4.2.1等差数列的概念 课件（共43 张PPT）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

(共42张PPT)
4.2.1 等差数列的概念
情境引入
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成, 最中间是圆形的天心石, 围绕天心石的是9圈扇环形的石板, 从内到外各圈的石板数依次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81 ①
2. 不大于20的正偶数：
2，4，6，8，10，12，14，16，18，20 ②
新课引入
3. XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的意大利尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48 ③
新课讲解
4.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：℃)依次为
25, 24, 23, 22, 21 ④
21℃
22℃
24℃
25℃
23℃
420m
320m
220m
120m
20m
探索新知
9,18,27,36,45,54,63,72,81.
2，4，6，8，10，12，14，16，18，20.
38,40,42,44,46,48
25,24,23,22,21.
从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.
思考：我们常通过运算来发现规律。你能通过运算发现数列①—④的取值规律吗？
取值规律：
新课讲解
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列.
注：①判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：
an+1-an是不是同一个常数？
②公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差，千万别把被
减数与减数弄颠倒了！！
③公差可以是正数，负数，也可以为0.
等差数列的定义
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
符号表示：an+1 - an=d（d为常数，n∈N*）
小试牛刀
1. 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差.
（1） 1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10
（2） 3，3，3，3，3，3
（3） 3x，6x，9x，12x，15x
（4）95，82，69，56，43，30
（5） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111
（6） 1，－2，3，－4，5，－6
（7）
a1=3，公差 d=0，常数列
a1=3x ， 公差 d= 3x
×
a1=95 ， 公差 d=－13
×
×
a1=1，公差 d=
_
1
12
__
小试牛刀
2. 判断题
（1）数列a，2a，3a，4a，…是等差数列. ( )
（2）数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列. ( )
（3）若an－an+1=3 （n∈N*），则{an}是公差为3的等差数列. ( )
（4）若a2－a1=a3－a2， 则数列{an}是等差数列. ( )
若an－an-1=an+1－an (n≥2，n∈N*)，则数列{an}是等差数列 ( )
若an－an-1=an+2－an+1 (n≥2，n∈N*)，则数列{an}是等差数列( )
1，2，5，6，9，10,…
探究思考
思考
1. 一个等差数列最少需要几项？
2. 若a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项.
等差中项
由等差数列的定义，可知
小试牛刀
1.写出等差中项
（1）2 ，___， 4；（2）－1 ，___， 5；
（3）0 ，___， 0；（4）-12，___，0
3
2
0
-6
2.如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为(　　)
A．－1 B．1 C．3 D．4
D
探究新知
思考：若已知等差数列{an}的首项和公差，你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？
a2=a1+d
a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d
a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d
…
an=an-1+d=a1+ (n-1)d (n ≥ 2)
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+(n-1)d
不完全归纳法
方法1： 由等差数列的定义可得
an+1-an=d
探索新知
∴ a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
…
an-an-1=d (n ≥ 2)
累加以上n-1个式子, 得
an-a1=(n-1)d
累加法
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+(n-1)d
方法2：∵由等差数列的定义可得
an+1-an=d
∴ an=a1+(n-1)d
探索新知
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为
等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋(n－m)d
等差数列的通项公式
a1,an,n,d 知三求一
am=a1 +(m-1)d
an-am =(n-m) d
am=
an-am =
思考
小试牛刀
1. 求下列等差数列的通项公式
（1）9，18，27，36，45，54，63，72...
（2）38，40，42，44，46，48...
（3）25，24，23，22，21.
解：（1）an=9+(n－1)×9=9n
（2）an=38+(n－1)×2=2n+36
（3）an=25+(n－1)×(-1)=－n+26
探索新知
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.
(k＋b)
k
an＝a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d)
②任给一次函数f(x)＝kx＋b (k,b为常数)，则f(1)＝k＋b,
f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，
其首项为________，公差为____.
思考 我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？
等差数列与一次函数的关系
1
2
5
a1
x
f(x)
O
3
4
6
a1－d
a2
a3
a4
a5
a6
f(x)＝dx＋(a1－d)
探究新知
1
2
a1
x
f(x)
O
3
4
5
6
a1－d
a2
a3
a4
a5
a6
f(x)＝dx＋(a1－d)
1
2
a6
x
f(x)
O
3
4
5
6
a1－d
a5
a4
a3
a2
a1
f(x)＝dx＋(a1－d)
结论：当d＞0时，数列{an}单调递增; 当d＜0时，数列{an}单调递减；当d＝0时，等差数列{an}为常数列.
探究：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？
典型例题
例1（1）已知等差数列{an}的通项公式为an =5－2n，求{an}公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2....的第20项
解:
典型例题
例2 －401是不是等差数列 －5,－9,－13,…的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解.
解：由a1=－5，d=－9－(－5)=－4，
所以数列的通项公式为an=－5－4(n－1)=－4n－1.
令－4n－1=－401，解得n=100.
所以，－401是这个数列的项，是第100项。
巩固训练
解：（1）a10=a1+9d=2+9×3=29
（2）∵21=3+(n-1)×2 ∴n=10
（3）∵a6=a1+5d，即27=12+5d ∴ d=3
（4）∵a7=a1+6d ，即8=a1+6×( ) ∴a1=10
1.在下列等差数列{an}中，
（1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10;
（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n;
（3）已知a1=12，a6=27，求d;
（4）已知d= ，a7=8，求a1.
巩固训练
3.已知数列{an}是等差数列，若a2＝4，a4＝6，则an等于(　　)
A.n B.2n C.2n－1 D.n＋2
2.在数列{an}中，a1＝2，2an+1＝2an＋1(n∈N*)，则a101= ．
52
D
5.已知数列{an}是等差数列，若a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，则a20= ．
4.已知数列{an}是等差数列，若a4+a8＝20，a7＝12，则a4= ．
6
1
思考
课堂小结
1 等差数列的概念
(1) 等差数列及等差中项的定义；
(2) 等差数列的通项公式；
递推公式、归纳法.
(3) 通项公式的应用.
函数与方程.
2 研究方法
递推公式
应用
通项公式
回顾本节课的探究过程，你学到了什么？
函数与方程
的思想
本节课你有哪些收获？请做一下总结！
小结
4.2.1 等差数列的概念
第二课时 等差数列的性质
复习引入
函数图象上所有的点在同一条直线上：d＞0,等差数列单调递增；d＜0,等差数列单调递减；d＝0,等差数列为常数列.
如果在a与b中间插入一个数A，使a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
1.等差数列的定义
2.等差中项的定义
4.等差数列的函数特征
3.等差数列的通项公式
2A=a+b
探索新知
探究：观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？
思考：观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么固定的结论吗？
探索新知
证明：
探索新知
推广：
反例： 常数列
等差数列的性质
典型例题
C
B
小试牛刀
24
C
4.已知数列{an}是等差数列，若a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，则a20= ．
3.已知数列{an}是等差数列，若a4+a8＝20，a7＝12，则a4= ．
6
1
典型例题
方法归纳
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式.
(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出.
(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d. 若有6项、8项、…时，可同理设出.
等差数列的设项方法和技巧:
小试牛刀
1.(1)已知三个数成等差数列,其和为15,首末两数的积为9,求此数列.
(2)已知成等差数列四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求此数列.
典型例题
例3
解:
典型例题
例4
解:
典型例题
解1:
解2:
例4
归纳总结
1.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*)，则am＋an＝ .
特别地: 若m＋n＝2p(m,n,p∈N*)，则有am＋an＝ .
等差数列的性质
ap＋aq
2ap
2.在等差数列中每隔 的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列.
相同
若下标成等差数列，则对应的项成等差数列.
3.若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列, 则
①数列{c＋an}的公差为 ；②数列{c·an}的公差为 ；
③数列{an＋an＋k}的公差为 ；④数列{pan＋qbn}的公差为 .
2d
pd＋qd′
d
cd
巩固训练
B
A
B
30
巩固训练
巩固训练
(1)证：
(2)解：
课堂小结
1.知识清单：
(1)等差数列通项公式的变形运用.
(2)等差数列的性质.
(3)等差数列中项的设法.
2.方法归纳：解方程组法.
本节课你有哪些收获？请做一下总结！
小结