解.
【小问1详解】
因为，则，
由正弦定理可得：，即，
所以.
【小问2详解】
由（1）可得：且，则，
可得，
所以，
由正弦定理，可得.
【小问3详解】
由（2）可得
17. 如图，在三棱柱中，平面平面，是的中点，且.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理结合面面垂直的性质定理分析证明；
（2）建系，利用空间向量求线面夹角；
（3）建系，利用空间向量求面面夹角
【小问1详解】
连接，
由题意可知：为等边三角形，且是的中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
且平面，可得，
，平面，
所以平面.
【小问2详解】
取的中点，连接，
由题意可知：为等边三角形，则，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如图，以为坐标原点原点建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，即，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【小问3详解】
由（1）可知：平面，则为平面的法向量，
由（2）可得：，
所以平面与平面所成角的余弦值.
【点睛】
18. 已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合等差、等边数列的通项公式列式求解即可；
（2）利用分组求和，结合裂项相消法和错位相减法运算求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得或（舍去），
所以.
【小问2详解】
由（1）可得，
当为奇数时，则，
设，
则，
两式相减得，
所以；
当为偶数时，则设，
所以；
综上所述：，
当为奇数时，则
；
当为偶数时，则
；
综上所述：.
19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴为4，过坐标原点的直线交于两点，若分别为椭圆的左 右顶点，且直线与直线的斜率之积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在第一象限，轴，垂足为，连并延长交于点，
（i）证明：为直角三角形；
（ii）若的面积为，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据离心率以及斜率关系即可求解的值，
（2）联立直线与椭圆方程，即可根据坐标运算得点坐标，由斜率公式即可求解，根据三角形的面积公式以及弦长公式，结合不等式以及对勾函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
设，则，由题意可知，
所以，
即，可得 ，
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
（i）不妨设直线的方程为，
联立，
不妨设，所以，
所以直线的方程为，
联立，
设，则是上述方程两个根，所以，
则 ，所以，
所以 ,故为直角三角形，
（ii）由（i）得 ，
所以的面积为 ,
由于得，
所以，
令，当且仅当 时， 取最小值2，
所以 ，
由于在上单调递增，所以当时，此时 取最小值，
所以此时，
根据椭圆的对称性可知当时，也符合题意，所以.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用.
20. 已知函数，其中.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，
（i）证明：；
（ii）判断函数在上的单调性，并证明.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求过点的切线即可；
（2）（i）证明可以取对数，结合的条件转化为解决的单调性问题；
（ii）待求证表达式实际上是，因此想办法证明在上是单调递减的即可.
【小问1详解】
由题意，，则切线的斜率是，
而，于是切线方程为：，
即，当时，
【小问2详解】
（i）令，则，
再令，则，
故时，，递减，则，
即时，，于是.
，故，
又，则，即，得证.
（ii），设，则，
由可知，，根据指数函数的值域可知，，
即在上单调递增，结合，注意到
，
由于，则，于是，类似可得，于是.
令，，于是时，，递增，于是.
故，于是在上递减.
由和可得，.
根据在上递减可得，，即，
结合可知得证.
【点睛】关键点睛：合理利用的条件，配凑出所需要的函数去辅助不等式的证明是本题的突破口。天津市咸水沽第一中学2023年5月普通高考数学押题卷（五）
数学试题
一 选择题：本大题共9小题，每小题5分，共计45分.每小题有且仅有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已知成绩落在内的人数为16，则下列结论正确的是（ ）
A. 样本容量
B. 图中
C. 估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分
D. 若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是A等
5. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A. 25 B. 5 C. D.
7. 中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体；对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（ ）
A. 24 B. 28 C. 32 D. 36
8. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标，则双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. D.
9. 将函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，有下述四个结论：
①
②函数在上单调递增
③点是函数图像的一个对称中心
④当时，函数的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ②④
二 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分.
10. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数__________．
11. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________
12. 已知圆心为的圆与x轴相切，且与直线相交于A，B两点，若，则实数______．
13. 对某实验项目进行测试，测试方法：①共进行3轮测试；②每轮测试2次，若至少合格1次，则本轮通过，否则不通过.已知测试1次合格的概率为，如果各次测试合格与否互不影响，则在一轮测试中，通过的概率为________；在3轮测试中，通过的次数X的期望是________.
14. 在中，是边的中点，是线段的中点.设，试用表示为___________；若的面积为，则当___________时，取得最小值.
15. 设函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为___________.
三 解答题：本大题共5小题，共分.解答必需写出必要的文字说明 推理过程或计算步骤，只有结果的不给分.
16. 在中，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
17. 如图，在三棱柱中，平面平面，是的中点，且.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面所成角的余弦值.
18. 已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴为4，过坐标原点的直线交于两点，若分别为椭圆的左 右顶点，且直线与直线的斜率之积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在第一象限，轴，垂足为，连并延长交于点，
（i）证明：为直角三角形；
（ii）若的面积为，求直线的斜率.
20. 已知函数，其中.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，
（i）证明：；
（ii）判断函数在上的单调性，并证明.
