4.1 数列的概念 课件（共42 张PPT）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

(共41张PPT)
4.1.1 数列的概念
新课引入
1.王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据(单位：cm)依次排成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168． ①
新课引入
2.在两河流域发掘的一块泥版(编号 K90,约产生于公元前 7 世纪)上，有一列依次表示一个月中从第 1 天到第 15 天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240． ②
注：把满月分成240份，从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示.
9
10
11
13
12
14
15
1
2
4
5
6
7
8
3
新课引入
③
你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？
归纳: 上面三个例子的共同特征是什么？
探索新知
定义：
按照一定顺序排列的一列数叫做 数列
数列中的每一个数叫做这个数列的______.
项
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（ ），排在第二位的数称为这个数列的第2项，
···，排在第n位的数称为这个数列这个数列的第n项.
首项
数列的一般形式可以写成：
简记为{} ,其中叫做数列的第n项.
, , , , …，, …
注: 右下角标表示这一项在数列中的位置序号
探索新知
序号
项
数列是特殊的函数：数列是自变量为离散的数的函数．
数列与函数的关系
新课讲解
与其它函数一样，数列可以用表格和图象来表示．
例如数列①：
思考：数列中的项的大小随序号的变化趋势如何？
新课讲解
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
递增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列
摆动数列: 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于
它的前一项的数列
常数列：各项相等的数列
与函数类似，我们可以定义数列的单调性：
思考：按数列中的项的个数如何进行分类？
有穷数列：个数有限的的数列
无穷数列：个数无限的的数列
数列的分类
小试牛刀
说说下列数列是什么数列？
(5) 23, 21,18,20,20,22,21,19
递减数列
摆动数列
(2) 1，3，5，7，9，11，…
递增数列
常数列
摆动数列
无穷数列
无穷数列
无穷数列
有穷数列
有穷数列
新课讲解
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．
注意：并不是每个数列都能写出通项公式
通项公式
意义：通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
典型例题
解:
(1)
(2)
典型例题
分析：
？？
？？
？？
？？
解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负, 所以它的一个通项公式是
新课讲解
分析：
？？
？？
？？
？？
解: (2)这个数列的奇数项是2，偶数项是0, 所以它的一个通项公式是
注：用(－1)n或(－1)n＋1常常用来表示正负相间的变化规律.
巩固训练
分析：
1.根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式:
？？
？？
？？
？？
解：这个数列的前4项的分母都等于序号与序号加1的积，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是
典型例题
解:
本质上: 是要回答是否存在正整数n，使得n2+2n=120.
归纳总结
1.通项公式能够很清楚的表示数列中项数和项的关系;
2.由通项公式可以求出数列中的每一项；
3.检验某数是否是该数列中的一项.
通项公式也是数列的一种表示方法
通项公式的作用：
巩固训练
（1） 数列 1，2，3，4，5，6，…
（2）数列 2，4，6，8，10，12，…
（3）数列 1，3，5，7，9，11，…
1.观察下列数列的前几项，写出一个通项公式：
（4）数列
方法归纳
(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
(2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
新课讲解
1.已知数列{an}的通项公式, 写出这个数列的前5项, 并作出它们的图象.
新课讲解
o
n
an
1
2
3
4
5
6
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
我们好孤单！
是一些
孤立点
·
·
·
·
·
解:
，数列的前5项如下表所示：
新课讲解
数列用图象表示时的特点—— 一系列孤立的点
1
2
3
4
5
6
o
n
0.1
0.3
- 0.5
- 0.1
- 0.3
an
是一些
孤立点
·
·
·
·
·
，数列的前5项如下表所示：
新课讲解
an=2n
an=n2
2.观察下面数列的特点，用适当的数填空, 并写出每个数列的一个通项公式：
探究
新课讲解
课题小结
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数.（离散的数的函数）
2.数列的分类：
（1）按项的大小：递增数列、递减数列、常数列
（2）按项的个数：有穷数列、无穷数列
3.数列的通项公式（不唯一）
本节课你有哪些收获？请做一下总结！
小结
4.1.2 数列的递推公式
情境引入
1202年，意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1170—约1250)出版了他的《算盘全书》(Liber Abaci).他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题:
如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子
在第1个月时，只有1对小兔子，过了1个月，那对兔子成熟了，在第3个月时便生下1对小兔子，这时有两对兔子，再过1个月，成熟的兔子再生1对小兔子，而另1对小兔子长大，有3对小兔子，如此推算下去，我们可以得到一个表格:
情境引入
时间/月 初生兔子/对 成熟兔子/对 兔子总数/对
1 1 0 1
2 0 1 1
3 1 1 2
4
5
6
7
8
1
21
13
8
13
5
8
5
3
8
5
2
3
2
3
…
…
…
…
从第1个月开始,以后每个月的兔子总对数是
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ….
你发现这个数列的规律了吗？
新课讲解
如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数，数列的规律是递推关系: Fn=Fn-1+Fn-2(n>2)
这个数列称为斐波那契数列.
递推公式 :
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
作用: 知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
典型例题
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式.
(1)
(2)
(3)
(4)
解：在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是 .
当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算来寻找规律, 如依次取出数列的某一项, 减去或除以它的前一项,再对差或商加以观察.
新课讲解
例2 已知数列的第1项是1，以后的各项由公式 给出,写出这个数列的前5项.
解：由题意可知
总结：递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项.
新课讲解
通项公式和递推公式之间的差别与联系：
回顾：到目前为止，数列一共有多少种表示方法？
巩固练习
1.已知数列{an}满足 a1 = 1，an = an－1＋1 (n ≥ 2)， 写出这个数列的通项公式.
解：（1）由递推式可得，
a2－a1 = 1，
a3－a2 = 1，
…
an－an－1 = 1
把以上 n-1 个式子相加,得 an －a1 = n －1
∴数列的通项为 an = n.
总结：一般递推关系为an+1= f (n)+an，即an+1 - an = f (n)时，可用累加法求通项公式.
又 a1 = 1
巩固练习
2.已知数列{an}满足 写出这个数列的通项公式.
解：由递推式可得
∴数列的通项为 .
把以上n-1个式子相乘得
又 a1 = 1
总结：一般递推关系为an+1= f (n)·an, 即 时，可用累乘法求通项公式.
探索新知
在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,，即
Sn =a1+a2+...+an
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),于是我们有
Sn 与an的关系式
典型例题
例3 已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+n，你能求出{an}的通项公式吗？
解：因为a1=S1=2，
an=Sn-Sn-1
= n2+n -[(n-1) +(n-1)]
=2n(n≥2),
并且当n=1时，a1=2×1=2依然成立.
所以{an}的通项公式是an=2n.
由Sn 求an需要检验
巩固练习
3. 已知数列 {an} 的前 n 项和公式 Sn ，求数列{an}的通项公式.
（1）Sn = 2n2－n＋1，　 （2）Sn = log2 (n＋1)
解：（1）当 n ≥ 2 时，
故数列{an}的通项公式为
当n = 1时， 不符合上式
巩固练习
3. 已知数列 {an} 的前 n 项和公式 Sn ，求数列{an}的通项公式.
（1）Sn = 2n2－n＋1，　 （2）Sn = log2 (n＋1)
解： （2）当 n ≥ 2 时，
当n = 1时， ，符合上式
故数列{an}的通项公式为
总结：已知Sn求出an依据的是Sn的定义：Sn=a1+a2+…+an，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式.
课堂小结
1.递推公式：（1）初始值；2）递推关系式
（1）已知数列的递推公式，求前几项并猜出通项公式
（2） 已知数列的递推公式，用累加法求通项公式
（3） 已知数列的递推公式，用累乘法求通项公式
本节课你有哪些收获？请做一下总结！
小结