数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件（共42张ppt）

(共42张PPT)
第六章 计数原理
幼儿会通过一个一个地数的方法,计算自己拥有玩具的数量;
学校要举行班际篮球比赛,在确定赛制后,体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛；
用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号,需要知道共可以组成多少种不同的信号.
若某地的汽车牌照由至多2个大写英文字母和3个阿拉伯数字构成，则共有多少个车牌号码可供民众挑选？
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法.如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法；但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高.
在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法．这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理——这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法．
利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式一排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题．
作为计数原理与计数公式的一个应用，本章我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理．
6.1 分类加法计数原理
与分步乘法计数原理
第一课时
问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
问题2：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1,A1,…A9,B1,B2,…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
编号有2类方案：
第一类方案英文字母：有26种不同方法;
第二类方案阿拉伯数字：有10种不同方法;
编号共有26+10=36种不同方法.
问题2：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1,A2,…A9,B1,B2,…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
树状图
方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来
问题2：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1,A1,…A9,B1,B2,…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与6个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码.
问题1. 用1个大写英文字母或1个阿拉伯数字给教室座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
问题2. 用1个大写英文字母和1个阿拉伯数字给教室座位编号(以A0,A1,
…,A9,B0,B1,…的方式)总共能编出多少种不同的号码？
编号有2类方案：
第一类方案：有26种不同方法;
第二类方案：有10种不同方法;
编号共有26+10=36种不同方法.
编号有2个步骤：
第一个步骤：有26种不同方法;
第二个步骤：有10种不同方法;
编号共有26×10=260种不同方法.
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有
种不同的方法.
　每类中的任一 种方法都能独立完成这件事情.
N=m+n
例1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
物理学 法学
工程学
分析:要完成的事情是“选一个专业” .
A大学：5个专业
B大学：4个专业
所以符合分类加法计数原理的条件.
这名同学可能的专业选择种数 N=5+4=9.
3个大学中的专业各不相同，选择任何一个专业都可以.
[练习1]填报高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的专业，具体情况如下：
A大学 B大学 C大学
生物工程 应用数学 信息技术学
化学 会计学 法学
中医学 金融学 汉语言文学
物理学 工商管理
土木工程
若这名同学只能选择一个专业，则他共有____种选择.
分类加法：5+4+3=12
3类方案中的方法各不相同，用任何一种方法都可以完成这件事.
　 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有
　　　
种不同的方法.
分类加法计数原理的推广
N=m1+m2+…+mn
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法.
　只有各个步骤都完成才算做完这件事情。
【例2】某班有男生30名，女生24名，现要从中选出男、女生各一名，代表班级参加比赛，共有_______种不同的选法.
析：第1步：选男生，有30种选法
第2步：选女生，有24种选法
共30×24=720种选法.
[练习2]P7-2.从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法？
析：先选正组长，再选副组长，共5×4=20种选法
[练习3]从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是 ．
A
B
C
3×2=6
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 _____________________种不同的方法.
分步乘法计数原理的推广
N=m1×m2×…×mn
[练习4]P7-1.某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0～9之间的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？
析：10×10×10×10＝10000(个)
解析　因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.
当m＝4时，n＝1,2,3；
当m＝3时，n＝1,2；
当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个).
√
[练习6]已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M).问：
P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？
解　确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：
第一步，确定a的值，共有6种方法；
第二步，确定b的值，也有6种方法.
根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.
【例3】书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法
解：(1)根据分类加法计数原理可得：N＝4＋3+2＝9；
(2)根据分步乘法计数原理可得：N＝4 ×3×2＝24；
(3)需先分类再分步.
第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法；
第二类：从一、三层各取一本,有4×2=8种方法；
第三类：从二、三层各取一本,有3×2=6种方法；
根据两个基本原理，不同的取法总数是N=4×3+4×2+3×2=26
答: 从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法.
注：有些较复杂的问题往往需要先“分类”，再在每一类中“分步”, 综合应用分类计数原理和分步计数原理．
【例3】书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.
(3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法
6.1 分类加法计数原理
与分步乘法计数原理
第二课时
2.区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
区别一 完成一件事共有n类办法,关键词是“分类” 完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”
区别二 每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事 除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事
区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复
1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.
：两个原理的联系与区别
【例4】要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法
(法一)分步乘法
第1步：选1幅挂左边(3种：甲、乙、丙)
第2步：选1幅挂右边(各2种选择)
(法二)分步乘法
第1步：选出2幅画(3种：甲乙、甲丙、乙丙)
第2步：对2幅画确定左右(各2种挂法)
3×2=6
(法三)分类加法
第1类：甲在左(2种方法：甲乙、甲丙)
第2类：乙在左(2种方法：乙丙、乙甲)
第3类：丙在左(2种方法：丙甲、丙乙)
2+2+2=6
3×2=6
【例5】给程序模块命名，需要用3个字符,其中首字符要求用字母A~G或U~Z ,后两个字符要求用数字1~9,最多可以给多少个程序模块命名？
分析: 要完成的一件事是给一个程序模块命名 , 可以分三个步骤完成: 第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符，而首字符又可以分为两类.
由分步乘法计数原理，不同名称的个数是13×9×9=1053,
解: 由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7+6=13.
后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.
即最多可以给1053个程序模块命名.
【例6】电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．
(1)1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符
析：要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字”
【例6】电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．
(2)计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示
解：由(1)知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个.
考虑2个字节能够表示多少个字符.
前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法．
根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是
因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示．
【例7】 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线)，以便知道需要提供多少个测试数据． 一般地，一个程序模块由许多子模块组成．
(1)图6.1-4是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径
(2)为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数．你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗
在实际测试中,程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱,即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块.
①先分别单独测试5个模块,以考察每个子模块的工作是否正常.总共需要的测试次数为18+45+28+38+43=172.
②再测试各个模块之间的信息交流是否正常,只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常,需要的测试次数为3×2=6.
如果每个子模块都工作正常,并且各个子模块之间的信息交流也正常,那么整个程序模块就工作正常.这样测试整个模块的次数就变为172+6=178.
【例8】通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的、省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图6.1-5所示.
其中，序号的编码规则为：
(1)由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；
(2)最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
析：①无字母：
10×10×10=1 000(种)
②1个字母：
(24×10×10×10)×5=1 200 000(种)
③2个字母：
(24×24×10×10×10)×10=5 760 000(种)
共1 000+1 200 000+5 760 000=7 060 000(种)
[练习7]P7-5.由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数：
①各位上的数字可以重复：
②各位上的数字不可以重复：
5×5×5=125(种)
5×4×3=60(种)
[练习8]用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
解：①首位为5，末位为0：4×3×2＝24(个)；
②首位为5，末位为2：4×3×2＝24(个)；
③首位为5，末位为4：4×3×2＝24(个)；
④首位为4，末位为0：4×3×2＝24(个)；
⑤首位为4，末位为2：4×3×2＝24(个)．
由分类加法计数原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(个)．故选B．
[练习9]P7-4.在1，2，…，500中，被5除余2的数共有多少个？
析：被5除余2的数为5n+2(n∈N)，
令1≤5n+2≤500，得0≤n≤99.
共100个
6.1 分类加法计数原理
与分步乘法计数原理
第三课时 习题6.1
析：按个位数分类，共9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(种)
2.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个？
3.某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，那么共有多少种不同的进出商场的方式？
析：先选进入的门，再选出去的门，共6×5=30(种)
4.任意画一条直线，在直线上任取n个分点.
(1)从这n个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段？
(2)从这n个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量？
2.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.从甲地到丁地共有多少条不同的路线？
析：共2×3+4×2=14(条)
3.如图，要让电路从A处到B处接通，可有多少条不同的路径？
4.用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数？可构成多少个不同的真分数？
析：先定分子，再定分母，可构成4×4=15个不同的分数；
按分子分类，可构成4+3+2+1=10个不同的真分数；
析：先定斜率，再定纵截距，共4×4=16条直线；
6.(1)在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在A={0，1，2，3，4，5}内取值的不同点共有多少个？
(2)在平面直角坐标系内，斜率在集合B={1，3，5，7}内取值，y轴上的截距在集合C={2，4，6，8}内取值的不同直线共有多少条？
析：先选横坐标，再选纵坐标，共6×6=36个不同的点.
7.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0～9共10个数字.现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0～5这6个数字中拨号，这4个拨号盘可组成多少个四位数字号码？
析：10×10×10×6=6000个四位数字号码
8.(1)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是是34还是43？
[变式]4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每个运动队只选一名学生参加，不同的结果有____种.
析：人选运动队，每人有3种选择，共3×3×3×3=34=81
析：运动队选人，每队有4种选择，共4×4×4=43=64
(2)3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是35还是53？
析：各班选景点，每班有5种选择，共5×5×5=53=125
[变式]火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有_____种.
510
析：乘客选车站，每人有5种选择
[引例]从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为_______.
9.(1)从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，有多少种不同的送法？
(2)有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的放法有多少种？(一个抽屉可放多本书)
析：先选礼物给甲，再选礼物给乙，共5×4=20种选法
析：依次选礼物给4位同学，共5×4×3×2=120种选法
析：①3本书放1个抽屉，
共5种放法；
②3本书放2个抽屉，
共3×(5×4)=60种放法；
③3本书放3个抽屉，
共5×4×3=60种放法；
共5+60+60=125种放法.
10.口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球.
（1）正好是白球、红球各一个的取法有多少种？
（2）正好是两个白球的取法有多少种？
（3）至少有一个白球的取法有多少种？
（4）两球的颜色相同的取法有多少种？
8×10=80
(8×7)÷2=28
8×10+28=108
28+10×9÷2=73
3
4
4
3
11. 在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法？
12. 2160有多少个不同的正因数？
析：分步安排每天的值班人员，共7×6×6×6×6×6×6=7×65
析：∵2160=24×5×33，
∴2160的正因数p=2a×5b×3c，
其中a可取0,1,2,3,4，b可取0,1，c可取0,1,2,3.
∴2160有5×2×4=40个不同的正因数.
未完待续……